Расчетная таблица для второй группы

Выработка, шт.,	Число рабочих, чел.,
2 3 4	2 5 8	-1,4 -0,4 0,6	1,96 0,16 0,36	3,92 0,80 2,88
Итого	15			7,60

Дисперсия для второй группы равна:

Исчислим среднюю из групповых (частных) дисперсий по формуле:

3. Межгрупповая дисперсия равна:

4. Определим общую дисперсию по правилу сложения дис­персий:

5. Определяем коэффициент детерминации:

(или 11,5%).

Коэффициент детерминации показывает, что вариация среднечасовой выработки рабочих обусловлена вариацией ста­жа лишь на 11,5%.

6. Исчислим эмпирическое корреляционное отношение:

Оно показывает, что для данной группы рабочих связь ме­жду производственным стажем и среднечасовой выработкой слабая.

Пример 6. По данным условия примера 3 требуется опреде­лить коэффициент асимметрии. Коэффициент асимметрии ис­числяется по формуле:

.

Дисперсия известна по результатам примера 3:

Следовательно, руб.

Используя данные примера 3, исчислим:

а) среднюю заработную плату рабочих по способу «момен­тов»:

тыс. руб.;

б) моду:

тыс. руб.

Отсюда коэффициент асимметрии равен:

Вывод: в данном ряду распределения имеется левосторонняя асимметрия.

Тема 5. Выборочное наблюдение

Задача 1. Определите тип ошибки репрезентативности при следу­ющих условиях отбора:

а) Для установления среднего размера вклада населения в коммерческих банках производится отбор счетов в соответствии с их номерами. Будет ли ошибка выборки случайной?

б) С целью изучения вопросов оплаты труда магазинов потребительской кооперации отбирают механическим путем через определенный интервал исходя из данных о численности работников. Как это отразится на структуре выбо­рочной совокупности?

в) Отбор семей сотрудников ведется на предприятиях всех форм собственности на основе списка работающих. Какие семьи получают преимущества при таком отборе?

Задача 2. Из приведенных выборочных обследований определите данные, которые содержат систематическую ошибку регистра­ции, а также данные, имеющие систематическую ошибку репре­зентативности, в следующих случаях:

а) при изучении производительности труда из совокупности заведомо были исключены рабочие со стажем менее одного года;

б) при обследовании состояния животноводства в фермерс­ких хозяйствах из-за небрежности счетчиков в некоторых хозяй­ствах не полностью был учтен молодняк скота;

в) при наблюдении с целью выявить количество смежных специальностей, которыми владеют работники потребительского общества, не учитыва­лись работники младше и старше трудоспособного возраста (от 16 до 60 лет).

Задача 3. Укажите способ отбора в следующих выборках:

а) при обследовании дневной загрузки продавцов магазина потребительской кооперации отбирался каждый второй среди продовольственных магазинов и каждый шестой среди непродовольственных;

б) для изучения потерь рабочего времени на заводе каждый час в карте наблюдения фиксируется, чем заняты рабочие;

в) при изучении среднего количества слов в телеграмме от­биралась каждая двадцатая телеграмма;

г) при обследовании продолжительности срока службы ме­таллорежущих станков отбирался каждый третий цех предприя­тия;

д) при выборочном обследовании бюджета времени работа­ющих отбирается каждое пятое предприятие из общего списка их отрасли, а затем на отобранных предприятиях отбирается каждый десятый рабочий или служащий.

Задача 4. Организуется выборочное обследование наличия у сель­ского населения мини-тракторов. Ниже описаны возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше?

а) отбирается каждый пятый населенный пункт, и в каждом из них производится сплошное обследование;

б) отбирается каждая пятая семья из общего списка семей;

в) совокупность семей расчленяется на группы: и пропорци­онально численности групп производится отбор семей.

Задача 5. Что произойдет с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат:

а) увеличить с 0,954 до 0,997;

б) уменьшить с 0,954 до 0,683;

в) увеличить с 0,683 до 0,954;

г) уменьшить с 0,997 до 0,954;

д) увеличить с 0,683 до 0,997?

Задача 6. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокуп­ности: а) уменьшить в 1,5 раза; на 40%; б) увеличить в 2,4 раза; на 20%. Как нужно применить необходимую численность вы­борки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%; на 30%?

Задача 7. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки собственно-случайной бесповторной и повтор­ной выборок при 1%-ном, 5, 10 и 20%-ном отборе?

Задача 8. Определите, в каких случаях предельная ошибка доли признака в генеральной совокупности будет больше (при прочих равных условиях):

а) при отборе 50 единиц или 50 серий;

б) при отборе 100 единиц или 25 серий, если общая дисперсия в 3,5 раза больше межгрупповой;

в) при отборе 200 единиц или 50 серий, если общая дисперсия равна 0,25, а эмпирическое кор­реляционное отношение равно 0,49 при типическом отборе и 0,81 – при серийном?

Задача 9. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой не более 2%, если дисперсия доли неизвестна, а от­бор производится из совокупности, включающей:

а) 2500 еди­ниц;

б) 25 000 единиц;

в) 250 000 единиц? Вероятность, гаран­тирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

Задача 10. Каким должен быть объем случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 120 000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 15, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0,997?

Задача 11.С целью определения средних затрат времени при по­ездках на работу населением области планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин при среднем квадратическом отклонении 15 мин?

