шапкин задачи с решениями

Определенным интегралом от функции f(x) по [a, b] называется величина

Свойства определенного интеграла:

1. òb f (x)dx = -òa f (x)dx.

ab

3. òb k f (x)dx = kòb f (x)dx.

aa

3.2.2. Вычисление определенного интеграла

Определенный интеграл связан с неопределенным интеграл ом по формуле:

aa

где F(x) — произвольная первообразная функция f (x).

Формула (3.5) называется формулой Ньютона-Лейбница.

161

Пример 3.12.

Замена переменной в определенном интеграле отличается о т замены переменной в неопределенном интеграле тем, что:

1)необходимо изменить пределы интегрирования;

2)возвращаться к первоначальной переменной не надо.

Пример 3.13. Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, вычислить определенный интеграл

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности, сделаем подстановку 1 + х = t2. Тогда

Формула интегрирования по частям в определенном интегра ле:

b

где u(x)v(x) вычисляется по формуле (3.6).

a

3.2.3. Приложения определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла (3.4) состоит в том, что если график функции y = f (x) ограничивает криволинейную трапецию Φ = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}, то его величи- на равна площади этой трапеции. Чтобы убедиться в этом, дос та-

162

точно рассмотреть рис. 38 и заметить, что площадь криволиней - ной трапеции:

S≈ å f (ξi )(xi − xi−1 ).

i=1n

Ðèñ. 38

Это равенство тем точнее, чем больше n. Поэтому точное зна- чение:

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

а длина дуги линии y = f(x), заключенной между точками с абсциссами а и b, вычисляется по формуле:

a

163

Пример 3.14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли-

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

x + 2 = 2x - x2 + 6 èëè õ2 – 2õ – 8 = 0. 2

Находим: х1 = –2, õ2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках А(–2; 0), В(4; 6) (рис. 39).

y

B

A

Ðèñ. 39

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вы- числяем по указанной выше формуле:

164

Последний интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница:

Пример 3.15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = –x2 + x + 4 è y = –x + 1.

Найдем точки пересечения линий y = –x2 + x + 4, y = –x + 1, приравнивая ординаты линий: –x2 + x + 4 = –x + 1 èëè x2 – 2x – 3 = 0. Находим корни х1 = –1, õ2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = –2 (ðèñ. 40).

y

5

4

3 y = –x2 + x + 4

2

1y = –x + 1

–1

–2

Ðèñ. 40

По формуле площади фигуры получим:

S = ò3 ((-x2 + x + 4) - (-x +1))dx =ò3 (-x2 + 2x + 3)dx =

165

Пример 3.16. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли r2 = a2 cos 2ϕ (ðèñ. 41).

y

π

4

S

4

x

Ðèñ. 41

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(ϕ) и двумя полярными радиусами ϕ1 = α è ϕ 2 = β, выразится интегралом

β

S= 1 ò[ f (ϕ )]2 dϕ. 2 α

Âсилу симметрии кривой (рис. 41) определяем сначала одну четвертую искомой площади:

Дифференцируя уравнение астроиды, получим:

1

y′ = − y3 .

1

x 3

166

y

à

41 L

Ðèñ. 42

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

Отсюда L = 6a.

Пример 3.18. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y = sin x вокруг оси Ох.

Решение.

Пример 3.19. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами y = x2 è õ = ó2 (ðèñ. 43).

167

тром в начале координат. Область существования функции есть множество точек внутри этого круга (рис. 44).

y

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

234567890123456723456789012345672 x

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

2345678901234567

Ðèñ. 44

Пример 3.21. Найти точки разрыва функции

z = xy +1 . x2 - y

Решение. Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в нуль. Но x2 – y = 0 èëè ó = x2 — уравнение параболы. Следовательно, данная функция имеет линией разрыва параболу у = x2.

Пример 3.22. Найти частные производные функции z = f (x; y):

a) z = f (x; y) = x5 – 2xy2 + 3xy – x.

Рассматривая y как постоянную величину, получим

¶¶xz = (x5 - 2xy2 + 3xy - x)¢x = 5x4 - 2y2 + 3y -1.

Полагая теперь х постоянной величиной, получим

¶¶yz = (x5 - 2xy2 + 3xy - x)¢y = –4xy + 3x.

á) z = ln(x3 + y3).

Рассматривая у как постоянную величину, получим

169

Полагая теперь x = const, находим

Полный дифференциал функции z = f (x; y) определяется формулой

dz = ¶¶xz dx + ¶¶yz dy.

Пример 3.23. Найти полный дифференциал функции

z = 3x2y3 – 2x2y – ó.

Находим прежде всего частные производные

¶¶õz = 6xy3 - 4xy; ¶¶yz = 9x2 y2 - 2x2 -1.

Тогда полный дифференциал равен

dz = 2xy(3y2 – 2)dx + (9x2y2 – 2x2 – 1)dó.

Пример 3.24. Найти частные производные второго порядка функции z = cosx5y2.

Сначала находим частные производные первого порядка.

¶¶õz = – sin x5 y2 (x5 y2 )¢x = – sin x5 y2 ×5x4 y2 , ¶¶yz = – sin x5 y2 (x5 y2 )¢y = – sin x5 y2 × 2x5 y.

Тогда

¶2z = (–5x4 y2 ×sin x5 y2 )¢x = (–5x4 y2 )¢x ×sin x5 y2 -5x4 y2 (sin x5 y2 )¢x = ¶x2

=–20x3 y2 sin x5 y2 – 5x4 y2 cos x5 y2 ×(x5 y2 )¢x =

=–20x3 y2 sin x5 y2 – 25x8 y4 cosx5 y2.

170