шапкин задачи с решениями

Основные правила дифференцирования

Пусть С постоянная, u(x), v(x) — дифференцируемые в точке х функции.

1.C¢ = 0;

2.x¢ = 1;

3.(u ± v)¢ = u¢ ± u¢;

4.(cu)¢ = cu¢;

5.(uv)¢ = u¢v + uv¢;

7. Если y = f(u), где u = u(x), (то есть y = f(u(x)) — сложная функция от х) и функции f(u) и u(x) дифференцируемы, то производная сложной функции y = f(u(x)) вычисляется по формуле

yx¢ = fu¢ × ux¢ .

8. Если функция аргумента х задана параметрически

Определение. Дифференциалом функции y = f(x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно прира щения аргумента, то есть, если Dy = f ¢(x)Dx + α(Dx) · Dx, ãäå α(Dx) ® 0 — бесконечно малая функция при Dx ® 0, то дифференциал функции dy = f ¢(x)dx.

Дифференциал независимого аргумента равен приращению а р- гумента, то есть dx = Dx. Следовательно, dy = f ¢ (x) · dx.

Если Dx мало, то Dy » dy, и, следовательно, f(x + Dx) » f(x) + dy = = f(x) + f ¢(x)dx (формула приближенного вычисления с помощью дифференциала).

Пример 2.11. Найти производные данных функций:

81

á) y = sin2(x cosx3);

â) y = 3 xln x;

ã) y = x–tgx;

ä) x3 + y3 – 3xy = 0.

Решения:

а) применим теорему о производной частного:

= (3 + 6x)¢× 3 - 4x + x2 - (3 + 6x)( 3 - 4x + x2 )¢ =

( 3 - 4x + x2 )2

=6 3 - 4x + x2 - (3 + 6x)((3 - 4x + x2 )21 )¢ =

-4x + x23

(3 - 4x + x2 ) 3 - 4x + x2

б) применим теоремы о производной произведения и производной сложной функции:

y¢ = 2sin(x cos x3 )×(sin(xcos x3 ))¢ =

=2sin(xcos x3 )×cos(xcos x3 )×(xcos x3 )¢ =

=sin2(x cos x3 )×(x¢cos x3 + x(cos x3 )¢) =

=sin2(xcos x3 )(cos x3 - xsin x3 (x3 )¢) =

=sin2(xcos x3 )(cos x3 - xsin x3 ×3x2 );

82

г) прологарифмируем обе части равенства:

ln y = ln x−tgx; ln y = -tg x×ln x,

учитывая, что у является функцией от х, найдем производные обеих частей равенства: (ln y)¢ = (-tg x × ln x)¢.

д) функция задана неявно. Для того, чтобы найти y ′, продифференцируем обе части равенства по х, считая у функцией от x(y = y(x)), а затем разрешим уравнение относительно y ′:

(x3 + y3 – 3yx)¢ = 0¢; 3x2 + 3y2y ¢ – 3(y + xy ¢) = 0; y ¢(3y2 – 3x) = 3y – 3x2;

Пример 2.12. Найти производную функций: а) y = (3x5 -23 x2 + 6)4 ;

83

Пример 2.13. Найти производную функций:

à) y = ln3 1- x4 . 1+ x4

Используя свойства логарифмов, упростим

Находим производную

84

Дифференцируем

Механический смысл производной

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения S = s(t), то скорость движения в момент t0 есть производная пути по времени:

v = s ¢ (t0).

Пример 2.15. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой y = x3 + 4x2, проведенная в точке М0 (1; 5). Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой в д анной точке.

85

Для определения углового коэффициента касательной нахо - дим производную от заданной функции:

f ¢ (x) = 3x2 + 8x.

Далее определяем численное значение производной в точке М0 (1; 5), для этого подставляем в выражение производной x = 1:

f ¢ (1) = 3(1)2 + 8(1) = 11.