Задача 12. В одной из области методом слу­чайной повторной выборки обследовано 100 магазинов с целью установле­ния среднего размера численности работников, который оказался равным 20 чел. при= 8 чел. С вероятностью 0,683 определите пределы средне­й численности работников магазинов в генеральной совокупности.

Задача 13. В процессе технического контроля из партии товаров методом случайного бесповторного отбора было про­верено 80 изделий, из которых 6 оказались бракованными. Мож­но ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10%?

Задача 14. В порядке механической выборки обследован возраст 300 студентов вуза из общего числа 1800 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:

Возраст, лет	17	18	19	20	21	22	23
Число студентов, чел.	28	34	45	69	78	26	20

Установите:

а) средний возраст студентов вуза по выборке;

б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки;

в) вероятные пределы колебания возраста для всех студентов при вероятности 0,997.

Задача 15. Сколько телефонных разговоров необходимо обследо­вать на основе случайной повторной выборки, чтобы ошибка при определении доли телефонных разговоров с длительностью более 10 мин не превышала 5% с вероятностью 0,954?

Задача 16. На площади в 150 га, занятой пшеницей, определяется с помощью выборочного метода доля посева, пораженная насеко­мыми-вредителями. Сколько проб надо взять в выборку, чтобы при вероятности 0,997 определить искомую величину с точнос­тью до 3%, если пробная бесповторная выборка показывает, что доля пора­женной посевной площади составляет 4%?

Задача 17. Данные текущего учета населения города с численнос­тью жителей 1 млн. 250 тыс. человек были подвергнуты выбо­рочной разработке на основе случайной бесповторной выборки. В результате было установлено, что доля женщин в возрасте до 55 лет составила 43%, доля мужчин в возрасте 16-60 лет – 36%, доля населения в возрасте до 16 лет – 17%. Каков должен быть процент отбора, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка доли по указанным группам населения не превышала 0,5%?

Задача 18. Определите, сколько телевизоров следу­ет подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповтор­ной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы телевизора) не превышала 4%. Коэффициент вариации среднего срока службы телевизоров по данным предыдущих обследований составляет 15% при среднем сроке службы телевизоров 10, а вся партия состоит из 1450 телевизоров.

Задача 19. На основе случайной повторной выборки планиру­ется 5%-ное обследование доли различных признаков, характе­ризующих население области. Какова должна быть минималь­ная численность населения области, чтобы предельная ошибка выборки с вероятностью 0,997 при определении доли всех под­лежащих регистрации признаков не превышала 0,8%?

Задача 20. При случайном повторном способе отбора из партии продаваемой продукции в кооперативных магазинах было взято 9 проб продукта «А». В результате исследования установлено, что влажность продукта «А» в выборке составляет 5% при среднем квадратическом отклонении 0,5%. С вероятностью 0,954 определите пре­делы, в которых находится средняя влажность продукта «А» в партии.

Задача 21. Для изучения общественного мнения населения области о проведении определенных мероприятий методом случайного повторного от­бора было опрошено 100 человек. Из числа опрошенных 65 человек одобрили мероприятия. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля лиц, одобривших мероприятия.

Задача 22. Для определения среднего возраста работников организаций потребительской кооперации была произведена выборка работников методом случайного 10% бес­повторного отбора. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст работников, лет	20–30	30–40	40–50	50–60
Число работников, чел.	20	60	15	5

С вероятностью 0,997 определите:

– пределы, в которых находится средний возраст работников;

– пределы, в которых находится доля работников в возрасте старше 40 лет.

Задача 23. Из 5000 человек, совершивших правонарушения в те­чение года, было обследовано 500 правонарушителей методом бесповторного отбора. В результате обследования установлено, что 300 человек выросли в ненормальных семейных условиях. С вероятностью 0,997 определите пределы доли правонарушителей, вы­росших в ненормальных семейных условиях.

Задача 24. С целью прогнозирования спроса на минеральную воду «Белогорье» была произведена 10%-я серийная выборка, в которую попали три магазина. В результате обследования установлено, что спрос на минеральную воду составил 120, 140 и 145 бутылок. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет на­ходиться средний спрос на минеральную воду.

Задача 25. Для определения доли работников потребобществ, работа­ющих неполную рабочую неделю, была произведена 10%-я типичес­кая выборка работников с отбором пропорционально численности типических групп.

Внутри типических групп применялся метод слу­чайного бесповторного отбора.

Результаты выборки представлены ниже (условные данные):

Наименование потребобщества	Число работающих	Доля рабочих, работающих неполную рабочую неделю, %
Купинское сельпо	20	2
Прохоровское райпо	40	5

С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля работников потребобщества, работающих неполную рабочую неде­лю.

Задача 26. Для выявления затрат времени студентами вуза на усвоение учебного материала была произведена 10%-я типическая выборка пропорционально численности выделен­ных групп (внутри типических групп произведен механический отбор). Результаты обследования представлены следую­щим образом:

№ группы	Число студентов	Средние затраты времени на усвоение учебного материала, мин.	Среднее квадратическое отклонение, мин.
1 2 3	30 50 20	25 34 42	2 4 5

С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находятся средние затраты времени на усвоение учебного материала студентами.

Задача 27. В городе с целью определения средней продолжи­тельности жизни населения на работу предполагается провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятнос­тью 0,997 ошибка выборочной средней не превышала

3 года при среднем квадратическом отклонении 1 год?

Задача 28. В городе с числом семей 10 тыс. предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с детьми школьного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятнос­тью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,05, если дисперсия равна 0,24?