шапкин задачи с решениями

Угловой коэффициент k прямой, заданной двумя точками А(xA; yA) è B(xB; yB), вычисляется по формуле

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида:

где а и b — соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оy, т.е. длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с определенными знаками.

Уравнение прямой, проходящей через точку А(xA; yA) и имеющей угловой коэффициент k, записывается в виде:

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости , проходящих через одну и ту же точку А — центр пучка. Уравнение (1.28) можно рассматривать как уравнение пучка прямых, поскольку любая прямая пучка может быть получены из уравн е- ния (1) при соответствующем значении углового коэффициент аk. Исключение составляет лишь одна прямая пучка, которая пар аллельна оси Оy — ее уравнение х = xA.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(xA; yA) è B(xB; yB), имеет вид:

Если точки A и B определяют прямую, параллельную оси Ох (yA = yB) èëè îñè Îy (xA = õB), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде:

41

Условия пересечения, параллельности или совпадения двух прямых, заданными своими общими уравнениями

A1x + B1y + C1 = 0 è A2x + B2y + C2 = 0,

приведены в следующей таблице.

Если известны угловые коэффициенты k1 è k2 прямых, то условие параллельности этих прямых состоит в равенстве их у гловых коэффициентов: k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых, угловые коэффициенты которых соответственно равны k1 è k2, состоит в выполнении соотношения

k1k2 + 1 = 0

èëè

т.е. угловые коэффициенты этих прямых обратны по абсолютн ой величине и противоположны по знаку.

Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс у глаϕ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соотве т- ственно равны k1 è k2, вычисляется по формуле

причем знак «плюс» соответствует острому углу ϕ, а знак «минус» — тупому.

42

Уравнение окружности с центром в точке S(a; b) и радиусом r имеем вид:

Это каноническое уравнение окружности (рис. 7).

y

∙

0x

Ðèñ. 7

Уравнение второй степени относительно текущих координа т х и у является уравнением окружности тогда и только тогда, когда в этом уравнении коэффициенты при квадратах координат равны, а член с произведением координат отсутствует. Таким об разом, это уравнение имеет вид:

В этом случае говорят, что окружность задана общим уравне - нием.

Для определения координат центра и радиуса окружности, заданной общим уравнением, надо с помощью тождественных п реобразований уравнение (1.35) привести к виду (1.34).

Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная (2а), большая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение эллипса получается, если расположи ть координатную систему следующим образом: за ось Оx принять прямую, проходящую через фокусы F1 è F2, а за ось Оу — перпен-

43

дикуляр к оси абсцисс в середине отрезка F1F2 (рис. 8). Тогда уравнение эллипса примет вид:

ãäå b2 = a2 – c2.

Точки А1 è À2, B1 è B2 пересечения эллипса с его осями симметрии (координатными осями) называются вершинами эллип са. Отрезки А1À2 = 2à è B1B2 = 2b называются осями эллипса, причем А1À2 — большой осью, а B1B2 — малой осью, так как a > b. Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение эллипса, равны его полуосям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстоян ия между фокусами к его большой оси, т.е.

Очевидно, что е < 1.

Если эллипс, определяемый уравнением вида (1.36), расположен так, что его фокусы лежат на оси Оу (рис. 9), то тогда b > а и уже большой осью будет отрезок B1B2 = 2b, а малой осью — отрезок А1À2 = 2а. Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле

ãäå c = b2 − a2 .

44

Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний которых от двух данных т о- чек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2с).

Простейшее уравнение гиперболы получается, если располо - жить координатную систему следующим образом: за ось Ох принять прямую, проходящую через фокусы F1 è F2, а за ось Оу — перпендикуляр в середине отрезка F1F2 (рис. 10). Тогда уравнение гиперболы примет вид:

Ðèñ. 10

Гипербола имеет две оси симметрии (координатные оси), с одной из которых (осью абсцисс) она пересекается в двух то чках А1 è À2, называемых вершинами гиперболы. Отрезок А1À2 называется действительной осью гиперболы, а отрезок B1B2 — мнимой осью гиперболы.

Таким образом, параметры a и b, входящие в уравнение гиперболы, равны ее полуосям.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рассто - яния между фокусами к ее действительной оси:

Очевидно, что e > 1.

45

y = − ba x

Если мнимая ось гиперболы направлена по оси Ох и имеет длину 2а, а действительная ось длиной 2b направлена по оси Оу, то уравнение гиперболы (рис. 11) имеет вид:

y

F2 ∙ B2 c

b

B1

F1 ∙

Ðèñ. 11

Эксцентриситет такой гиперболы вычисляется по формуле

e = bc .

Ее асимптоты те же, что и у гиперболы (1.39). Гиперболы (1.39) и (1.42) называются сопряженными.

Гипербола называется равносторонней, если ее действител ь- ные и мнимые оси равны, т.е. а = b. Простейшее уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

èëè

– x2 + y2 = à2.

46

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямо й, называемой директрисой параболы.

Величина р, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы; прямая, проходящая через фо кус параболы перпендикулярно ее директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с ее осью — вершиной парабол ы.

Простейшее уравнение параболы получается, если координа т- ная система расположена следующим образом: за одну из коо рдинатных осей берется ось параболы, а за другую — прямая, перпендикулярная оси параболы и проведенная посредине межд у фокусом и директрисой.

Тогда уравнение параболы примет вид:

47

Уравнение

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс.

Аналогично, уравнение

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат.

Уравнения (1.48) и (1.49) приводятся к простейшему виду (1.44 — 1.47) путем тождественных преобразований с последующим параллельным переносом координатной системы.

Пример 1.16. Даны вершины А (2; 1), В (6; 3), C (4; 5) треугольника. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опу - щенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника. Сделать чертеж.

Решение.

Делаем чертеж (рис. 16).

48

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А и В.

AB = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 =

=(6 -2)2 + (3 -1)2 = 16 + 4 = 20 = 2 5.

2.Для определения внутреннего угла А найдем уравнение прямой АС:

отсюда 2х – у – 3 = 0 или у = 2х – 3 и угловой коэффициент прямой АС равен: kAC = 2; далее находим уравнение прямой АВ:

отсюда

õ – 2ó = 0 èëè y = 21 x è kAB = 21 . Находим угол А

отсюда

РА = 36°52¢11² = 0,64 радиан.

3.Уравнение высоты, проведенной через вершину С, ищем

ââèäå y – yC = kCD (x – xC) и так как СD ^ прямой АВ, то

kCD = - 1 = - 1 = -2. kAB 0,5

Тогда

ó – 5 = –2(õ – 4), èëè 2õ + ó – 13 = 0, èëè ó = –2õ + 13.

49

4. Для определения уравнения медианы СМ находим координаты точки М, которая делит прямую АВ пополам

Уравнение прямой СМ ищем в виде:

а это означает, что уравнение медианы имеет вид х = 4, т.е. прямая СМ Ох.

5. Точку пересечения высот треугольника найдем как точку К пересечения высот СD и ВК.

Находим уравнение высоты ВК:

Решаем систему уравнений, описывающих прямые СD и ВК:

Тогда y = 113 è x = 12 - 2y = 12 - 2 ×113 = 143 , т.е. координаты точ- ки К будут:

æ14 11ö

K ç , ÷. è 3 3 ø

6. Для нахождения длины высоты СD запишем нормальное уравнение прямой АВ:

50