шапкин задачи с решениями

Пример 3.3. Вычислить интеграл ò1xdx+ x4 . Введем новую пере-

менную интегрирования u = x2. Тогда du = 2xdx, и данный интеграл будет иметь вид табличного:

ò1xdx+ x4 = 21 ò1+duu2 = 21 arctgu + C.

Возвращаясь к старой переменной интегрирования, имеем:

ò1xdx+ x4 = 21 arctg x2 + C.

Пример 3.4. Найти неопределенный интеграл

ò(x +1)dx

3 − x2

èпроверить результат дифференцированием.

Решение. Данный интеграл разложим на сумму двух интегралов:

Для вычисления первого из этих интегралов воспользуемся тем, что

xdx = 21 d(x2 ) = − 21 d(3 − x2 ),

(и тем самым, множитель х «подведем под знак дифференциала»), и сделаем замену переменной:

tα +1

Полученный интеграл является табличным: òtα dt = α +1 + C . Применяя эту формулу при α = − 21 , имеем: − 21 òt− 21 dt = − t + C.

151

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Аналогично вычисляем интеграл

Окончательно имеем:

Проверка. Убедимся, что производная от полученного выражения совпадает с подинтегральной функцией. Применяя таб лицу производных и правило дифференцирования сложных функ - ций, находим:

Складывая эти два выражения, получаем подинтегральную функцию. Следовательно, интегрирование выполнено правил ьно.

3.1.4. Метод интегрирования по частям

Применение этого метода основывается на формуле:

òu(x)dv(x) = u(x)v(x) - òv(x)du(x)

152

Ясно, что эту формулу имеет смысл применять лишь тогда, когда интеграл òvdu оказывается более удобным для интегриро-

вания (возможно даже, табличным), чем исходный интеграл òudv.

Возникает вопрос: как представить подходящим образом под интегральное выражение f (x)dx в виде u(x)dv(x). Общего правила для этого нет. Однако можно пользоваться следующими частн ы- ми указаниями:

1.Если подинтегральное выражение содержит произведение показательной (еàõ) или тригонометрической функции (sin ax, cos ax) на многочлен, то за множитель u(x) следует принять многочлен.

2.Если подинтегральное выражение содержит произведение логарифмической (ln ax) или обратной тригонометрической функции (arcsin ax, arccos ax и т.д.) на многочлен, то за множитель u(x) следует принять логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Пример 3.5. òx ×ln2 x ×dx. Применим формулу интегрирования по частям òu × dv = uv - òu Ч du. Положим u = ln2 x, dv = xdx, тогда

153

Пример 3.6. Найти интеграл òx2e2xdx.

Полагаем u = x2. Оставшееся под интегралом выражение обозначаем через dv и преобразуем его с помощью приема «подведения функции под знак дифференциала»:

dv = e2xdx = dæ e2x ö.

ç ÷ çè 2 ÷ø

Для применения формулы интегрирования во частям вычислим du и v:

du = d(x2 ) = 2xdx, v = òdv = e2x . 2

Согласно формуле интегрирования по частям, имеем:

òx2e2xdx = x2 e22x - ò e22x ×2xdx.

Итак, исходный интеграл свелся к вычислению интеграла

òe2x xdx.

Êнему вновь применяем формулу интегрирования по частям:

òxe2xdx = x e22x - ò e22x dx.

Итак, получили интеграл табличного вида:

ò e22x dx = 21 òe2xdx = 41 òe2xd(2x) = 41e2x + C.

Суммируя проведенные вычисления, имеем окончательно:

òln2 x dx = x ln2 x - òx × 2x ln x dx = x ln2 x - 2òln x dx.

154

Интеграл òln x dx находим по частям, принимая u = ln x и

dv = dõ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî du = dxx и v = x, используя второй раз формулу (3.3.), получим:

òln x dx = x ln x - òx dxx =x ln x - x + C1 = x(ln x -1) + C1,

àискомый интеграл будет иметь следующий вид:

òln2 x dx = x ln2 x - 2x(ln x -1) + C .

3.1.5.Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов. Если степень многоч лена, стоящего в числителе дроби, не меньше, чем степень много - члена в знаменателе, то в этой дроби следует выделить целу ю часть, т.е. представить ее в виде:

R(x) + QP((xx)) ,

где R(x), P(x), Q(x) — многочлены, причем степень P(x) меньше

степени Q(x). Рациональная дробь P(x) , обладающая этим свой-

Q(x)

ством, называется правильной. Для интегрирования такой др оби ее необходимо разложить в сумму простейших дробей, которы е легко интегрируются:

т.е. этот квадратный трехчлен не имеет действительных кор ней (интегрирование простейших дробей последнего типа будет по-

155

казано ниже на примере). Остановимся подробнее на методик е

разложения правильной рациональной дроби P(x) в сумму про-

Q(x)

стейших дробей. Это выполняется по следующей схеме:

1. Сначала знаменатель дроби Q(x) необходимо разложить на множители вида: x – a, (x – b)k, (x2 + px + q)k.

