Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

шапкин задачи с решениями

.pdf

Скачиваний:

509

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

2.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

(неопределенность

±¥

; числитель и знаменатель разделим на х и

при этом перед lim ставим знак «±»)

5 -

= ± lim

= ±

;

x→±∞

1 + 1

á)

8x2

- 20x +

8×

- 20×2 + 8

lim

= ç

— неопределенностьч.

x→2

- 2x + 4

×2

- 2 ×2 + 4

Многочлен в числителе раскладываем на множители и числи-

тель и знаменатель умножим на

(

4õ +

2õ + 4):

1 ö

( 4x + 2x + 4 )

8x2 - 20x + 8

8(x - 2)ç x -

lim

= lim

( 4x - 2x + 4 ) × ( 4x + 2x + 4 )

x→2 4x - 2x + 4

x→2

1 ö

(x - 2)ç x -

2x + 4 )=

= 8 lim

2 ø × lim( 4x +

x→2

4x - 2x - 4

x→2

1 ö

(x - 2)ç x -

2 ×2 + 4 )=

4 ×

= 8 lim

ø × ( 4 ×2 +

2 8 limç x -

÷ =

x→2

2(x - 2)

→2è

=16 2 ×

1 ö

ç2 -

÷ = 24 2;

â)

cos2x

- cos6x

æ cos0 - cos0

1-1

lim

= ç

— неопределенностьч

1- cos4x

1- cos0

1-1

x→0

(в числителе применяем формулу преобразования суммы в произведение, а в знаменателе — формулу половинного аргумента)

= lim	-2sin4x×sin(-2x)	= lim	sin4x×sin2x	= lim	sin4x	= lim	4x	=	4	= 2.
	2sin2 2x
x→0		x→0 sin2 2x		x→0 sin2x		x→0	2x		2

Заменили числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми: sin 4x ~ 4x; sin 2x ~ 2x;

131

2x -1ö2x

(2x +1) - 2 ö2x

2 ö2x

ã)

lim

= lim

ç1

2x +1

x®¥è

Обозначим теперь α = −

откуда

2x = -

-1, причем при

2x +

õ → ∞ имеем α → 0.

Тогда

Þ lim(1+α )

-1 = lim(1+α )-

× lim(1+α )-1 =

α ®0

®0

ö-2

×(1+

-1

-2

×1 = e

-2

(e)

;

= ç lim(1+α )

èα ®0

ä)

C = lim(cos2x)

ctg2 4x

ctg2 4π

ç (cos2π )

— неопределенностьч.

x®π

Полагаем cos 2x = 1 + α (x), ãäå

lim

α (x) = 0

и следовательно,

®π

öα (x)×ctg2 4x

= lim e

4x =

C = limç(1+α(x))α (x )

( x)×ctg

π ç

x® è

x®

lim α (x)×ctg2	4x	lim (cos2x-1)×ctg2	4x
= ex→π		= ex→π

Вычисляем:

À = lim(cos2x -1)×ctg2 4x = lim(-2 sin2

x)×

cos2 4x

sin2 4x

x®π

sin2 x

4π

æ sin x

ö2

= -2 lim cos

4x × lim

= -2cos

× limç

÷ .

x®π

x®π sin2 4x

x®π è sin4x ø

Пусть t = x – π, отсюда

x = π + t

è,

åñëè

x → π, òî t → 0.

Тогда

ö2

æ - sint ö2

æ sin(π + t)

A = -2 ×1 limç

÷ = -2 limç

t®0ç

t®0

è sin4t ø

è sin4( + t) ø

æ sint ö2

sint

ö2

= -2 limç

= -2çlim

sin4t

t®0è sin4t ø

èt®0

sint

ö2

= -2 ×

çlim

× lim

= -

(1×1)

= -

β ®0 sin β

èt®0

132

Положили β = 4t è, åñëè t → 0, òî			β → 4 · 0 → 0. Имеем
−	1		−	1
				8 .
C = eA = e	8	окончательно lim(cos2x)ctg2 4x = e
		x→π

3.2.2. Определить характер точек разрыва или установить непрерывность функции f (x) в точках х1 = 0 è õ2 = 2. Схематически изобразить поведение f (x) в окрестностях этих точек:

à)

ì2(x + 2)

ïðè

− ∞ < x < 0,

−

≤

f (x)

ïðè

2 < x < ∞.

