шапкин задачи с решениями

Помимо указанного способа, можно получить разложения функций в ряд Тейлора, исходя из известных разложений, нап ример, разложений (2) – (7). При этом возможно использование следующих действий над степенными рядами внутри их интервал ов сходимости:

1)два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилу умножения многочленов;

2)степенной ряд можно почленно умножать на общий множитель;

3)степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз.

Так как степенной ряд для своей суммы есть ряд Тейлора, то полученное в результате указанных действий разложение б удет искомым.

Пример 5.20. Разложить в ряд Тейлора функцию f (x) = e3x. Решение. Вычислим значения данной функции и ее последова-

тельных производных при х = 0:

LLLLLL LLLLLL f (n) (x) = 3n e3x , f (n) (0) = 3n ,

LLLLLL LLLLLL

Подставляя полученные значения в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции, получим

221

Это и есть разложение в ряд Тейлора для функции f (x) = e3x. Полученный ряд сходится к породившей его функции f (x) = e3x при любом значении х (см. задачу 5.19).

Заметим, что то же самое разложение можно получить из ряда Тейлора для функции e3x заменой х на 3х.

Пример 5.21. Разложить в ряд Тейлора функцию f (x) = ln (1 – 2x). Решение. Заменяя в разложении (7) х на –2х, получим:

Разложение (7) справедливо в интервале –1 < x ≤ 1, а искомое разложение получается в результате замены х на –2х; следовательно, для нахождения интервала сходимости полученного ряда нужно решить неравенство

–1 < –2x ≤ 1,

откуда

− 21 ≤ õ < 21 .

Пример 5.22. Разложить в ряд Тейлора функцию f (x) = cos 2x. Решение. По известной тригонометрической формуле имеем:

cos2 x = 1+ cos2x . 2

Разложим в ряд Тейлора функцию cos 2x, заменяя в разложении (4) х на 2х:

222

Разложение (4) справедливо при любом х, поэтому ряд Тейлора для cos 2x сходится к породившей его функции также на всей числовой оси.

Для того чтобы получить разложение в ряд Тейлора функции

Это и есть разложение в ряд Тейлора функции f (x) = cos2 x. Очевидно, что оно справедливо при любом х.

Пример 5.23. Применяя дифференцирование и интегрирование, найти разложение в ряд Тейлора для данной функции f (x) = arc tg x и указать интервалы, в которых эти разложения имеют место .

Решение. Запишем выражение данной функции в виде интеграла:

Очевидно, что этот ряд сходится в интервале (–1; 1). Интегрируя почленно полученный ряд в пределах от 0 до х (где | x | < 1), получаем разложение функции f (x) = arctg x в ряд Тейлора:

Этот ряд сходится в том же интервале (–1; 1), что и исходный ряд.

223

5.7.Приложение рядов

êприближенным вычислениям

Пример 5.24. Вычислить sin 18°, ограничиваясь первыми двумя членами ряда (3), и оценить получающуюся при этом погрешность.

Решение. Так как разложение sin x в ряд Тейлора справедливо

Полученный ряд — знакочередующийся. Ограничиваясь двумя членами этого ряда, т.е. считая sin10π равным их сумме, мы тем самым допускаем ошибку, не превосходящую первого отбрасы -

Пример 5.25. Вычислить e2 с точностью до 0,01.

Решение. Пользуясь разложением (2), при х = 2 получим

Остается решить вопрос о том, сколько членов данного ряда надо взять, чтобы получить значение е2 с требуемой точностью. Пусть искомое число членов равно k. Это означает, что ошибка

224

1

Пример 5.26. Вычислить ò0 sinxx dx c точностью до 0,01.

Решение. Данный определенный интеграл можно вычислить только приближенно. Для этого разложим подинтегральную ф ункцию в ряд Тейлора:

(здесь мы ограничились двумя первыми членами этого знако -

1

переменного ряда, так как третий член 5 !5 меньше 0,01).

226

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО РАЗДЕЛАМ 3, 4 И 5

4.ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1.Неопределенный интеграл

4.1.1.Найти интегралы и в пункте а) результат проверить дифференцированием:

Верно.

227

â) J = ò(x + 3)2e−2xdx.

Применяем формулу интегрирования по частям: òudv = uv − òvdu.

Пусть u = (x + 3)2, du = 2(x + 3)dx.

Еще раз интегрируем по частям: u = x + 3, du = dx.

dv = e−2xdx; v = - 21 e−2x ,

тогда

228

Подинтегральная функция представляет собой правильную алгебраическую дробь. Раскладываем знаменатель на простые множители и дробь представляем в виде суммы элементарных дро бей:

3õ + 13 = À(x2 – 6x + 13) + (Bx + C) · x.

Равенство справедливо при любом х. Пусть

õ = 0 : 3 · 0 + 13 = À(0 – 6 · 0 + 13) + (B · 0 + C) · 0; 13 = 13À; À = 1.

õ = –1 : –3 + 13 = À(1 + 6 + 13) – (–B + C); 10 = 20À + Â – Ñ; 10 = 20 + Â – Ñ; Â – Ñ = – 10.

õ = 1 : 3 + 13 = À(1 – 6 + 13) + B + C; 16 = 8 · 1 + B + C; B + C = 8.