шапкин задачи с решениями

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛАМ 1 И 2

Тема «Функции нескольких переменных» будет рассмотрена после определенного интеграла.

1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1.Действия с матрицами

1.1.1.Выполнить действия

Сначала умножаем матрицу на число, а затем вычитаем из одной матрицы другую

б) нужно перемножить две матрицы: С = АВ. Это возможно в случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Элемент Сik матрицы С имеет вид:

n

Cik = åaij × bjk = ai1 ×b1k + ai2 ×b2k + ...+ ain ×bnk j=1

(i = 1, 2, …, n; k = 1, 2, …, n),

т.е. элемент матрицы С, стоящей в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.

111

1.2. Вычисление определителей

×Å

=6×2 ×3 + 4 ×(-4)×1+ 2(-2)×(-2) - 2 ×2 ×1- 6×(-4)×(-2) - 4 ×(-2)×3 =

=36 -16 + 8 - 4 - 48 + 24 = 68 - 68 = 0.

Справа от определителя приписываются два первых столбца , берутся со знаком «+» три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух диагоналях ей параллельной и со знаком минус три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и двух диагоналях ей параллельной;

б) разложением по строке.

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения

D = ài1 · Ai1 + ài2 · Ai2 + … + àin · Ain (i = 1, 2, …, n),

ãäå Aij — алгебраическое дополнение элемента определителя аij, равное

Здесь Мij — минор элемента аij, т.е. определитель (n – 1)-го порядка, получающийся после вычеркивания из определителя n-го порядка i-й строки и j-го столбца.

112

Проверяем правильность нахождения обратной матрицы:

×Å

Находим алгебраические дополнения

114

1.4.Системы линейных уравнений

1.4.1.Записать систему в матричном виде Ax = b :

ì 2x + 4y =15

íî- 2x + 6y =15

и решить ее средствами матричного исчисления.

Решение этой системы через обратную матрицу А–1 имеет вид

x= A−1 ×b.

Âпункте 1.3.1: а) была найдена обратная матрица À–1, тогда

Можно сделать проверку, т.е. подставить найденные значени я

õи у в исходную систему уравнений.

1.4.2.Решить систему методом исключения переменных (методом Гаусса):

Выберем в качестве первого ведущего уравнения — первое уравнение системы и оно в дальнейшем остается без изменен ия, а в качестве первого ведущего неизвестного — х1.

Исключаем неизвестную х1 из второго и третьего уравнений системы с помощью первого уравнения. Для этого из 1-го уравн е- ния вычитаем второе, получим х2 + 2õ3 = 0, затем 1-ое уравнение умножаем на 3, а 3-е уравнение — на 2 и вычитаем из одного другое, получим 2х2 + õ3 = 3.

Выписываем систему

115

Неизвестная х1 исключена. Первый шаг закончен. Теперь второе уравнение берется за ведущее и оно в дальнейшем не изменяется, а за ведущую неизвестную принимается х2. Исключаем из 3-го уравнения х2, для этого 2-ое уравнение умножаем на 2 и вычитаем из него 3-е уравнение системы, получа- ем 3х3 = –3.

Получим систему

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом полу- чаем:

1. С помощью теоремы Кронекера—Капелли установить совместность системы.

Выписываем матрицу системы А и расширенную матрицу À

Рассмотрим минор 2-го порядка

116

Далее выпишем четыре минора 3-го порядка

Так как миноры d31, d32 è d33 равны нулю, то ранг системы

равен двум, а так как минор d34 = 0, то и ранг расширенной матрицы равен двум. Равенство рангов расширенной матрицы и м атрицы системы на основании теоремы Кронекера—Капелли гов о- рит о том, что система алгебраических уравнений совместна , т.е. имеет решение.

2. Найти общее решение системы в виде

x1 = f (x3, x4, x5), x2 = ϕ (x3, x4, x5).

Так как число неизвестных пять, а ранг матрицы равен двум, то разность между ними, равная трем (n – r = 5 – 2 = 3), говорит о том, что три неизвестных будут свободными, пусть это бу-

äóò x3, x4, x5.

Берем первые два уравнения системы и записываем их относительно x1 è x2 (коэффициенты при этих неизвестных составляют минор 2-го порядка отличный от нуля), а неизвестные x3, x4, x5 переносим в правую часть:

ì2x1 + 7x2 = 43 - 5x3 - 2x4 + 5x5,

íî3x1 + 5x2 = -13 -2x3 - 2x4 + 3x5.

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 è x2. Умножая первое уравнение на 5, а второе на 7 и вычитая одно из другого, найдем x1 и подставляя его в 1-ое уравнение, после преобразований получим выражение для x2:

117

Это и будет общее решение исходной системы линейных уравнений.

3. Найти частное решение системы a = (x1, x2, x3, x4, x5), положив x3 = 5, x4 = 2, x5 = 3 и проверить систему.

Находим x1 è x2:

Выполнение тождества для всех уравнений системы говорит о

нием исходной системы уравнений.

1.5.Собственные числа и собственные векторы

1.5.1.Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы

118

Составляем характеристическое уравнение матрицы А:

отсюда (5 – λ) · (–λ) – 2 · 7 = 0, èëè λ2 – 5λ – 14 = 0. Корни этого уравнения λ1 = –2 è λ2 = 7 и являются собственными числами.

Для отыскания собственных векторов используем систему уравнений

ì(5 - λ )x + 2y = 0

íî7x - λy = 0.

Полагая λ = λ1 = –2, получаем систему уравнений для первого собственного вектора u(u1, u2 ) :

ì7u1 + 2u2 = 0 íî7u1 + 2u2 = 0.

Следовательно, первым собственным вектором, определяющим первое собственное направление, является

Меняя u2, будем получать различные векторы, лежащие на одной прямой (коллинеарные). Все они — собственные.

Полагая λ = λ2 = 7, получаем систему уравнений для отыскания координат второго собственного вектора v (v1; v2 ) :

Отсюда v1 = v2 — общее решение (v2 — свободная, v1 — базисная переменная).

Второй собственный вектор v(v1; v2 ) = (v2; v2 ) = v2 (1;1) определяет второе собственное направление.

119

2.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2.1.Прямая линия на плоскости

2.1.1.На прямую l: 3x + 2y – 12 = 0, которая способна отра-

жать лучи, падает луч, заданный уравнением l1: 3x + 4y – 18 = 0. Составить уравнение отраженного луча.

Решение. Так как угол падения луча равен углу отражения луча,

òî Ðϕ1 = Ðϕ2, ò.å. tg ϕ1 = tg ϕ2 (ðèñ. 31). y

l2

ϕ2

A(2; 3)

ϕ1

l1 x

l

Ðèñ. 31

Уравнение отраженного луча — прямой l2 — èùåì â âèäå: y – yA = k2(x – xA).

Для нахождения координат точки А решим систему уравне-

íèé:

ì3x + 2y –12 = 0 íî3x + 4y –18 = 0.

Вычитая, найдем: –2у + 6 = 0, у = 3 и 3x = 12 –2у = 12 – 2 · 3 = 6,

x = 2, ò.å. xA = 2 è yA = 3.

Найдем угловые коэффициенты прямых l и l1:

120