ï4x

ïðè

В точке х = 0 функция f (x) непрерывная, т.к.

lim	f (x) = lim 2(x + 2) = 4 = lim		f (x) = lim (x − 2)2 = 4.
x→−0	x→−0	x→+0	x→+0

Â	точке	õ = 2	функция f(x) имеет				разрыв 1-го рода, т.к.
lim	f (x) =	lim (x − 2)2		= (2 − 0 − 2)2	= 0	è	lim f (x) =	lim 4x =
x→2−0	x→2−0						x→2+0	x→2+0
= 4(2 +0) = 8, ò.å.			lim	f (x) ¹ lim	f (x)	(ðèñ. 35).
		x→2−0		x→2+0

f(x)

Ðèñ. 35

133

á)

f (x) =

− 2

lim

= −2,

−∞

x→−0

− 2

0 − 2

− 2 2

−0

− 2

lim =

= 0.

∞

x→+0

− 2

∞

− 2 20

− 2

В точке х = 0 имеем разрыв 1-го рода.

lim

= +∞,

+ 0

x→2−0

− 2

2 x

22−0

lim

= –∞.

– 0

x→2+0

− 2

2 x

22+0

В точке х = 2 имеем разрыв 2-го рода. Рассмотрим поведение функции на бесконечности

lim	4			=	4			= −4 + 0, lim	4			=	4			= −4 – 0

	2				2				2				2
x→−∞	2		− 2		2		− 2	x→∞	2		− 2		2		− 2
		x				−∞				x				∞

(ñì. ðèñ. 36).

f(x)

0		2	x
0		2	x
	–2







–4

Ðèñ. 36

134

3.3.Производные функций

3.3.1.Найти производные y ′(x) функций:

à)	æ	1	x	3	+	5	ö6
à)	y = ç	3	x		+		x + 8÷ .
	è	3					ø

При нахождении производной y′ применим теоремы о производной сложной функции, о производной степенной функци и, о производной от алгебраической суммы функций, о выносе постоянной величины за знак производной: (с · f (x))′ = c · f ′ (x) и о производной от постоянной величины: (с)′ = 0:

ö¢

æ 1

6−1

æ 1

y¢ = ç

x +

8÷

6ç

8÷

×ç

+ x5 + 8÷

è 3

x +

+ (8)¢

= 6ç

8÷

+ ç x

x +

ö5

×3x

3−1

−1

= 6ç

8÷ ×

+ 0÷

æ 1

= 6ç

x + 8÷

;

è 3

á) y = 3x2 . Применяя теоремы о производной от сложной функции и о производной от показательной функции, получим:

−

y¢

= ç

×ln3×ç

= 3x

×ln3×4(x

)¢ =

è x

×ln3×4(-2x−3 ) = -

= 3

×3x2

×ln3.

â)

æ 3x +1ö3

y = ln 4 ç

. Используя свойства логарифмов, имеем:

è x3 +1ø

æ 3x +1ö

3x +1

y = lnç

(ln(3x +1) - ln(x

+1)).

x3 +1

è x3 +

1ø

135

Находим производную:

æ 3			3	ö¢		3	((ln(3x +1))¢ - (ln(x	3	+1))¢)=
y¢ = ç		(ln(3x +1) - ln(x		+1))÷	=
	4					4
è				ø

(3x +1)¢

(x3

+1)¢ ö

3x2 ö

1- x2 - 2x3

;

3x +1

(3x +1)(x

+1)

ã) y = arcsin3x . Рассматриваем производную от дроби:

1- 9x2

(arcsin3x)¢

1- 9x

ö¢

×arcsin3x

- ç

y¢ = ç arcsin3x

2 ö2

1- 9x2

- 9x

(3x)¢

× 1- 9x2

(1- 9x2 )¢

×arc sin3x

2 1- 9x2

1- (3x)2

1- 9x2

- 9×2x

3 -

×arcsin3x

3 1- 9x2

+ 9x ×arc sin3x

- 9x2

;

1- 9x2

(1- 9x2 )3

ä) y = (2x)sin3x. Здесь основание и показатель степени зависят от х. Логарифмируя, получим:

ln y = sin 3x · ln 2x

Дифференцируем обе части последнего равенства по х. Так как

у является функцией х, то ln y есть сложная функция х и (ln y)¢ =							y¢	.
								.
Следовательно,							y
Следовательно,
(ln y)¢ = (sin3x ×ln2x)¢,	y¢		= (sin3x)¢× ln2x + sin3x ×(ln2x)¢,
(ln y)¢ = (sin3x ×ln2x)¢,			= (sin3x)¢× ln2x + sin3x ×(ln2x)¢,
	y
æ				1		ö
y¢ = yçcos3x ×(3x)¢		× ln2x + sin3x ×			×(2x)¢÷,
y¢ = yçcos3x ×(3x)¢		× ln2x + sin3x ×		2x	×(2x)¢÷,
è				2x		ø
æ				1		ö
y¢ = yçcos3x ×3		× ln2x + sin3x ×			×2	÷
y¢ = yçcos3x ×3		× ln2x + sin3x ×		2x	×2	÷
è				2x		ø

