шапкин задачи с решениями

с плоскостью xOy (z = 0) плоскостей x = 0, y = x и z =1− y y

(рис. 51 б). Вершинами этого треугольника являются точки (0; 0), (0; 1), (1; 1), получающиеся в результате решения систем уравнений, составленных из соответствующих пар уравнений сторо н. Эту область можно рассматривать как заключенную в полосе меж ду прямыми y = 0 и y= 1; слева область ограничена прямой x = 0, а справа — прямой x = y. Следовательно,

181

Раздел 4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

4.1. Основные понятия

Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвест - ную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

Порядком дифференциального уравнения называется порядо к старшей производной, входящей в это уравнение. Например, у рав-

нение y¢ sin x + y tg x = 1 — первого порядка; d 2 y = x3 — второго dx2

порядка; y²¢ – 5хy¢ + ху = 0 — третьего порядка.

Функция y = ϕ (x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения. График ре шения называется интегральной кривой уравнения.

Если функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, задана неявно, т.е. соотношением вида ϕ (x, у) = 0, то говорят об интеграле уравнения.

Решение дифференциального уравнения, содержащее стольк о независимых произвольных постоянных, каков порядок урав нения, называется общим решением этого уравнения. Так, для ур авнения первого порядка общее решение имеет вид:

y= ϕ (x, Ñ),

àдля уравнения второго порядка — вид:

y =ϕ (x, Ñ1, Ñ2).

Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются час тными решениями этого уравнения.

Геометрически общее решение определяет семейство кривы х, а частное решение — некоторую кривую этого семейства.

Для нахождения частного решения дифференциального урав - нения задаются начальные условия. Для уравнения первого п о-

182

рядка они имеют вид y(x0) = y0; для уравнения второго порядка — вид y(x0) = y0, y¢(x0) = y¢0. По этим начальным условиям определяются значения произвольных постоянных в общем решении ур авнения, в результате чего получаются частные решения, удов летворяющие заданным начальным условиям.

Пример 4.1. Проверить, что функция y = cos x является решением уравнения y² + y = 0.

Решение. Имеем

y¢ = –sin x, y² = –cos x.

Подставляя выражения для y² и y в данное уравнение, получаем:

y² + y = –cos x + cos x = 0,

т.е., действительно, функция y = cos x является решением данного дифференциального уравнения.

Пример 4.2. Показать, что функция y, определяемая уравнением x2 – y2 = 4, является интегралом дифференциального уравнения y¢ = xy .

Решение. Продифференцировав обе части равенства по переменной х, получим:

2õ – 2óó¢ = 0,

откуда y¢ = xy .

4.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0.

Решается оно следующим образом. Поделив все члены уравнения на N1(y) M2(x), получим уравнение

M1(x) dx + N2 (y) dy = 0,

M2 (x) N1(y)

183

в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

òMM12((xx)) dx + ò NN21((yy))dy = C.

Пример 4.3. Найти общий интеграл уравнения

cos2 y ctg x dx + sin2 x tg y dy = 0.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, поделив обе его части на выражение cos2 y · sin2 x:

Интегрируя обе части данного уравнения, получим

Воспользуемся тем, что С — произвольная постоянная и заменим С на C2 . Тогда

tg2 y – ctg2 x = C.

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Пример 4.4. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка xy′ − lnyx = 0.

Решение. Выразим производную у′ из уравнения y′ = x lny x .

Правая часть разлагается на множители f (x,y) = ϕ (x) · ψ (y), следовательно, это уравнение с разделяющимися переменны ми.

184

обе части и для удобства допишем постоянную интегрирования в виде ln c.

ò dyy = ò xdxln x , ln | y |= ò dlnlnxx,

ln| y | = ln | ln x | + ln c (c > 0)

èëè

ln| y | = ln ñ | ln x |,

тогда

| y | = c | ln x |.

Окончательно у = с · ln x, где с — любое число. Итак, искомое общее решение у = с ln x.

Пример 4.5. Найти частное решение уравнения (1 + ex)yy′ = ex, удовлетворяющее начальному условию у |x = 0 = 1.

185

Из начального условия следует, что y > 0 (у |x = 0 = 1), поэтому перед корнем берем знак плюс. Итак, искомое частное решение:

Пример 4.6. Найти частный интеграл уравнения

Решение. Найдем общий интеграл данного уравнения. Для этого разделим переменные:

sin2 x ln y dy + y dx = 0,

èëè

Интегрируя, получаем

ln2 y = ctg x + C. 2

Это и есть общий интеграл данного уравнения. Используя на -

определяем значение произвольной постоянной С:

ln2 1 = ctg π + C, 2 4

откуда С = –1. Итак, искомый частный интеграл

ln2 y = ctg x –1. 2

186

4.3. Однородные уравнения

Уравнение вида

называется однородным уравнением.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y = ux, где u — новая искомая функция.

Дифференцируя равенство y = ux, получим:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение (интеграл) уравнения (3), получаем общее решение (ин -

y

теграл) данного уравнения (1), заменив u на x .

Пример 4.7. Найти общий интеграл уравнения

(x2 + y2)dx – xy dy = 0.

dy

Решение. Разрешим уравнение относительно производной dx :

y¢ = x2 + y2 . xy

187

Поделив числитель и знаменатель правой части уравнения н а х2, получим:

x

ò.å. y′ есть функция отношения xy . Это означает, что данное уравнение — однородное.

Для решения этого уравнения введем новую функцию u = xy .

откуда

dxx = udu.

Интегрируя это уравнение, получим

ln | x |= u2 + lnC, 2

откуда

ln x = u2

C 2

ò.å.

u2

x = Ce 2 .

Заменяя в последнем равенстве u отношением xy , окончатель-

но получим:

y2

x = Ce 2x2 .

188

Пример 4.8. Рассмотрим следующий пример:

dy = x2 + y2 . dx 2xy

Решение. Делая подстановку у = хu, приводим уравнение к виду:

y2 = x2 − Cx; y = ± x2 − Cx.

Задача.

В теории резания возникает следующая задача: найти кривую , касательная к которой в каждой точке образует постоянный угол α с радиусом-вектором этой точки (рис. 52). По условию задачи имеем ϕ = α + ψ и потому

y

Ðèñ. 52

189

Но из рис. 52 видно, что tg ψ = xy , а, как известно, tg ϕ = y′. Поэтому равенство (1) можно записать так:

где для краткости положено k = tg α. Это — однородное уравнение. Сделаем подстановку у = хu. После простых преобразований получаем, что

y

Подставляя вместо u значение x получаем равенство:

Это равенство проще записать в полярных координатах, положив x2 + y2 = r2, xy = tgϕ. Мы получим, что

ϕ

r = Ce k .

Эта кривая называется логарифмической спиралью.

4.4. Линейные уравнения

Уравнение вида

называется линейным уравнением.

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяю - щимися переменными заменой искомой функции у произведением двух вспомогательных функций u и υ, ò.å. y = uυ.

190