шапкин задачи с решениями

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение y уравнения (2), а затем найти какоелибо частное решение у* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

y = y + y .

Приведем правило отыскания частного решения у* уравнения (1) в следующих двух случаях:

правая часть f (x) имеет вид

ãäå Pn(x) — многочлен степени n; правая часть f (x) имеет вид

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

I. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид

f (x) = ekxPn (x),

причем число k не является корнем характеристического уравнения

соответствующего однородному уравнению (2). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

ãäå Qn(x) — некоторый многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами.

Если же число k является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме

где m — кратность корня k (т.е. m = 1, если k — однократный корень, и m = 2, если k — двукратный корень).

201

II. Пусть теперь правая часть уравнения (1) имеет вид:

f (x) = a cos λx + b sin λx,

причем числа ±λ i не являются корнями характеристического уравнения (5). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

где А и В — неопределенные коэффициенты.

Если же комплексные числа ±λi являются корнями характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) сл е- дует искать в форме

Пример 4.21. Найти общее решение уравнения

y² + 4y¢ + 3y = (8x2 + 84x)ex.

Решение:

1. Найдем общее решение y соответствующего однородного уравнения

y² + 4y¢ + 3y = 0.

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение

r2 + 4r + 3 = 0,

получаем корни r1 = –3, r2 = –1. Следовательно,

y= C1e−3x +C2e−x.

2.Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть f (x) = (8x2 + 84x)ex имеет вид (3): n = 2, P2(x) = 8x2 + 84x, k = 1, причем k = 1 не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение у* нужно искать в форме

ó* = (Àx2 + Bx + C)ex,

202

где А, B и C — некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что у* должно быть решением данного уравнения. Найдем y*¢ и y*²:

y′ = (Ax2 + Bx + C )ex + (2Ax + B)ex = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex ,

y′′ = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex + (2Ax + 2A+ B)ex =

= (Ax2 + 4Ax + Bx + 2A+ 2B + C)ex ;

теперь подставим выражения для у*, y*¢ и y*² в данное уравнение:

(Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)ex + 4(Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex +

+3(Ax2 + Bx + C)ex = (8x2 + 84x)ex.

Сокращая обе части полученного равенства на ex и группируя члены при одинаковых степенях х, в результате получим

Ax2 + (12À + 8Â)x + (2À + 6Â +8Ñ) = 8x2 + 84x.

Это равенство выполняется тождественно только в том слу- чае, когда коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства равны между собой.

Итак, имеем следующую систему уравнений для отыскания коэффициентов А, В и С:

ï2A+ 6B + 8C = 0.

î

Решая эту систему, найдем А = 1, В = 9, С = –7. Таким образом, получаем искомое частное решение

ó* = (õ2 + 9x – 7)ex.

Теперь можно записать общее решение данного уравнения y = y + y = C1e−3x + C2e−x + (x2 + 9x - 7)ex .

Пример 4.22. Найти общее решение уравнения y² + 6y¢ + 9y = 14e–3x.

Решение. 1. Найдем y .

Характеристическое уравнение r2 + 6r + 9 = 0, имеем корни r1 = r2 = –3. Следовательно,

y = (C1 +C2 x)e−3x .

203

2. Найдем теперь у*. Здесь правая часть имеет вид (3): n = 0, P0 = 14, k = –3. Так как k = –3 является двукратным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* следует искать в форме

ó* = Àõ2e–3x,

где А — коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные y*¢ и y*²:

y′ = (-3Ax2 + 2Ax)e−3x , y′′ = (9Ax2 -12Ax + 2A)e−3x.

Подставляя выражения для y*, y*¢ и y*² в данное уравнение, сокращая обе его части на e–3x и приводя подобные члены, в итоге получим 2А = 14, откуда А = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

ó* = 7õ2e–3x.

Итак, общее решение данного уравнения

y = y + y = (C1 +C2 x)e−3x + 7x2e−3x.

Пример 4.23. Найти общее решение уравнения

y² – 4y¢ + 5y = 2 cos x + 6 sin x.

Решение. 1. Найдем y . Характеристическое уравнение

r2 – 4r + 5 = 0

имеем корни r1,2 = 2 ± i. Следовательно,

y= e2x (C1 cosx + C2 sinx).

2.Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4):

à= 2, b = 6, λ = ± i. Числа ± i не являются корнями характеристи- ческого уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме

ó* = À cos x + Â sin x,

204

где А и В — неопределенные коэффициенты. Найдем производные y*¢ и y*²:

y′ = -Asin x + Bcosx,

y′′ = -Acosx - Bsin x;

подставляя теперь выражения для y*, y*¢ и y*² в данное уравнение и группируя члены при cos x и sin x, в результате получим

(4À – 4Â) cos x + (4À + 4Â) sin x = 2 cos x + 6 sin x.

Следовательно, для нахождения А и В имеем систему

ì4A4B = 2,

íî4A+ 4B = 6.

откуда А = 1, B = 21 . Таким образом,

y = cos x + 21 sin x.

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

y = y + y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + cos x + 21 sin x.

Пример 4.24. Найти общее решение уравнения

y² + 4y = 12 cos 2x.