136

и окончательно

y¢ = (2x)	sin3x æ	1	ö
	ç3cos3x × ln2x +		sin3x÷;
	ç3cos3x × ln2x +	x	sin3x÷;
	è	x	ø

å) e3x+2y - 23xy = 6. Функция задана неявно. Для того, чтобы най-

òè ó′, продифференцируем обе части равенства по х, считая у функцией от х, а затем разрешим уравнение относительно у′ :

ö¢

x ö¢

çe3x

2 y -

= 6¢, (e

2y )¢ - ç

= 0,

y ø

e3x+2y ×(3x

+ 2y)¢ -

x¢× y - x × y¢

= 0.

Приводим к общему знаменателю:

3ó2 · å3x + 2y(3 + 2ó¢ ) – 2(y – xó¢ ) = 0.

Отсюда находим

y¢ = y(2 - 9y × e3x+2y ) ; 2(x + 3y2 × e3x+2y )

ìy = ln4t + 2t + 4,

æ) íîx = 2t2 + 2t + 8.

Здесь функция у аргумента х задана параметрическими уравнениями и тогда:

yt¢

(ln4t + 2t + 4)¢

+ 2

1+ 2t

y¢

xt¢

(2t2 + 2t + 8)¢

2 ×2t + 2

t ×2(2t +1)

	3.4. Приложения производной
	3.4.1. Составить уравнения касательных к кривой y =	3x + 2
	3.4.1. Составить уравнения касательных к кривой y =	3x - 2
	параллельных прямой 3х + у + 3 = 0.	3x - 2
	параллельных прямой 3х + у + 3 = 0.

Решение. Пусть М (x0; y0) — координаты точки касания касательной и кривой. Уравнение касательной выбираем в виде:

y – y0 = kkac. · (x – x0).

137

Так как касательная параллельна прямой 3х + у + 3 = 0, угло-

вой коэффициент которой kïð. = –3, òî kkac. = kïð. = –3. Найдем производную:

3x + 2

ö¢

(3x + 2)¢(3x - 2)

(3x + 2)(3x - 2)¢

y¢ = ç

3x - 2

2)2

(3x

3(3x - 2 - 3x - 2)

-12

(3x - 2)2

(3× x - 2)2

Так как производная у′ в точке касания (x0; y0) численно равна угловому коэффициенту касательной, то

y¢(x0 ) =

-12

= Kkac. = -3,

(3x0 - 2)2

отсюда

–12 = –3(3õ

– 2)2 è

9x2

−12x

= 0.

Получаем

= 0, x

тогда

3×

+ 2

3 ×0 + 2

= 3.

= -1 è y

3 ×0 - 2

3×

- 2

æ 4

Имеем две точки касания М1 (0; –1) è

; 3÷,

соответственно

è 3

которым запишем два уравнения касательных: у + 1 = –3(х – 0), отсюда

	æ	4	ö
3õ + ó + 1 = 0 è y - 3	= -3ç x -		÷,
3õ + ó + 1 = 0 è y - 3	= -3ç x -	3	÷,
	è	3	ø

отсюда

3õ + ó – 7 = 0.

3.4.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1 на отрезке [1; 11].

Решение. Данная функция непрерывна на [1; 11]. Находим f ′(x) = 6x2 + 6x – 36 = 0. Полагая у′ = 0, имеем x2 + x – 6 = 0,

138

отсюда получаем две критические точки: x1 = –3 è x2 = 2. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на з а- данном отрезке достаточно вычислить ее значения на конца х отрезка и в точке х = 2, так как точка х = –3 не принадлежит отрезку [1; 11]. Получим:

f (1) = 2 · 1 + 3 · 1 – 36 + 1 = –30,

f (2) = 2 · 23 + 3 · 22 – 36 · 2 + 1 = –43,

f (11) = 2 · 113 + 3 · 112 – 36 · 11 + 1 = 2630.

