шапкин задачи с решениями

Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную пряму ю и перпендикулярной данной плоскости, будет:

(3 + 1)x – (2 + 4 ·1)y – (1 + 3 · 1)z + (4 – 2 · 1) = 0 èëè 2x – 3y – 2z + 1 = 0.

Проекция данной прямой на данную плоскость определяется как прямая пересечения плоскостей:

ì2x – 3y -2z +1 = 0,

íî5x + 2y + 2z - 7 = 0.

Запишем эту прямую в каноническом виде. Найдем на прямой какую-либо точку. Для этого положим, например х0 = 1, и система запишется в виде:

ì3y0 + 2z0 = 3,

íî y0 + z0 =1.

Отсюда, у0 = 1, z0 = 0, т.е. точка М(1; 1; 0) принадлежит искомой прямой.

Направляющий вектор прямой S = (l; m; n) найдем из того условия, что он перпендикулярен нормальным векторам

N1 = (2;−3; −2) è N2 = (5; 2; 2) плоскостей, определяющих искомую прямую.

В качестве S берем векторное произведение векторов N1 è N2 , ò.å.

Тогда искомое уравнение в каноническом виде будет:

x -1 = y -1 = z .

- 2 -14 19

71

Раздел 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1. Функции, предел, непрерывность

Одним из основных понятий математического анализа является понятие предела функции.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого положительного сколь угодно малого числа ε существует δ (ε ) > 0 такое, что при 0 < | x – a | < δ (ε ) выполняется неравенство | f(x) – A | < ε. В этом случае пишут lim f (x) = A .

x→a При вычислении пределов функций используют следующие свойства пределов:

1. lim c = c , ãäå c – const,

x→a

2. lim x = a.

x→a

3. limcf (x) = c lim f (x).

x→a x→a

4. Åñëè lim f (x) è limϕ(x) существуют, то

x→a x→a

72

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство:

то есть предел функции находят непосредственный подстан овкой предельного значения аргумента.

Пример 2.1. lim(3x2 - 4x +1) = 3 ×12 - 4 ×1+1 = 0.

x→1

Однако часто прежде, чем перейти к пределу, приходится про - водить тождественные преобразования данного выражения.

Пример 2.2. Найти lim x2 - 9 .

x→3 x -3

Здесь предел знаменателя равен нулю:

Следовательно, теорему о пределе частного применить нель зя. Но вблизи от точки x0 = 3 имеем x – 3 ¹ 0 (при x ¹ 3), и поэтому дробь можно сократить на x – 3, т.е.

Но теперь можно применить теорему о пределе суммы, т.е. окончательно получаем

Соображения о возможности тождественных преобразований под знаком предела применимы не только в том случае, когда аргумент стремится к конечному пределу x0, íî è ïðè x ® ¥.

73

В этом случае ни числитель, ни знаменатель не имеют предела, так как оба неограниченно возрастают.

Но если предварительно преобразовать аналитическое выр а- жение под знаком предела, разделив числитель и знаменател ь на x3, то получим:

б) Как и в задаче 2.2 здесь предел знаменателя равен 0 при x → 1, но в числителе и знаменателе можно выделить множитель (x – x0) = (x – 1) и тогда имеем:

74

Если вместо x подставить ∞, то имеем отношение двух беско-

æ ¥ ö

нечно больших величин ç ÷. Тогда и числитель и знаменатель

è ¥ ø

делим на x2:

ния неопределенности умножим числитель и знаменатель др оби на выражение, сопряженное числителю

75

Аналогично, положив v = 5x, получим

в) Найти lim arctg2x .

x→0 x

Обозначим u = arctg 2x, тогда, очевидно tgu = 2x и при x → 0 имеем u → 0. Следовательно,

76

Определение. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в некоторой окрестности точки x0 è

выполняется равенство lim f (x) = f (x0 ).

x→x0

Определение. Точка x = x0, принадлежащая области определения функции или являющаяся граничной для этой области, на зывается точкой разрыва, если в ней нарушается условие непр ерывности.

Необходимым и достаточным условием непрерывности функции в точке является выполнение равенств:

ãäå f(x0 – 0) è f(x0 + 0) — односторонние пределы функции в точке x0 соответственно слева и справа.

Если эти равенства не выполняются или не существует хотя бы один из односторонних пределов, то точка x = x0 — точка разрыва функции, причем:

1) если существуют односторонние пределы, но

f(x0 – 0) ¹ f(x0 + 0) èëè f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ¹ f(x0),

то точка x0 называется точкой разрыва 1-го рода;

2) если хотя бы один из пределов f(x0 – 0) èëè f(x0 + 0) не существует, то точка x = x0 называется точкой разрыва 2-го рода.

Свойства непрерывных функций

1.Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

2.Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен 0.

3.Åñëè u = ϕ (x) непрерывна в точке x = x0 и f(u) непрерывна в точке u = u0 = f(x0), то сложная функция f(ϕ (x)) непрерывна в точке х0.

4.Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке,

âкоторой она определена.

77

1

= 2 x−2 −1

Пример 2.8. Исследовать на непрерывность функцию y 1 .

2 x−2 +1

При x ¹ 2 функции, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны, и знаменатель не обращается в 0. Поэтому при х ¹ 2 фун-

в точке х = 2 функция терпит разрыв 1-го рода. Скачок функции f(2 + 0) – f(2 – 0) = 1 – (–1) = 2.

Следовательно, х = 5 — точка разрыва 2-го рода.

78

Пример 2.10. Найти точки разрыва функци

Поскольку сosx, x2 + 1, x непрерывны всюду и, в частности на указанных интервалах, то функция f(x) непрерывна на интервалах (–∞, 0), (0,1), (1, +∞). Точками разрыва могут являться только точки х = 0 и х = 1. Исследуем эти точки на непре-

имеет вид (рис. 21).

Ðèñ. 21

79

2.2. Производная и дифференциал

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 è y0 = f(x0). Если х получит некоторое положительное или отрицательное приращение х и примет значение х0 + х, то и функция у получит некоторое приращение y = f(х0 + õ) – f(õ0). Составим отношение приращения функции к приращению аргу -

мента xó .

Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если существует

Этот предел называется производной функции y = f(x) в точке

õ0 и обозначается f ′(x0) èëè dxdy .

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке x0, òî åñòü y = tgϕ (рис. 22). Физически производная есть скорость изменения функции в точке x0.

ϕ

y0

Ðèñ. 22

80