шапкин задачи с решениями

Издательско-торговая корпорация «Дашков и Кî»

А. С. ШАПКИН, В. А. ШАПКИН

ЗАДАЧИ

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ, МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ С РЕШЕНИЯМИ

Учебное пособие

7-е издание

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

по образованию в области математических методов в экономике в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике»

и другим экономическим специальностям

Москва, 2010

ÓÄÊ 517(075.8) ÁÁÊ 22.11

Ø23

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра высшей математики Московского государственного открытого университета (зав. кафедрой доктор физико-матема- тических наук, профессор В. Д. Кулиев);

Б. А. Лагоша — доктор экономических наук, профессор.

Шапкин А. С.

Задачи по высшей математике, теории вероятнос- Ø23 тей, математической статистике, математическому программированию с решениями: Учебное пособие / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. — 7-е изд. — М.: Изда- тельско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2010. —

432ñ.

ISBN 978-5-394-00885-6

Материал охватывает вопросы программы курса высшей математики: общий курс, теория вероятностей и математическая статистика, математическое программирование.

Пособие является руководством к решению задач по основам высшей математики и содержит задачи для контрольных работ.

Перед каждым параграфом дан необходимый справочный материал. Все задачи приводятся с подробными решениями. В конце разделов даны решения типовых задач контрольных работ. Отдельные задачи иллюстрированы соответствующими рисунками.

Для студентов инженерно-экономических специальностей вузов.

ISBN 978-5-394-00885-6 © А. С. Шапкин, В. А. Шапкин, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Преподавание математических дисциплин для инженерно-эк о- номических специальностей вузов имеет цель: ознакомить с тудентов с основами математического аппарата, необходимого дл я решения теоретических и практических инженерно-экономиче ских задач; привить умение самостоятельно изучать учебную лит ературу по математике и ее приложениям; развить логическое м ышление и повысить общий уровень математической культуры; в ы- работать навыки математического исследования прикладны х вопросов и умение перевести инженерно-экономическую зад ачу на математический язык.

Все это имеет очень важное значение для последующей практ и- ческой работы инженера-экономиста и необходимо также для успешного изучения общетеоретических и специальных дисци плин.

Учебными планами инженерно-экономических специальностей вузов предусмотрены математические дисциплины:

1.Высшая математика.

2.Теория вероятностей и математическая статистика.

3.Математическое программирование.

Объем и содержание этих дисциплин определяются в соответ - ствии с требованиями Государственных общеобразовательн ых стандартов на основе примерной программы дисциплины «Ма - тематика», утвержденной в 2000 г. Главным управлением образо - вательных программ и стандартов высшего и среднего профе ссионального образования Министерства образования Российс кой Федерации.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов о ч- ной и заочной форм обучения. Оно содержит общие методичес - кие рекомендации по изучению математических дисциплин, а также программу, методические указания и контрольные задани я по математике.

В учебных планах некоторых из инженерно-экономических специальностей все математические дисциплины объединен ы под общим названием «Математика» с последующим указанием на - званий конкретных дисциплин: а) общий курс, б) теория вероя т- ностей и математическая статистика и т.п. В этом случае наз вание дисциплины «Математика (общий курс)» следует считать равносильным названию «Высшая математика», и при изучении эт ой дисциплины может быть использовано настоящее пособие.

3

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В ВЫСШЕМ УЧЕБНОМ ЗАВЕДЕНИИ СТУДЕНТАМИ-ЗАОЧНИКАМИ

Основной формой обучения студента-заочника является сам о- стоятельная работа над учебным материалом; она складывае тся из чтения учебников, решения задач, выполнения контрольных з аданий. В помощь заочникам институты организуют чтение лекци й и практические занятия. Кроме того, студент может обращатьс я к преподавателю с вопросами в письменном виде или устно. Ук азания студенту по текущей работе даются также в процессе ре цензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить , что только при систематической и упорной самостоятельной ра боте помощь института будет достаточно эффективной.

Завершающим этапом изучения каждого из математических курсов (или отдельных частей курса высшей математики) явл яется сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным пла ном.

1.Чтение учебника

1.Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыд у- щего, проделывая на бумаге все вычисления (в том числе и те , которые по их простоте опущены в учебнике), воспроизводя име ю- щиеся в учебнике чертежи.

2.Особое внимание следует обратить на определение основных понятий. Студент должен подробно разобрать примеры, к о- торые поясняют такие определения, и уметь привести аналог ич- ные примеры самостоятельно.

3.Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязат ельно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точ ного представления о том, в каком месте доказательства использ овано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы д оказательства сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объекто в, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем.

4.При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, фор му-

4

лировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные для письменной или у стной консультации с преподавателем.

5.Письменное оформление работы студента имеет исключител ь- но важное значение. Записи в конспекте должны быть сделан ы аккуратно. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученн ому материалу не только приучит студента к необходимому в раб оте порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок , которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записе й.

6.Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечит ывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт п оказывает, что многим студентам помогает в работе составлени е листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студен та.

2.Решение задач

1.Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь.

2.При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студ ент видит несколько путей решения задачи, то он должен сравни ть их

èвыбрать из них самый удобный. Полезно до начала вычислен ий составить краткий план решения.

3.Решения задач и примеров следует записывать подробно, вычисления должны располагаться в строгом порядке, при эт ом рекомендуется отделять вспомогательные вычисления от о сновных. Ошибочные записи следует не стирать и замазывать, а за - черкивать. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует осо бо тщательного выполнения, например при графической провер ке решения, полученного путем вычислений, то следует пользов аться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб.

