шапкин задачи с решениями

производной в указанных интервалах. На интервале (–∞; − 0,3 ) возьмем, например, точку х = –1; y²(–1) = –14 < 0, значит, кривая в этом интервале выпукла.

На интервале (–0,3; 0) рассмотрим точку x = - 21 :

значит, кривая на этом интервале вогнута, вторая производ ная при переходе через x2 = - 0,3 меняет знак с – на +, следовательно, значение x = − 0,3 является абсциссой точки перегиба. Аналогич- но определяем, что на интервале (0; 0,3) кривая выпукла, а на

Чтобы точнее нарисовать кривую графика, можно найти углы наклона касательных, проведенных к кривой в точках перегиба. Так, при х = 0, у¢(0) = –2, т.е. tgα = –2, ãäå α — óãîë

наклона касательной к кривой в точке х = 0, а при x = 0,3,

101

y′( 0,3 ) ≈ −2,45. Окончательный график функции y = х5 – õ3 – 2х изображен на рис. 24.

y

Ðèñ. 24

Пример 2.31. Провести полное исследование и построить график функции y = 3 x2 − x.

1.Функция определена всюду на интервале (–∞; ∞).

2.Функция общего вида.

3.Найдем точки пересечения с осями координат:

Определим значения функции на границах области существо - вания:

102

Вертикальных асимптот нет, так как функция не имеет точек разрыва. Определим наклонные асимптоты:

Òàê êàê b → ∞ ïðè õ → ∞, то наклонных асимптот кривая не имеет.

На рис. 25 изображена простейшая кривая, удовлетворяющая проведенному исследованию.

y

Ðèñ. 25

4. Далее продолжим исследование по первой производной

õ1 = 0, x2 = 278 — критические точки.

103

Чтобы выяснить, являются ли они точками экстремумов, используем первое достаточное условие экстремума

ции, причем функция имеет в этой точке так называемый остр ый эстремум:

min = y(0) = 0.

При прохождении через точку x2 = 278 мы аналогично можем проверить, что первая производная меняет знак с «+» на «– ». Значит, точка x2 = 278 является точкой максимума:

Составим таблицу изменения знаков первой производной.

104

Вторая производная всегда отрицательна, значит, точек пер е- гиба нет, кривая всегда выпукла. Окончательный график фун к-

öèè y = 3 x2 − x изображен на рис. 26.

y

1 --

Ðèñ. 26

Пример 2.32. Провести полное исследование и построить гра-

x

105

В последнем случае применено правило Лопиталя.

Из найденных пределов ясно, что прямая х = 1 является вертикальной асимптотой.

Определим наклонные асимптоты:

x

Наклонных асимптот функция не имеет, горизонтальных асим п- тот не имеет также. Примерный ход графика изображен на рис . 27.

Ищем экстремум функции. Ее производная:

¢ = ln x -1 y ln2 x .

ó′= 0 при x = e — критическая точка.

ó′ = ∞ при x = 1 — граничная точка, она не может быть экстремальной.

Итак, имеем одну критическую точку x = e.

106

Чтобы проверить, является ли точка x = e экстремальной, найдем знак y² в точке x = e

Значит, точка x = e является точкой минимума функции. Здесь мы использовали второе достаточное условие экстремума.

Определим точки перегиба функции:

y² = 0 ïðè x = e2 — критическая точка 2-го рода;

y² = ¥ при x = 1, но эта точка не является критической точкой 2-го рода, так как она является граничной точкой.

При прохождении через x = e2 y² меняет знак с + на –, так как

y

Ðèñ. 28

107

Пример 2.33. Исследовать и построить график функции

Функция существует всюду, кроме х = –1, т.е. ее областью определения являются интервалы (–∞; –1), (–1; ∞).

Найдем точки пересечения кривой с осями координат:

108

На рис. 29 построена простейшая кривая, удовлетворяющая проведенному исследованию.

y

0

–1

Ðèñ. 29

Находим производные:

ó¢ = 0 ïðè õ1 = –3 è õ1 = 0 — критические точки 1-го рода.

ó¢ = ¥ ïðè õ = –1 — граничная точка.

Проводя обычное исследование, находим, что при х = –3 функция достигает максимума y(−3) = − 278 , а в точке х = 0 экстрему-

ма нет, так как первая производная при прохождении через х = 0 знак не меняет.

ó² = 0 при х = 0 — критическая точка 2-ãî ðîäà.

ó² = ¥ ïðè õ = –1 — граничная точка.

109

Составим таблицу изменения знаков первой и второй производных.

Находим, что х = 0 является абсциссой точки перегиба функции, причем у(0) = 0.

График является выпуклым на интервалах (–∞; –1) и (–1; 0) и вогнутым на интервале (0; ∞).

Ðèñ. 30

110