Значение производной при x = 1 и дает искомый угловой коэффициент k = 11, т.е. tg α = 11, откуда α = arc tg (11) ≈ 84°50′.

Для составления уравнения касательной используем формулу y – y0 = f ′ (x0)(x – x0):

нение которой у = 0, т.е. решаем систему:

откуда получаем х = 1.

Под углом данной кривой с осью OX понимается угол, который касательная к этой кривой в точке х = 1 образует с осью

86

абсцисс. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = 1:

y = –4 + 6x – x2 è y = (x – 2)2?

Решая совместно уравнения парабол, находим абсциссы их точек пересечения:

Определяем, что точки пересечения парабол, соответствующ ие найденным абсциссам — это точки А(1; 1) и B(4; 4) (рис. 23).

y

x

Ðèñ. 23

87

Находим угловые коэффициенты касательных к параболам в точке А:

Вычисляем тангенс угла между касательными:

ϕ1 = arc tg 67 .

Также определяем угол между кривыми в точке В:

k1 = 6 - 2x x=4 = -2, k2 = 2(x - 2) x=4 = 4,

Пример 2.18. В какой точке параболы y = 18x ордината воз-

растает вдвое быстрее, чем абсцисса?

Найдем производную от заданной функции:

Так как производная характеризует скорость возрастания ординаты (функции) по сравнению с возрастанием аргумента, то из условия задачи имеем:

3= 2,

2x

отсюда x = 98 — абсцисса искомой точки.

А ордината находится из уравнения y = 18x x= 98 = 29 .

Ответ: x = 98 , y = 29 .

88

Производные высших порядков

Определение. Производной второго порядка (или второй производной) от функции y = f(x) называется производная от ее производной, т.е. y² = (y¢)¢.

Обозначается вторая производная так:

есть ускорение этого движения. Аналогично, производная тр етьего

порядка функции y = f (x) есть производная от производной второго порядка y¢² = (y²)¢.

Вообще, производной n-го порядка от функции y = f (x) называется производная от производной (n – 1)-го порядка:

y (n) = ( y (n−1) )¢ .

Для n-ой производной употребляются обозначения:

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вы- числяются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 2.19. y = (arc tg x). Найти у². Находим первую производную:

Вторая производная, по определению, равна производной от первой производной, следовательно:

89

Пример 2.20. Найти y¢²(3), если f (x) = (2x – 3)5.

Находим последовательно первую, вторую и третью производ ные:

f ′(x) = [(2x – 3)5]′ = 5(2x – 3)4 · 2 = 10(2x – 3)4, f ′′(x) = 10 · 4(2x – 3)3 · 2 = 80(2x – 3)3,

f ′′′(x) = 80 · 3 · (2x – 3)2 · 2 = 480(2x – 3)2.

Подставляя в третью производную значение х = 3, получим:

f ′′′(3) = 480(2 · 3 – 3)2 = 4320.

Пример 2.21. Найти y¢¢¢¢от функции y = sin2x.

Находим последовательно первую, вторую, третью и четвертую производные:

y′ = 2cos2x, y′′ = –4sin2x, y′′′ = –8cos2x, y′′′′ = 16sin2x.

Пример 2.22. Показать, что функция y = е2õ · sin5x удовлетворяет дифференциальному уравнению:

y′′ – 4y′ + 29y = 0.

Найдем первую и вторую производные от функции y = е2õ · sin5x:

Подставим найденные выражения для y¢ и y¢¢ в данное уравнение и получим тождество:

20å2õ · cos5x – 21å2õ · sin5x – 4(2å2õ · sin5x + 5å2õ · cos5x) + + 29 · e2x · sin5x = 0, 0 = 0.

Дифференцирование неявных функций

Определение. Если зависимость у от x задается посредством соотношения F(x, y) = 0, где F(x, y) — выражение, содержащее x и у, то у называется неявной функцией от x. Для определения производной от неявно заданной функции нужно обе час-

90