шапкин задачи с решениями

Условие прохождения этой плоскости через вторую точку и условие перпендикулярности определяются равенствами:

À+ 3Â – 5Ñ = 0,

À+ Â + Ñ = 0.

Исключая коэффициенты А, B и C из системы уравнений

ìA(x - 2) + B(y +1) + C(z - 4) = 0,

ïíA+ 3B -5C = 0,

ïîA+ B + C = 0,

получаем искомое уравнение в виде:

èëè

4x – 3ó – z – 7 = 0.

Пример 1.24. Из точки P(2; 3; –5) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Найти уравнение плоскости, прохо - дящей через их основания.

Решение. Основаниями перпендикуляров, опущенных на координатные плоскости, будут следующие точки М1(2; 3; 0), Ì2(2; 0; –5), Ì3(0; 3; –5). Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки М1, Ì2, Ì3, для чего воспользуемся уравнением

èëè

15x + 10y – 6z – 60 = 0.

61

Пример 1.25. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 3; 5) и перпендикулярной к вектору

N = 4i + 3 j + 2k.

Решение. Достаточно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данно му вектору:

4(õ – 2) + 3(ó – 3) + 2(z – 5) = 0, ò.å. 4x + 3y + 2z – 27 = 0.

Прямая.

1. Прямая может быть задана уравнениями 2-х плоскостей

ìÀ1x + B1y +C1z + D1 = 0 íîÀ2x + B2 y +C2z + D2 = 0,

пересекающихся по этой прямой.

2.Исключив поочередно х и у из предыдущих уравнений, получим уравнения х = аz + c, у = bz + d. Здесь прямая определена двумя плоскостями, проектирующими ее на плоскости хoz и yoz.

3.Если даны две точки М(x1, y1, z1) è N(x2, y2, z2), то уравнения прямой, проходящей через них, будут иметь вид:

x - x1 = y - y1 = z - z1 . x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

и параллельную вектору S = li + mj + nk . В частности, эти уравнения могут быть записаны в виде:

ãäå α, β è γ — углы, образованные прямой с осями координат.

62

Направляющие косинусы прямой находятся по формулам

5. От канонических уравнений прямой, вводя параметр t, нетрудно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

6. Угол между двумя прямыми, заданными их каноническими

условие параллельности двух прямых:

l1 = m1 = n1 ; l2 m2 n2

перпендикулярности двух прямых:

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.

7. Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной пл оскости (условие компланарности двух прямых):

Если величины l1, m1, n1 непропорциональны величинам l2, m2, n2, то указанное соотношение является необходимым и достато ч- ным условием пересечения двух прямых в пространстве.

63

A2 + B2 + C2 l2 + m2 + n2

условие параллельности прямой и плоскости:

Àl + Bm + Cn = 0,

условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Àl = mB = Cn .

тно их уравнения, для чего следует воспользоваться параме три- ческими уравнениями прямой x = lt + x0, y = mt + y0, z = nt + z0:

а) если Аl + Bm + Cn ¹ 0, то прямая пересекает плоскость в одной точке;

á) åñëè Àl + Bm + Cn = 0 è Àõ0 + Bó0 + Cz0 + D ¹ 0, то прямая параллельна плоскости;

â) åñëè Àl + Bm + Cn = 0 è Àõ0 + Bó0 + Cz0 + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Пример 1.26. Привести к каноническому виду уравнения прямой 2х – y + 3z – 1 = 0 и 5х + 4y – z – 7 = 0.

Решение. Исключив вначале y, а затем z, получим:

13õ +11z – 11 = 0 è 17õ + 11y – 22 = 0.

Если разрешим каждое из уравнений относительно х, то будем иметь:

x = 11(y − 2) = 11(z −1) , −17 −13

64

Второй способ: найдем вектор S = li + mj + nk, параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к н ор-

мальным векторам заданных плоскостей N1 = 2i − j + 3k è N 2= 5i + 4 j - k, то за него можно принять векторное произведение векторов N1 è N2.

i j k

S = N1 ´ N2 = 2 -1 3 = -11i +17 j +13k.

54 -1

Таким образом, l = –11; m = 17; n = 13.

За точку М1(x1, y1, z1), через которую проходит искомая прямая, можно принять точку пересечения ее с любой из координ атных плоскостей, например с плоскостью yoz. Так как при этом x1 = 0, то координаты у1 è z1 этой точки определятся из системы уравнений заданных плоскостей, если в них положить х = 0:

ì- y + 3z -1 = 0, íî 4y - z - 7 = 0.

Решая эту систему, находим y1 = 2; z1 = 1.

Итак, искомая прямая определяется уравнениями:

-x11 = y17- 2 = z13-1 .

