шапкин задачи с решениями

Решение. Найдем

Таким образом, предел общего члена ряда при n → ∞ отличен от нуля, т.е. необходимый признак сходимости не выполняется. Э то означает, что данный ряд расходится.

Пример 5.4. Исследовать на сходимость ряд

Ряд (*) сходится, так как его члены образуют бесконечно убыв аю-

n n

гармонический ряд расходится, то, согласно признаку сравн ения, расходится и данный ряд.

211

Пример 5.6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Каждый член ряда

меньше соответствующего члена ряда

Как было показано в задаче 5.2, последний ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд (*). Сходимость исходного ряда, от - личающегося от ряда (*) наличием первого члена 1, теперь оче- видна.

Пример 5.7. С помощью признака Даламбера решить вопрос о сходимости ряда

Решение. Для того чтобы воспользоваться признаком Даламбера, надо знать (n + 1)-й член ряда. Он получается путем подста-

новки в выражение общего члена ряда an = n вместо n числа n + 1:

3n

212

Пример 5.8. Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость ряд

Пример 5.9. На основании признака Даламбера исследовать сходимость ряда

Так как l = 0 < 1, то ряд сходится.

5.3. Признак сходимости Лейбница

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

ãäå à1, à2, à3, … , àn – положительные числа.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости.

213

Признак Лейбница. Ряд (1) сходится, если его члены монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при n → ∞.

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оце нивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего пр изнаку Лейбница, – это погрешность меньше абсолютного значени я первого из отброшенных членов ряда.

Пример 5.10. Пользуясь признаком Лейбница, исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

1 − 21 + 13 – 41 + ... + (–1)n–1 1n + ... .

Решение. Так как члены данного ряда по абсолютной величи- не монотонно убывают:

1 > 21 > 13 > 41 > ...

и общий член при n → ∞ стремится к нулю:

lim an = 0,

n→∞

то в силу признака Лейбница ряд сходится.

Пример 5.11. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда

1 − 21 + 13 – 41 + ... + (–1)n–1 1n + ... .

суммой четырех первых его членов.

Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится (см. зада- чу 5.10). Ошибка S4, получающаяся при замене суммы S этого ряда суммой четырех первых его членов, меньше абсолютного значения пятого члена: S4 < 0,2.

214

5.4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Ðÿä

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Признак сходимости знакопеременного ряда. Если ряд

составленный из абсолютных величин членов рядов (1), сходи тся, то ряд (1) также сходится.

Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из абсолютных величин ч ленов данного ряда (1).

Сходящийся знакопеременный ряд называется условно сход я- щимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 5.12. Исследовать на сходимость ряд

1 − 21! + 31! – 41! + ... + (–1)n–1 n1! + ... .

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных вели- чин членов данного ряда:

1 + 21! + 31! + 41! + ... + n1! + ... .

По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как

Следовательно, первоначальный ряд является абсолютно сх о- дящимся.

Пример 5.13. Исследовать на сходимость ряд

215

Решение. Рассматриваемый ряд знакопеременный, поскольку

сходится, так как его члены не превосходят соответствующи х членов сходящегося ряда

Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 5.14. Исследовать на сходимость ряд

составленный из абсолютных величин членов данного ряда, р асходится (см. задачу 5.5). Следовательно, ряд (*) не является абсо - лютно сходящимся. Остается выяснить, сходится ли он (услов но) или расходится. Рассматриваемый ряд — знакочередующийся . Поэтому для решения вопроса о его сходимости можно воспольз о- ваться признаком Лейбница. Так как члены ряда по абсолютн ой

мится к нулю: lim an = 0, то ряд (*) сходится. Итак, данный ряд

n→∞

сходится условно.

216

Пример 5.15. Исследовать на сходимость ряд

sin π3 + sin 23π + sin 33π + ... + sin n3π + ... .

Решение. Данный знакопеременный ряд расходится, так как для него не выполняется необходимый признак сходимости:

5.5. Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

ãäå à1, à2, à3, …, àn … – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется совокуп - ность всех значений х, при которых данный ряд сходится.

Нахождение области сходимости состоит из двух этапов.

1. Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал (–R, R) числовой оси, симметричный относительно точ- ки х = 0 и обладающий тем свойством, что при всех | x | < R ряд сходится и притом абсолютно, а при всех | x | > R – ряд расходится. Для этого применяется признак Даламбера к ряду

| à0 | + | à1 | | x | + | à2 | | x | 2 + … + | àn | | x | n + … ,

члены которого есть абсолютные величины членов данного р яда (1). 2. Исследуется сходимость ряда (1) на концах интервала схо-

димости в точках x = –R и x = R.

Пример 5.16. Исследовать сходимость ряда

21 x + 222 x2 + 233 x3 + 244 x4 + ... + 2nn xn + ...

в точках x = 1, x = 3, x = –2.

Решение. При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

217

По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как

При х = 3 имеем ряд

Применяя признак Даламбера, получим

Следовательно, в точке х = 3 данный ряд расходится. Наконец, при х = –2 получаем следующий числовой ряд:

–1 + 2 – 3 + 4 – ... + (–1)n n + ... ,

который расходится (так как не выполняется необходимый п ризнак сходимости ряда).

Пример 5.17. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Согласно признаку Даламбера полученный знакоположитель - ный ряд сходится (абсолютно) при тех значениях х, для которых

218

Определим, при каких значениях х этот предел l будет меньше

äà –2 < x < 2.

Таким образом, первоначальный ряд сходится (абсолютно) в интервале (–2; 2) — это и есть интервал сходимости данного ря да. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х = –2 получаем числовой ряд

1 + 21 + 13 + ... + n1+1 + ... .

Это — гармонический ряд, который, как известно, расходится . При х = 2 получаем числовой знакочередующийся ряд

1 - 21 + 13 - ... + (–1)n n1+1 + ... ,

который по признаку Лейбница сходится (условно). Итак, область сходимости данного ряда –2 < x ≤ 2.

Пример 5.18. Найти область сходимости степенного ряда

x + 2! x2 + 3! x3 + … + n! xn + … .

Решение. Здесь un = n! | x |n, un + 1 = (n + 1)! | x |n + 1. Отсюда

Таким образом, согласно признаку Даламбера ряд сходится только в точке х = 0.

Пример 5.19. Найти область сходимости степенного ряда

219

Следовательно, при любом конечном х по признаку Даламбера данный ряд абсолютно сходится. Область сходимости рассма триваемого ряда есть вся числовая ось.

5.6.Разложение функций

âстепенные ряды Тейлора

Рядом Тейлора для функции f (x) называется степенной ряд вида

При представлении элементарной функции в виде суммы ряда Тейлора обычно поступают следующим образом: вычисляют по с- ледовательные производные данной функции в точке х = 0, а затем, пользуясь формулой (1), составляют для нее ряд Тейлора и определяют интервал сходимости полученного ряда. В этом и н- тервале ряд Тейлора сходится к породившей его функции f (x), если только все значения f (0), f ′ (0), …, f (n)(0), … получаются

непосредственной подстановкой значения х = 0 в выражения f (х), f ′ (õ), …, f (n)(õ), … .

Применяя рассмотренный способ, можно найти разложение в ряд Тейлора для следующих функций:

220