Методические указания по решению типовых задач

Пример 1.Для изучения оснащения предприятий основными произ­водственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении предприятий по стоимости основных про­изводственных фондов (табл. 1):

Таблица 1

Среднегодовая стоимость основных производст­венных фондов

Среднегодовая стоимость основных производст­венных фондов , млн. руб.	До 200	200-400	400-600	Свыше 600	Итого
Число предприятий	5	12	23	10	50

Требуется определить:

1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет на­ходиться среднегодовая стоимость основных производствен­ных фондов всех предприятий генеральной совокупности;

2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определе­нии доли и границы, в которых будет находиться удельный вес предприятий со стоимостью основных производственных фон­дов свыше 400 млн. руб.

Решение

Предельная ошибка выборки (ошибка репрезен­тативности) исчисляется по формуле:

,

где – средняя ошибка репрезентативности;

t– коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (Δ) определяются с вероят­ностью. Значение tнайдем по таблице интеграла вероятно­стей.

Вероятность	Коэффициент доверия
P = 0,683 P = 0,954 P = 0,997	t = 1 t = 2 t = 3

Конкретное количественное выражение предельная ошиб­ка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно слу­чайной и механической выборок имеются следующие четыре формулы:

Повторная выборка

При определении среднего размера ошибки признака		(1)
При определении средней ошибки доли признака		(2)

Бесповторная выборка

При определении среднего размера ошибки признака		(3)
При определении средней ошибки доли признака		(4)

где N – численность генеральной совокупности;

n– численность выборочной совокупности;

–дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в выбороч­ной совокупности;

–доля данного признака в выборке;

–доля противоположного признака в выборке.

1. Для определения границ генеральной средней, необходимо исчислить среднюю выборочную () и дисперсию (), техника расчета которых приведена в таблице 2:

Таблица 2

Расчетная таблица

, млн. руб.	Число предприятий,	Середина интервала,
До 200 200-400 400-600 Свыше 600	5 12 23 10	100 300 500 700	500 3600 11 500 7000	-352 -152 48 248	123904 23104 2304 61504	619 520 277 248 52 992 615 040
	50		22 600			1 564 800

Тогда

млн. руб.;

Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно ис­пользовать способ «моментов».

Итак, имеются данные: N = 500, n= 50 предприятий; = 31 296.

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе (по формуле 1):

млн. руб.;

б) при бесповторном отборе (по формуле 3):

млн. руб.

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 25 млн. руб. при повторном и 23,7 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных про­изводственных фондов, приходящейся на одно предприятие в выбо­рочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативно­сти (23,7) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t= 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней ():

млн. руб. (при повторном отборе);

млн. руб. (при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной сово­купности в общем виде, может быть представлен следующим образом:

.

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на одно предприятие генераль­ной совокупности будет находиться в следующих пределах:

а) при повторном отборе:

или 427 млн. руб. 477 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе:

или 428,3 млн. руб. 475,7 млн. руб.

Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.

2) Вычисление пределов при установлении доли осущест­вляется аналогично нахождению пределов для средней вели­чины. В общем виде расчет можно представить следующим образом:

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной сово­купности.

Доля предприятий в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 400 млн. руб. со­ставляет:

.

Определяем предельную ошибку для доли. По условию за­дачи известно, что N = 500; n= 5; = 0,66; Р = 0,954;t= 2.

Исчислим предельную ошибку доли: при повторном отборе (по формуле 3):

(или 13,4%);

при бесповторном отборе (по формуле 4):

(или 12,7%).

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля предприятий со стоимостью основных производственных фондов свыше 400 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в преде­лах:

или при повторном от­боре;

или при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при по­вторной выборке.

Пример 2.Используя данные предыдущего примера требуется от­ветить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 50 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%.

Решение

Для нахождения численности случайной и меха­нической выборок имеются следующие четыре формулы:

	Повторный отбор		Бесповторный отбор
При определе­нии среднего размера ошибки признака		(5)		(6)
При определении ошибки доли признака		(7)		(8)

Известно, что N = 500; = 50 млн. руб.;= 31 296; Р=0,997; t = 3.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней: при повторном отборе (по формуле 5):

предприятий;

при бесповторном отборе (по формуле 6)

предприятия.

Известно, что млн. руб.;Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6):

предприятий.

Известно, что

Объем выборки для расчета ошибки доли будет:

при повторном отборе (по формуле 7):

предприятий;

при бесповторном отборе (по формуле 8):

предприятий.

Выводы:

1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку;

2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гаран­тировать результат выборочного обследования;

3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уве­личить предельную ошибку.

Пример 3. В организации 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднего­довой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

На основе обследования получены следующие данные (таблица 3):

Таблица 3