шапкин задачи с решениями

5.2.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z= 4x2 + y2 – 16x –4y + 20

âзамкнутой области D, заданной неравенствами:

x ³ 0, x – 2y £ 0, x + y – 6 £ 0.

Решение.

а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):

¶¶xz = (4x2 + y2 -16x - 4y + 20)¢x = 8x -16; ¶¶xz = 0; 8x -16 = 0; x0 = 2;

¶¶yz = (4x2 + y2 -16x - 4y + 20)¢y = 2y - 4; ¶¶yz = 0; 2y - 4 = 0; y0 = 2;

Стационарная точка x0 = 2, y0 = 2 лежит в замкнутой области, так как: 2 ³ 0; 2 – 2 · 2 < 0; 2 + 2 – 6 < 0.

Найдем вторые частные производные:

и их значения в стационарной точке М (2; 2):

Òàê êàê D = A · C – B2 = 8 · 2 – 0 = 16 > 0, то в точке М

функция имеет экстремум, а именно минимум, так как А = 8 > 0; zmin (2; 2) = 4 · 22 + 22 – 16 · 2 – 4 · 2 + 20 = 0.

241

б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 56).

y

À 123456789012123456789012 123456789012 123456789012 123456789012 123456789012D 123456789012∙ 123456789012 123456789012M 123456789012

C ∙123456789012∙ B 123456789012 123456789012∙ 123456789012E 123456789012

23456789012

Ðèñ. 56

Рассмотрим контур х = 0 (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: z = y2 – 4y + 20. Исследуем ее на экстремум:

z′ = 2y – 4.

Из z¢ = 0 имеем 2y – 4 = 0 или y = 2. И так как z′′(2) = (2y − 4)′y=2 = (2)y=2 = 2 > 0,

то имеем минимум и zC = z (2) = 22 – 4 · 2 + 20 = 16.

Далее рассмотрим контур х + y – 6 = 0 или y = 6 – х (прямая AB). Имеем:

z = 4x2 + (6 – x)2 – 16x – 4(6 – x) + 20

èëè

z = 5õ2 – 24õ + 32.

Найдем z¢ = 10х – 24 и из z¢ = 0 имеем 10х – 24 = 0, или x = 125

242

производную z¢ = (17y2 – 36y + 20)¢ = 34y – 36, приравниваем ее

Найдем значения функции z в точках О (0; 0), A (0; 6) и B (4; 2):

z0 = 20; zA = 4 · 0 + 62 – 16 · 0 – 4 · 6 + 20 = 32; zB = 4 · 42 + 22 – 16 · 4 – 4 · 2 + 20 = 16.

z0 = 20; zA = 32; zB = 16 выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что zíàèì = 0, zíàèá = 32.

8.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

8.1.Уравнения первого порядка

8.1.1.Найти общее решение уравнения:

à) ó¢ = e4x – 2y. Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решаем его.

ние исходного уравнения.

243

á) (3õ – 5y) ó′= 5x + 3y. Разделив уравнение на х

получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое сведем к уравнению с разделяющимися переме н- ными введением функции t = xy , отсюда y = x · t и у′ = t + x · t ′.

Подставляем в исходное уравнение (3 – 5t)(t + xt ′) = 5 + 3t,

Это и будет общее решение исходного дифференциального уравнения.

â) (4 + x2 )y¢ +2y = arctg 2x .

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядк а, которое решаем подстановкой Бернулли y = u(x) · v (x) и у′ = u′v + uv′, после чего приходим к решению двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

244

Подставляем y = uv, у′ = u′v + uv′ в исходное уравнение

(4 + x2 )(u¢v + uv¢) + 2uv = arc tg 2x .

Группируем

245

Этот интеграл берется по частям по формуле òudv = uv - òvЧdu, но функции u(x) и v(x) здесь совсем другие, чем (b) и (с).

С использованием выражений (е) интеграл (d) с использованием формулы интегрирования по частям запишется как

Следовательно, решение исходного дифференциального ура в- нения имеет вид:

x

Это, так называемое, дифференциальное уравнение Бернулли вида

ó¢ + p (x) · y = q (x) · yn.

Сначала его нужно разделить на yn, а затем ввести вспомогательную функцию z = y– n + 1.

Делим исходное уравнение на у2

246

Пусть z = y–2 + 1 = y–1, найдем

Подставляем функции (b) в уравнение (а)

Получили линейное дифференциальное уравнение, которое решаем методом Бернулли

247

Эту функцию и (g) подставляем в (d)

Таким образом, решение исходного дифференциального урав - нения имеет вид:

8.1.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным m = 3 величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла n = 2 миллионов рублей.

Если величину вклада обозначить через J = J (t), где t – время, то скорость роста вклада есть производная, т.е. J′ = dJdt è îíà ïðî-

порциональна величине вклада J с коэффициентом пропорциональности, равным 3, т.е.

dJdt = 3J.

Разделяем переменные и интегрируем

ln J = 3t + C èëè J = e3t + C.

В начальный момент времени, т.е. при t = 0 начальный вклад J0 = 2 млн руб. Тогда

J0 = e3 · 0 + C; eC = 2 è C · ln e = ln 2, ò.å. C = ln 2.

Окончательно: J = e3t + ln 2 èëè J = 2e3t.

248

8.2.Линейные уравнения высших порядков

8.2.1.Решить задачу Коши:

Его характеристическое уравнение r2 – 2r – 3 = 0, корни которого r1 = –1, r2 = 3. Тогда решение уравнения (а) имеет вид:

отсюда dy = (С1e–x + Ñ2e3x) dx. Интегрируя это выражение, получим

Это есть общее решение исходного дифференциального урав - нения.

Используя начальные условия, найдем постоянные С1, Ñ2, Ñ3:

А частное решение исходного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетвор яющее начальным условиям, будет:

y = -2e−x + 13 × e3x + 53 .

249

á) y² – 6y¢ + 9y = (x + 1) e4x, y (0) = 1, y¢ (0) = 3. (a) Находим общее решение однородного дифференциального

уравнения (дифура), соответствующего исходному дифуру (а) :

y² – 6y¢ + 9y = 0. (b)

Частное решение исходного дифура (а) берем в виде:

подставляем в (а) и группируем: (2A + B) + Ax = 1 + x, отсюда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем:

2A + B = 1 è A = 1,

т.е. А = 1, B = –1, а выражение (d) принимает вид:

Суммируя (с) и (е), найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (а):

Найденные значения С1 è Ñ2 подставляем в (f) и частное решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

y = 2e3x + (õ – 1) e4x.

250