Следовательно, наименьшее значение функции равное (–43), достигается в критической точке х = 2, а наибольшее равно 2630 — на правом конце отрезка, в точке х = 11.

3.4.3.Исследовать методами дифференциального исчисления

èпостроить график функции:

f (x) =	(x − 3)3
		.

	(x − 3)2 − 4

1. Область определения функции.

(õ – 3)2 – 4 ¹ 0; (õ – 3)2 ¹ 4; õ – 3 ¹ ±2; õ ¹ 5, õ ¹ 1.

Область определения — вся ось Ох за исключением точек

õ= 5 è õ = 1.

2.Точки разрыва и интервалы непрерывности.

lim	(x − 3)3		=		(5 ± 0 − 3)3			= ±∞,
		− 4			(5 ± 0 − 3)2
x→5±0 (x − 3)2						− 4
lim	(x − 3)3			=	(1± 0 − 3)3			= ±∞.
		− 4			(1± 0 − 3)2
x→1±0 (x − 3)2						−	4

Точки разрыва х = 5 и х = 1. Интервалы непрерывности (–¥; 1), (1; 5), (5; ¥).

3. Слева от точек разрыва х = 1 и х = 5 функция f (x) ® –¥, а справа — f (x) ® +¥.

Вертикальные асимптоты: x = 1 и x = 5.

4. Точки пересечения с осями координат. С осью Ох : у = 0,

	(x − 3)3
тогда			= 0, отсюда x = 3.
	(x − 3)2
		− 4

139

С осью Оу : х = 0, тогда					f (x) =						(0		- 3)3						= -			27		.
С осью Оу : х = 0, тогда					f (x) =							- 3)2			-				= -				5	.
								(0				- 3)2			-	4							5
		æ	-	27	ö
Получим точки: ç0;					÷	è (3; 0).
Получим точки: ç0;				5	÷	è (3; 0).
		è		5	ø
5. Симметрия графика.
		x = 4, тогда			f (4) =				(4 -3)3								= -				1		.
		x = 4, тогда			f (4) =			(4			-3)2 - 4						= -				3		.
								(4			-3)2 - 4										3
		x = –4, тогда f (-4) =						(			-4		- 3)3					= -				343			.
		x = –4, тогда f (-4) =						(-4				-	3)2		-	4		= -					45		.
								(-4				-	3)2		-	4							45
Так как f(4) ¹ f(–4), то функция общего вида.
6. Находим производную													ö¢
					æ		(x - 3)3						ö¢
		f ¢(x) = ç												÷	=
		f ¢(x) = ç								2				÷	=
					ç		(x - 3)			2		-	÷
					è		(x - 3)					-	4 ø
	=	((x - 3)3 )¢((x - 3)2 - 4) - (x - 3)3 ((x - 3)2 - 4)¢																								=
	=			((x - 3)2 - 4)2																						=
				((x - 3)2 - 4)2
=	3(x - 3)2 ((x - 3)2 - 4) - (x - 3)3 ×2(x -												3)		=	(x -				3)2 (x2 - 6x - 3)							.
=		((x - 3)2 - 4)2													=				((x -					3)2		- 4)2	.
		((x - 3)2 - 4)2																	((x -					3)2		- 4)2
Находим критические точки:
		ó¢ = 0	èëè				(x - 3)2 (x2 - 6x - 3)															= 0,
отсюда		ó¢ = 0	èëè				((x - 3)2 - 4)2															= 0,
							((x - 3)2 - 4)2

x1 = 3 - 2 3 , x2 = 3 + 2 3 , õ3 = 3.

Исследуем знаки у¢ при переходе через критические точки.

ó¢	¿ max ×	×	min	¿
	3 - 2 3	∙3	3 + 2 3	x

140

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 4414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.201524.08 Кб21ЧИЧЕРИНА Н.docx
#
15.04.2015693.18 Кб83ЧМнервы.pdf
#
21.03.201684.99 Кб36что явл материалом исследования патанатомии.doc
#
27.11.2019107.52 Кб4Шаблон реферата.doc
#
14.04.2015156.32 Кб17Шанхайская организация сотрудничества .docx
#
15.04.20152.34 Mб509шапкин задачи с решениями.pdf
#
30.08.201933.1 Кб2шиза рус.docx
#
30.08.201942.48 Кб1шизофрения(2).docx
#
14.04.2015137.73 Кб79шпаргалки ТГП.doc
#
01.09.201979.37 Кб2шпора бжд.docx
#
01.09.201967.31 Кб7шпора бжд.docx