Решение. 1. Найдем сначала y . Характеристическое уравнение r2 + 4 = 0, имеет корни r1,2 = ± 2i. Следовательно,

y= C1 cos2x + C2 sin2x.

2.Переходим к нахождению у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4): а = 12, b = 0, λ = ± 2i. Так как числа ± 2i являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следу ет искать в форме

ó* = x(À cos 2x + Â sin 2x),

205

где А и В — неопределенные коэффициенты. Имеем

y′ = Àcos2x + B sin2x + x(-2Asin2x + 2Bcos2x), y′′ = -2Àsin2x + 2Bcos2x + (-2Asin2x + 2Bcos2x) + + x(-4Acos2x - 4Bsin2x).

Подставив y*¢ и y*² в данное уравнение и приведя подобные члены, получим

4Â cos 2x – 4À sin 2x = 12 cos 2x,

откуда

ì 4B =12,

íî - 4A = 0,

т.е. А = 0, В = 3. Поэтому

ó* = 3x sin 2x.

Итак, общее решение

y = y + y* = C1 cos2x + C2 sin2x + 3xsin2x.

Пример 4.25. Найти частное решение уравнения

y² + 2y¢ – 8y = (12x + 20)e2x,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y¢(0) = 1.

Решение. 1. Характеристическое уравнение r2 + 2r – 8 = 0 имеет корни r1 = –4, r2 = 2. Следовательно,

y= C1e−4x + C2e2x.

2.Правая часть данного уравнения имеет вид (3): n = 1,

P1(х) = 12х + 20, k = 2. Так как k = 2 является однократным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* ищем

âформе

ó* = x(Àõ + B)e2x = (Àõ2 + Bx)e2x.

206

Отсюда

y′ = (2Ax2 + 2Bx)e2x + (2Ax + B)e2x = (2Ax2 + 2Ax + 2Bx + B)e2x , y′′ = (4Ax2 + 4Ax + 4Bx + 2B)e2x + (4Ax + 2A+ 2B)e2x =

= (4Ax2 + 8Ax + 4Bx + 2A+ 4B)e2x .

Подставляя y*, y*¢ и y*² в данное уравнение, сокращая обе его части на е2õ и приводя подобные члены, окончательно получим

12Àõ + (2À + 6B) = 12õ + 20.

Решая систему

находим А = 1, В = 3. Отсюда

ó* = (õ2 + 3õ)e2x.

Итак, найдено общее решение данного уравнения

y= y + y = C1e−4x + C2e2x + (õ2 + 3õ)å2õ .

3.Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную обще - го решения

ó¢ = –4Ñ1e–4x + 2Ñ2e2x + (2x2 + 8x + 3)e2x;

подставив в выражения для общего решения и его производно й значения х = 0, у = 0, у¢ = 1, получим систему уравнений для нахождения С1 è Ñ2:

ì0 = C1 +C2 ,

íî1 = -4C1 + 2C2 + 3.

Отсюда C1 = 13 , C2 = - 13 . Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

y = 13 e−4x - 13 e2x + (x2 + 3x)e2x .

207

Раздел 5

ÐßÄÛ

5.1. Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида:

à1 + à2 + à3 + … + àn + …,

где числа а1, à2, à3, … àn, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность.

Ряд называется сходящимся, если последовательность его ч астичных сумм

S1 = à1,

S2 = à1 + à2,

S3 = à1 + à2 + à3,

. . . . . . . . . .

Sn = à1 + à2 + à3 + … + an

ïðè n → ∞ имеет конечный предел: lim Sn = S. Этот предел назы-

n→∞

Пример 5.1. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й член an имеет вид:

Решение. Вместо n подставляем 1, 2, …, 5:

208

Пример 5.2. Пользуясь непосредственно определением, показать что ряд сходится, и найти его сумму.

Решение. По определению частичной суммы ряда имеем:

S1 = a1 = 21 ,

S2 = a1 + a2 = 21 + 16 = 23 ,

S3 = a1 + a2 + a3 = 23 + 121 = 43 ,

S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 43 + 201 = 45 ,

......................................................

Таким образом, получаем следующую последовательность ча стич- ных сумм:

21 , 23 , 43 , 45 , ...,

Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна еди нице.

5.2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член аn при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

lim an = 0 – это необходимый признак сходимости ряда.

n→∞Åñëè æå lim an ¹ 0, то ряд расходится – это достаточный при-

n→∞

знак расходимости ряда.

209

Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость.

1. Признак сравнения. Если члены знакоположительного ряда

начиная с некоторого номера, не превосходят соответствую щих членов ряда

то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из рас ходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто используется геометрическая прогр ессия

à + àq + aq2 + … + àqn + … (a > 0),

которая сходится при | q | < 1 и расходится при | q | ³ 1, и гармони- ческий ряд

1 + 21 + 13 + ... + 1n + ... ,

являющийся расходящимся рядом.

2. Признак Даламбера. Если для ряда (1)

lim an+1 = l,

n→∞ an

то при l < 1 ряд сходится, при l > 1 – расходится (при l = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным).

Пример 5.3. Пользуясь необходимым признаком сходимости, показать, что ряд

1 + 21 + 23 + 43 + ... + nn+1 + ... ,

расходится.

210