шапкин задачи с решениями

Минор 3-го порядка, окаймляющий его

01 –1

Оба минора 4-го порядка, окаймляющие минор d3, равны 0:

Таким образом, ранг матрицы А r = 3.

Возвращаемся к системе (1.10). Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается теоремой Кроне кера— Капелли: система линейных уравнений (1.10) тогда и только

тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы А равен рангу матрицы А.

Пример 1.12. Решить систему

т.е. ранг матрицы А равен 2.

31

Для расширенной матрицы

5–1 7

а это означает, что ранг расширенной матрицы À равен 3.

По теореме Кронекера — Капелли следует, что система несов - местна.

Пример 1.13. Решить систему

Составляем матрицы

ка его окаймляющие, как для матрицы А так и для А, равны нулþ. Так как ранг матрицы системы А и ранг расширенной матрицы À совпадают и равны двум, то система совместна. Так как мы взя ли минор 2-го порядка, состоящий из коэффициентов при x1 è x2 в 1-м и 3-м уравнениях, то эти неизвестные оставляем в левой ча - сти, а неизвестные x3, x4 è x5 считаем свободными (как бы известными) и переносим их в правую часть:

ì x1 + x2 =1+ 2x3 + x4 - x5, íî x1 + 5x2 = 9x3 + 8x4 - x5.

Решая эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвес - тными x1 è x2, найдем общее решение системы в виде:

x1 = 54 + 41 x3 − 43 x4 − x5 , x2 = − 41 + 47 x3 + 47 x4 .

32

Подстановка этих значений в уравнения системы вместо x1 è x2 дает тождества.

Давая свободным переменным x3, x4 è x5 произвольные числовые значения, мы получим множество решений исходной сис - темы. Так решениями нашей системы будут, например, векторы

1.2. Элементы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок AB (ðèñ. 1).

Â

a

À ∙

Ðèñ. 1

Вектор обозначаåòñя указанием его начала (т. А) и его конца (т. B), записывается AB или одной буквой, например a .

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины (модули), лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Если известны координаты точек A (x1, y1, z1) è B (x2, y2, z2), то координаты вектора AB = {ax, ay , az} определяются по формулам

Координаты вектора являются его проекциями на координат ные оси, поэтому вектор a = {ax, ay, az} может быть представлен в виде:

где i, j, k — единичные векторы, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением осей ОХ, OY, OZ соответственно.

33

Модуль вектора обозначается à и определяется по формуле

Если векторы a è b заданы их разложениями по ортам (единичным векторам) (1.14), то их сумма и разность определяются по формулам

Напомним, что сумма векторов a è b , начала которых совмещены, изображается вектором с тем же началом, совпадающим с диагональю параллелограмма, сторонами которого являютс я век-

òîðû a è b . Разность a − b этих векторов изображается вектором, совпадающим со второй диагональю того же параллелог-

рамма, причем этот вектор направлен из конца b (вычитаемого) в конец a (уменьшаемого) (рис. 2).

a + b b

a − b

a

Ðèñ. 2

Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Условием коллинеарности двух векторов a = {ax , ay , az} è b ={bx , by , bz} является пропорциональность их координат

34

Произведением вектора a на скалярный множитель m является вектор, координаты которого определяются следующ им образом:

ma = max ×i + may × j + maz × k = {max ; may ; maz }.

Векторы a è ma параллельны (коллинеарны) и направлены в одну сторону, если m > 0, и в противоположные стороны, если m < 0.

Вектор à0 = | aa | называют единичным вектором вектора a .

Если вектор a составляет угол α ñ îñüþ ÎÕ, óãîë β ñ îñüþ OY è óãîë γ c осью OZ (рис. 3), то его единичный вектор a0 = {cos α; cos β; cos γ}, à cos α, cos β, cos γ — называют направляющими косинусами вектора.

αy

x

Ðèñ. 3

Пусть вектор a составляет угол ϕ с осью u. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой

npu a = a × cosϕ .

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угл а меж-

äó íèìè a ×b = | a | × | b | × cosϕ .

Скалярное произведение векторов a è b можно выразить также формулой

35

Свойства скалярного произведения:

1)a × b = b × a — коммутативный закон;

2)a ×(b +c) = ab + ac — дистрибутивный закон;

b={bx , by , bz}, òî a × b = axbx + ayby + azbz.

Ñпомощью скалярного произведения можно определить угол

между векторами:

Условие перпендикулярности двух векторов (свойство 4):

a × b = 0 , èëè axbx + ayby + azbz = 0.

Определение. Векторным произведением двух векторов a è b называется вектор ñ (рис. 4), определяемый следующими условиями:

1)модуль вектора ñ равен произведению модулей векторов a

èb , умноженному на синус угла между ними:

|c | = | a | × | b | × sin( a;b );

c = a ´ b

b

a

Ðèñ. 4

36

2) вектор ñ перпендикулярен векторам a è b ;

3) векторы a, b, ñ образуют правую тройку, то есть ориенти-

рованы по отношению друг к другу как орты i, j, k . Векторное произведение обозначают:

a × b èëè [a, b ].

Свойства векторного произведения: 1. [a, b ] = - [b, a].

2. [a, (b + c )] = [a, b ]+ [a, c].

3. [(m × a ), b ] = [ a, (m ×b )] = m ×[a, b ], где m — скалярный множитель.

4. Åñëè a || b , òî [a, b ] = 0, в частности [a, a] = 0. Если векторы a è b заданы своими координатами

Согласно определению, площадь параллелограмма, построен ного на векторах a è b , равна модулю их векторного произведения:

где S — площадь треугольника, построенного на векторах a è b .

Пример 1.14. Найти площадь треугольника, построенного на векторах a = {3; 1; 2} è b ={2; -1; 0} (ðèñ. 5).

a

b

Ðèñ. 5

37

Определение. Смешанным произведением векторов a , b è c называется произведение вида:

[a, b ]×ñ = a × [b, c] = a ×b ×c .

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 6).

c

b

a

Ðèñ. 6

Объем пирамиды, построенной на векторах a , b , c :

38

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется, если переставлять перемножаемые векторы в круговом порядке

a × b × ñ = b × ñ × a = ñ × a × b

2. От перестановки любых двух векторов смешанное произвед е- ние меняет знак

a × b × c = -a ×c × b = -b × a × c.

3. Если векторы a , b è c компланарны (то есть все три вектора лежат в одной и той же плоскости), то

a ×b ×ñ = 0.

Пример 1.15. Найти объем пирамиды, построенной на векторах à ={1;2;3}, b = {3;−1;2}, c ={1;2; −1}.

Найдем смешанное произведение векторов:

1.3. Аналитическая геометрия

1.3.1.Аналитическая геометрия на плоскости

Если на плоскости произвольно взята декартова система ко - ординат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х и y

где А и B одновременно не равны нулю, определяет прямую в этой системе координат.

Верно и обратное утверждение: в декартовой системе коорди - нат всякая прямая может быть представлена уравнением пер вой степени вида (1.24).

Уравнение (1.24) называется общим уравнением прямой.

39

Частные случаи уравнения (1.24) приведены в следующей таблице.

Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол ϕ, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до ее совпадения с данной прямой. Направ ление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициент ом k, который определяется как тангенс угла наклона ϕ этой прямой к оси Ох, т.е.

k = tg ϕ .

Исключение составляет только лишь прямая, перпендикуляр ная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оy в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде:

Угловой коэффициент k прямой, заданной общим уравнением Ax + By + С= 0, находится как коэффициент при х в выражении у через х:

k = − BA.

40