При этом часто используется теорема Виета: если квадратны й трехчлен ax2 + bx + c имеет корни х1, õ2, òî

ax2 + bx + c = à(õ – õ1)(õ – õ2).

2. Далее следует записать разложение дроби QP((xx)) в сумму про-

стейших дробей, оставляя неопределенными коэффициентам иА, B, C, D и т.д. При этом каждому множителю вида (x – а) соответ-

ствует дробь x A− a , множителю вида (x – b)k соответствует сумма дробей:

а множителю вида x2 + px + q, если он не имеет действительных корней (p2 – 4q < 0), соответствует дробь вида:

Dx + E . x2 + px + q

3. Для определения коэффициентов А, B, C, D, Е в этом разложении следует приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х у многочлена P(x) и многочлена, который получается в числителе после приведения записанной суммы простейших дро бей к общему знаменателю (метод неопределенных коэффициентов ). Можно также находить эти коэффициенты путем сравнения зн а- чений указанных многочленов при конкретных значениях х (в первую очередь, при х, совпадающих с корнями знаменателя Q(x)).

ная функция представляет собой неправильную рациональн ую

156

дробь, поэтому выделим сначала целую часть дроби, поделив с остатком числитель на знаменатель

−4x2 − 8x

−4x2 −16x − 32

Для нахождения оставшегося интеграла выделим в числител е дифференциал знаменателя d(x2 + 4x + 8) = (2x + 4)dx.

Затем разобьем интеграл на два слагаемых и в последнем вы - делим полный квадрат квадратного трехчлена, стоящего в зн аменателе. Тем самым получим:

157

ò x2dx

Пример 3.9. Вычислить интеграл x3 + 5x2 + 8x + 4.

1.Подинтегральная функция — правильная рациональная дробь.

2.Разложим знаменатель правильной рациональной дроби на простейшие действительные множители:

x3 + 5x2 + 8x + 4 = x3 + 4x2 + x2 + 4x + 4x + 4 = =x(x2 + 4x + 4) + (x2 + 4x + 4) = (x + 2)2(x + 1).

3. Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

Так как в знаменателе правильной дроби есть кратный линейный множитель, то в разложении появилась простейшая др обь

IIòèïà.

4.Приведем к общему знаменателю все дроби и затем отбросим его:

x2 = À0(x + 1) + À1(x + 1)(x + 2) + Â(x + 2)2 = = À0x + À0 + À1x2 + 3À1x + 2À1 + Âõ2 + 4Âx + 4Â.

Таким образом, имеем

x2 = (À1 + Â)x2 + (À0 + 3À1 + 4Â)x + (À0 + 2À1 + 4Â).

5. Составляем систему уравнений:

6. Решая систему уравнений, получим А0 = –4, À1 = 0 и В = 1, а исходная подинтегральная функция разложится на просте йшие дроби следующим образом:

158

7. Вычисляем заданный интеграл:

т.е. иррациональности в подинтегральном выражении исчеза ют.

Таким образом, данный интеграл сведен к интегралу от раци - ональной функции. Для его нахождения выделим целую часть подинтегральной функции:

159

Пример 3.11. Найти интеграл òsin3 x - sinx dx. cos2x -1

Òàê êàê cos 2x = 2cos2 x – 1, то подинтегральная функция имеет вид R(sin x, cos x). Заметим, что при замене sin x на –sin x она меняет знак, т.е. является нечетной относительно sin x. Применяем подстановку cos x = t. Тогда

Итак, подинтегральное выражение преобразовано к дробнорациональному виду. Выделяем целую часть и разложим на пр о- стейшие дроби:

Возвращаясь к старой переменной x cos x = t, находим:

3.2.Определенный интеграл

3.2.1.Основные понятия и свойства

Пусть y = f(x) — непрерывная на [a, b] функция. Разобьем [a, b]

точками а = х0 < õ1 < õ2 < … < õn – 1 < õn = b на n частичных отрезков

[à, õ1], [õ1, õ2], … , [õn – 1, b].

Âкаждом из них выберем по одной произвольной точке

ξ1 Î [à, õ1], ξ 2 Î [õ1, õ2], … , ξ n Î [õn – 1, b].

160