шапкин задачи с решениями

Âинтервалах (−∞; 3 − 2 3 ] è [+3 +2 3; ¥) функция возрастает,

âинтервале [3 − 2 3; 1) (1; 5) (5; 3 + 2 3] функция убывает.

точкой min, так как при переходе через нее производная меняе т знак с «–» на «+». Найдем:

7. Для отыскания интервалов выпуклости и вогнутости и то- чек перегиба найдем вторую производную:

®((x -3)2 - 4)2 - (x - 3)2 (x2 - 6x -3)×2((x -3)2 - 4)×2(õ - 3) =

-4)4

= 8(x -3)×((x - 3)2 - 4)(x2 - 6x + 21) . ((x - 3)2 - 4)4

Из условия y² = 0 имеем х – 3 = 0 или х = 3. Условию y² = ¥ соответствует х = 1 и х = 5 (точки разрыва функции). Наносим эти три точки на числовую ось и исследуем знак второй прои з- водной на каждом из интервалов:

141

В интервалах (–∞; 1) и [3; 5) график функции — выпуклый, а в интервалах (1; 3] и (5; ∞) — вогнутый. В точке х = 3 график функции меняет направление выпуклости и так как f(3) = 0, то точка (3; 0) есть точка перегиба.

8. Наклонную асимптоту ищем в виде:

y = kx + b,

ãäå

è

фик, а затем перенести ось Оf(x) на 3 ед. влево и вместо оси Оt написать ось Ох.

142

f(x)

Ðèñ. 37

3.5.Приближенное решение алгебраических уравнений

3.5.1.Отделить положительный корень уравнения 4x – cos 2x = 0

èрешить его приближенно с точностью ε = 0,01:

а) методом деления отрезка попалам; б) методом Ньютона (метод касательных).

Примечание. Можно считать, что точность ε достигнута, если разность между соседними приближениями xk + 1 è xk удовлетворяет неравенству | xk + 1 – xk | < ε .

а) Пусть дано уравнение

143

x = 37512π = 0,227.

б) Отделяем положительный корень уравнения

f(x) = 4x – cos 2x = 0

методом Ньютона.

144

Учитывая предыдущее решение, заключаем, что искомый ко-

f ¢ (x) = 4 + 2sin 2x f ² (x) = 4cos 2x.

Отсюда f ¢ (x) > 0 и f ² (x) > 0 при 16π £ x £ π8 . Так как должно быть f (x0) · f ² (x0) > 0, то за начальное приближение принимаем

дим по следующей схеме:

Вычисляем

x1 = x0 + h = 0,393 – 0,159,

f (x1) = f (0,234) = 4 · 0,234 – cos 0,468 = 0,044, затем f ¢(x1) è h1. Далее определяем

x2 = x1 + h = 0,225,

f (x2) è f ¢ (x2). Òàê êàê | x2 – x1 | = | 0,225 – 0,234 | = 0,009 < ε = 0,01, то за положительный корень принимаем 0,225.

145

Раздел 3

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1.Неопределенный интеграл

3.1.1.Первообразная функция и неопределенный интеграл

Âдифференциальном исчислении по заданной функции F(x) находят ее производную f (x) = F′ (x). На практике часто приходится решать обратную задачу: требуется восстановить фун кцию F(x), зная ее производную f (x). Функцию F(x) в этом случае называют первообразной для f (x).

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f (x), если производная F(x) равна f (x), т.е.

F′ (x) = f (x) èëè dF(x) = f (x)dx.

Пример. Пусть имеем функцию f (x) = 2х. Функция F(x) = x2 является первообразной для f (x), т.к. (x2)′ = 2x. Но функция

F(x) = x2 + 1 тоже является первообразной функции f (x), так как (x2 + 1)′ = 2х, и вообще — любая функция F(x) = x2 + Ñ (ãäå Ñ —

произвольная постоянная) есть первообразная для f (x). Таким образом, данная функция имеет множество первообразных, прич ем можно показать, что любые две из них отличаются друг от дру га на постоянное число.

Теорема 1 (о двух первообразных). Если F1(x) è F2(x) — две первообразные функции f (x) на отрезке [a, b], то разность между ними равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если найдена какая-либо перво - образная F(x) для функции f (x) на некотором промежутке (конеч- ном или бесконечном), то любая другая первообразная этой ф ункции может быть найдена по формуле

F(x) = F(x) + C,

ãäå C = const.