Мы получили прежний ответ.

Пример 1.27. Построить прямую

2õ + 3y + 3z – 9 = 0, 4õ + 2y + z – 8 = 0.

Решение. Искомую прямую можно построить как линию пересечения плоскостей. Для этого напишем уравнения плоскост ей, которыми определена прямая, в отрезках на осях:

4x,5 + 3y + 3z =1, 2x + 4y + 8z =1.

65

Построив данные плоскости, мы получим искомую прямую как линию пересечения этих плоскостей (рис. 20).

z

0

y

x

Ðèñ. 20

Пример 1.28. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

x − 2 = y −1 = z − 3 . 2 3 1

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной заданной прямой : 2х + 3y + z = 0. (Для этой плоскости можно принять А = l; B = m; C = n; D = 0; использовано условие перпендикулярности прямой и плоскости, см. п. 8 введения к настоящему разделу).

Найдем точку пересечения этой плоскости и данной прямой. Параметрические уравнения прямой имеют вид:

x = 2t + 2, y = 3t + 1, z = t + 3.

Для определения t имеем уравнение:

2(2t + 2) + 3(3t + 1) + t + 3 = 0.

66

Следовательно, t = - 57 . Координатами точки пересечения будут:

Остается составить уравнения прямой, проходящей через на - чало координат и через точку М (см. п. 3 введения к настоящему разделу):

Следовательно, уравнения пересекающихся прямых таковы:

заданной:

x3+1 = y 2+ 5 = 1z .

67

Для вычисления координат точки пересечения этих прямых выразим из первого уравнения х и у через z: х = 2z, у = –3z. Под-

Следовательно М(2; –3; 1).

Пример 1.30. Прямая задана каноническими уравнениями

x 3- 2 = y5+1 = z--13 .

Составить общие уравнения этой прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:

Получили общие уравнения прямой, которая теперь задана пересечением 2-х плоскостей, одна из которых 5х – 3у – 13 = 0 параллельна оси Oz, а другая х + 3z – 11 = 0 параллельна оси Oy.

Пример 1.31. Найти координаты точки М, делящей попалам отрезок прямой

x 3- 2 = y5+1 = z--13 ,

заключенный между плоскостями хоz и xоy.

Решение. Найдем точку А пересечения прямой с плоскостью хоz, полагая в уравнениях прямой y = 0. Тогда получим:

отсюда x = 2,6; z = 2,8. Тогда А(2,6; 0; 2,8).

68

Аналогично, полагая в уравнениях прямой z = 0, найдем координаты точки В пересечения прямой с плоскостью хоy:

отсюда x = 11, y = 14, или B(11; 14; 0).

Определяем координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам:

Следовательно, координаты искомой точки М будут: М(6,8; 7; 1,4).

Пример 1.32. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

ì3x + 2y + 5z + 6 = 0,

íî x + 4y + 3z + 4 = 0,

параллельной прямой

x3-1 = y2- 5 = z-+31.

Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:

α (3x + 2y + 5z + 6) + β (x + 4y + 3z + 4) = 0,

которое делим на α ¹ 0, и пусть β /α = λ:

3x + 2y + 5z + 6 + λ(x + 4y + 3z + 4) = 0, èëè (3 + λ)x + (2 + 4λ)y + (5 + 3λ)z + (6 + 4λ) = 0.

69

В этом пучке нужно выбрать плоскость, параллельную 2-й данной прямой. Из условия параллельности плоскости и прям ой, имеем:

3(3 + λ) + 2(2 + 4λ) – 3(5 + 3λ) = 0.

Отсюда λ = 1.

Подставляя λ = 1 в уравнение пучка плоскостей, получим:

(3 + 1) · x + (2 + 4 · 1)y + (5 + 3 · 1)z + (6 + 4 · 1) = 0.

Тогда искомое уравнение плоскости будет:

4x + 6y + 8z + 10 = 0 èëè 2x + 3y + 4z + 5 = 0.

Пример 1.33. Дана прямая

Найти ее проекцию на плоскость

5x + 2y + 2z – 7 = 0.

Решение. Нужно найти плоскость, которая проходит через данную прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда и с- комая проекция определится как пересечение этой плоскос ти с данной.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через да н- ную прямую:

(3x – 2y – z + 4) + λ(x – 4y – 3z – 2) = 0 èëè (3 + λ)x – (2 + 4λ)y – (1 + 3λ)z + (4 – 2λ) = 0.

Эта плоскость должна быть перпендикулярной к данной плос - кости, что можно записать как:

5(3 +λ) – 2(2 + 4λ) – 2(1 + 3λ) = 0,

отсюда λ = 1.

70