4.Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие, и по возможности в о б- щем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу под - ставляют числовые значения (если таковые даны) входящих в нее

величин. В промежуточные вычисления не следует вводить пр и- ближенные значения корней, числа π è ò.ä.

5

5.Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась за - дача с конкретным физическим или геометрическим содержа нием, то полезно прежде всего проверить размерность получен ного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу нескол ькими способами и сравнить полученные результаты.

6.Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

3.Самопроверка

1.После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы фо рмул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя кажд ый раз по учебнику. Вопросы для самопроверки, приведенные в наст оящем пособии, должны помочь студенту в таком повторении, за к- реплении и проверке прочности усвоения изученного матер иала.

Âслучае необходимости надо еще раз внимательно разобрат ься в материале учебника, порешать задачи.

2.Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В э том случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный р аздел.

3.Важным критерием усвоения теории является умение решат ь задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предо стеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключа ющейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение зад ачи получается в результате применения механически заученн ых форм, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение реш ать задачи является необходимым, но недостаточным условием х орошего знания теории.

4.Консультации

1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопрос ы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность т ерминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), он может об - ратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде письменной или устной консультаций.

6

2.В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретиче ских объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе фо рмулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруд нение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

3.За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы для сам о- проверки.

5.Контрольные работы

1.В процессе изучения математических курсов студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти рабо ты позволяют студенту судить о степени усвоения им соответс твующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него пробелы , на желательное направление дальнейшей работы, помогают сфо рмулировать вопросы для консультации с преподавателем (пись менной или устной).

2.Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материал у, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще в сего неумение решить ту или иную задачу контрольного задани я вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

3.Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Не самостоятельно выполненная работа не дает возможно сти преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатк и в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чег о студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному экзамену и зачету.

4.Не рекомендуется присылать в институт одновременно несколько контрольных заданий, это не дает возможности реце н- зенту своевременно указать студенту на допускаемые им ош ибки

èудлиняет срок рецензирования работы.

5.Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию р е- цензента, следует сохранять. Без предъявления преподават елю

7

прорецензированных контрольных работ студент не допуск ается

êсдаче зачета или экзамена.

6.Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответ ствии с распределением по семестрам материала и сообщается сту дентам дополнительно.

6.Лекции и практические занятия

Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студент овзаочников организуются лекции и практические занятия. Он и носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить внимание на общую схему построения соответствующего раз дела курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практ и- ческие приложения, факты из истории науки. Кроме того, на эт их занятиях могут быть более подробно разобраны отдельные в опросы курса (например, методы приближенных вычислений и др .); могут быть также рассмотрены отдельные вопросы программ ы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в реком ендуемых пособиях.

Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции и практически е занятия проводятся в течение всего учебного года. Эти лек ции и практические занятия носят более систематический харак тер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его с амостоятельной работе.

7. Зачет и экзамен

На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего усвоение в сех теоретических и прикладных вопросов программы и умение п рименять полученные знания к решению практических задач. Оп ределения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; задачи в простейших случаях дол ж- ны решаться без ошибок и уверенно; всякая письменная и гра фи- ческая работа должна быть аккуратной и четкой. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлет воряющими требованиям, предъявляемым программой.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуетс я повторять по учебнику и конспекту.

8

ПРОГРАММА КУРСА МАТЕМАТИКИ

Раздел I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Аналитическая геометрия на плоскости

1.Прямоугольные и полярные координаты на плоскости; основные задачи. Преобразования координат.

2.Уравнение линии на плоскости. Параметрические уравнения линии; уравнения в полярных координатах. Примеры.

3.Уравнения прямой, основные задачи.

4.Канонические уравнения кривых второго порядка; их основные свойства.

Определители и системы линейных уравнений

5. Определители второго и третьего порядков. Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Векторная алгебра

6.Векторы на плоскости и в пространстве. Сложение и вычи- тание векторов. Умножение вектора на скаляр. Проекции век тора на ось. Система декартовых прямоугольных координат в п ространстве. Проекции вектора на оси координат. Направляющи е косинусы вектора. Длина и координаты вектора. Действия на д векторами, заданными своими координатами.

7.Скалярное произведение двух векторов и его свойства; век - торное произведение; смешанное произведение трех вектор ов.

Аналитическая геометрия в пространстве

8.Прямоугольные координаты; основные задачи.

9.Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности. Уравнения пространственных линий.

10.Уравнение плоскости и уравнения прямой в пространстве; основные задачи.

11.Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

9

Элементы линейной алгебры

12.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

13.Определители n-го порядка и их свойства. Решение систем по формулам Крамера.

14.Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц. Единичная матрица. Обратная м атрица.

15.Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.

16.Векторное пространство. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Базис векторного пространства.

17.Линейное преобразование. Матрица линейного преобразования.

18.Теорема Кронеккера — Капелли и ее приложение к исследованию и решению системы линейных уравнений.

19.Квадратичные формы; положительно определенные квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к диагонал ь- ному виду. Применение матриц к упрощению уравнений кривых второго порядка на плоскости.

РАЗДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функции, предел, непрерывность

20.Переменные и постоянные величины. Функции; область определения; способы задания. График функции и его постро е- ние; преобразование графиков. Основные элементарные функ ции.

21.Предел; основные свойства пределов. Бесконечно малые и бесконечно большие. Формулировка теоремы существования предела для монотонной последовательности и монотонной фун кции.

23.Сравнение бесконечно малых; эквивалентные бесконечно

малые.

24.Непрерывность функции в точке и на интервале; действия над непрерывными функциями. Формулировка основных свойс тв функций, непрерывных на замкнутом интервале. Точки разрыв а функции.

10