146

Определение 2. Множество первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначает-

ся символом If (x)dx. Таким образом, по определению имеем:

ò f (x)dx = F(x) + C,

где F(x) — какая-либо первообразная; C = const; х — независимая переменная интегрирования; f (x) — подинтегральная функция;

f (x)dx — подинтегральное выражение; I — знак интеграла.

Операция нахождения первообразных функции называется е е интегрированием.

Геометрический смысл неопределенного интеграла. График первообразной F(x) называют интегральной кривой. В системе координат х0у графики всех первообразных от данной функции представляют семейство кривых, зависящих от величины постоян ной С и получаемых одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси 0у. Для примера, рассмотренного выше, имеем:

ò2xdx = x2 + C.

Семейство первообразных (х2 + С) геометрически интерпретируется совокупностью парабол.

Если из семейства первообразных нужно найти одну, то зада - ют дополнительные условия, позволяющие определить посто янную С. Обычно с этой целью задают начальные условия: при зна- чении аргумента х = х0 функция имеет значение F(x0) = ó0.

Пример. Требуется найти ту из первообразных функции у = 2 х, которая принимает значение 3 при х0 = 1.

Решение. ò2xdx = x2 + C; 12 + Ñ = 3; Ñ = 2. Искомая первообразная: F(x) = x2 + 2.

Теорема 2 (о существовании неопределенного интеграла). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой

функции существует неопределенный интеграл на этом же отрезке.

147

3.1.2. Таблица основных интегралов

Рассмотрим свойства неопределенных интегралов.

1.(ò f (x)dx)¢ = f (x).

2.d(ò f (x)dx)= f (x)dx,

3.òdF(x) = F(x) + C.

4.òk f (x)dx = kò f (x)dx.

5.ò[ f (x) +ϕ(x)]dx = ò f (x)dx + òϕ(x)dx.

В интегральном исчислении нет общего приема нахождения неопределенного интеграла. Существует несколько методо в, которые дают возможность свести заданный интеграл к так наз ываемому табличному. Прием, когда заданный интеграл можно ср а- зу вычислить, используя его свойства и таблицу основных и нтегралов, называют непосредственным интегрированием.

Таблицы основных интегралов приведены в соответствующи х разделах учебников, их необходимо выучить наизусть.

xn+1

1.òxndx = n +1 + C, n ¹ -1, ãäå Ñ = const.

2. òexdx = ex + C, òaxdx = ax + C, a > 0, a ¹ 1. ln a

3.ò dxx = ln |x | +C.

4.òsin x dx = -cos x + C.

5.òcosx dx = sin x + C.

148

Необходимо обратить внимание на тесную связь этой таблицы с таблицей производных (задача нахождения неопределен ного интеграла является обратной по отношению к задаче нахо ждения производной). Процесс интегрирования (нахождения нео пределенного интеграла) по сравнению с дифференцированием (нахождением производной) может представлять значительн ые трудности. При дифференцировании задача сводится к тому, чтобы в таблице производных найти подходящую формулу, исходя из которой с помощью правил дифференцирования вычисляет ся искомая производная заданной функции. При интегрировани и же нет какого-либо общего приема вычисления неопределенных интегралов. Имеется лишь ряд методов, позволяющих свести да н- ный интеграл к табличным. Поэтому для каждого данного инт еграла нужно суметь найти подходящий метод, с помощью котор о- го преобразовать данный интеграл к табличному виду, а зат ем найти его по соответствующей формуле таблицы интегралов . Рассмотрим простейшие методы нахождения неопределенных ин тегралов.

3.1.3. Интегрирование методом замены переменной

Пусть требуется вычислить интеграл ò f (x)dx, не являющий-

ся табличным. Введем вместо х новую переменную t, связанную с х зависимостью х = ϕ(t), ãäå ϕ(t) — дифференцируемая функция, для которой существует обратная функция. Тогда dx = ϕ′(t)dt и будет иметь место формула:

149

Выражение (3.1) называют формулой замены переменной. Существует другой способ замены переменной интегриро-

вания.

Если под знаком интеграла стоит сложная функция, умноженная на производную, т.е. ò f [ϕ(x)]ϕ¢(x)dx, то удобно сделать замену u = ϕ(õ), du = ϕ′(х)dx, и тогда будем иметь:

Получим табличный интеграл òt3dt = 41 ×t4 +C, где С — произ-

вольная постоянная. Производя обратную замену переменно й, получим:

ральная функция.

Пример 3.2. Найти интеграл ò1+xx dx.

Введем новую переменную интегрирования t = x. Тогда x = t2 и dx = 2tdt. Используя формулу (3.1), будем иметь:

150