шапкин задачи с решениями

Тогда

7. Находим систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника.

Найдем уравнение прямой ВС:

Берем любую точку, лежащую внутри треугольника, например, (4; 3) и подставляем ее координаты в левую часть уравнени й прямых:

4 – 2 · 3 = –2 < 0; 2 · 4 –3 – 3 = 2 > 0; 4 + 3 – 9 = –2 < 0,

следовательно, система неравенств имеет вид:

ìx - 2y < 0, ïí2x - y - 3 > 0,

ïx + y - 9 < 0.

î

Пример 1.17. Составить уравнение прямой l, проходящей че- рез точку А (2; –4) и отстоящей от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам.

Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид:

y – yA = k(x – xA),

èëè

y + 4 = k(x – 2),

èëè

51

Для определения углового коэффициента k этой прямой воспользуемся тем, что она отстоит от начала координат на рас стоянии, равном 2 единицам. Найдем это расстояние непосредственно. Уравнение перпендикуляра, опущенного из начала к о-

ординат на прямую kx – y – (2 + 4k) = 0, имеет вид y = - k1 x, или x + ky = 0. Решив совместно уравнения этих двух прямых

ìkx - y - (2 + 4k) = 0,

íî x + ky = 0,

получим координаты точки С их пересечения:

Отсюда находим расстояние от начала координат до прямой l:

С другой стороны, по условию ОС = 2. Таким образом, полу- чаем уравнение для нахождения углового коэффициента k искомой прямой l:

2(k + 2) = 2 èëè k + 2 = k2 +1, k2 +1

откуда k = − 43 . Таким образом, подставляя найденное значение k = − 34 в уравнение (*), получаем уравнение прямой:

или окончательно,

3õ + 4ó + 10 = 0.

52

В заключение отметим, что отыскивая уравнение прямой l в виде y – yA = k(x – xA), мы предполагали тем самым, что эта прямая не параллельна оси ординат. Но очевидно, что прямая х = 2 (параллельная оси Оу) также удовлетворяет условию задачи, так как она проходит через точку А (2; –4) и отстоит от начала координат на расстоянии, равном 2 единицам (рис. 17).

y

Пример 1.18. Составить уравнения прямых, параллельных прямой 3х + 4у – 1 = 0 (l) и отстоящих от нее на расстоянии равном 1.

Решение. Уравнение каждой из прямых будем искать в виде у = kx + b. Так как искомая прямая параллельна прямой l, то ее

угловой коэффициент k = − 43 и, следовательно, ее уравнение принимает вид:

y = − 34 x + b

èëè

Для отыскания параметра b воспользуемся тем, что расстояние от любой точки прямой l, например, от точки А (3; –2) до прямой (*) согласно условию равно 1. Но это расстояние может быть вычислено и непосредственно. Запишем для этого

53

уравнение прямой h, проведенной из точки А перпендикулярно прямой l:

y + 2 = 43 (x - 3) èëè 4õ –3ó – 18 = 0.

Решив, далее, совместно уравнения прямых h и l

ì4x - 3y -18 = 0,

íî3x + 4y - 4b = 0,

найдем координаты точки В их пересечения:

Тогда искомое расстояние равно длине отрезка АВ:

AB = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 =

Приравнивая это выражение единице, получим уравнение отн о- сительно b:

(12b - 3)2 + (16b - 4)2 =1 25

èëè

(12b – 3)2 + (16b – 4)2 = 252

и окончательно

2b2 – b – 3 = 0.

Решения этого уравнения таковы: b1 = 23 , b2 = −1. Подставляя по-

54

лученные значения b в уравнение (*), запишем уравнения искомых прямых:

3x + 4y – 6 = 0 è 3x + 4y + 4 = 0.

Пример 1.19. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F (8; 0) вдвое больше, чем от прямой х – 2 = 0. Сделать чертеж.

Пусть М(х; у) — текущая точка линии. По условию задачи

MF = 2MN. Тогда

(xM − xF )2 + (yM − yF )2 = 2 (xM − xN )2 + (yM − yN )2 ; (x − 8)2 + (y − 0)2 = 2 (x − 2)2 + (y − y)2 .

Возводя в квадрат и раскрывая скобки, получим

Это есть каноническое уравнение гиперболы (рис. 18).

y

∙N(2; y) ∙ M(x; y)

Ðèñ. 18

55

Пример 1.20. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки F (0; – 4) и от прямой y + 2 = 0.

Сделать чертеж.

Если M(x; y) есть текущая точка линии, то по условию задачи

MF = MN èëè

Ðèñ. 19

56

1.3.2.Аналитическая геометрия

âпространстве

Плоскость.

1. Всякая плоскость в координатном пространстве OXYZ имеет векторное уравнение следующего вида: r Ч n = p. Здесь

r = xi + yj + zk — радиус-вектор текущей точки плоскости

M(x, y, z); n = i cosα + j cosβ + k cosγ — единичный вектор, имеющий направление перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, α, β, γ — углы, образованные этим перпендикуляром с осями координат OX, OY, OZ, и р — длина этого перпендикуляра.

При переходе к координатам это уравнение принимает вид xcos α + ycos β + zcos γ – p = 0 (нормальное уравнение плоскости).

2.Уравнение всякой плоскости может быть записано также

âвиде Ах + Bу +Cz + D = 0 (общее уравнение). Здесь А, B, C

можно рассматривать как координаты некоторого вектора

N = Aι + Bj +Ck, перпендикулярного к плоскости. Для приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду все члены у равнения надо умножить на нормирующий множитель

μ = ± 1 = ± 1 ,

N A2 + B2 + C2

где знак перед радикалом противоположен знаку свободног о члена D в общем уравнении плоскости.

3. Частные случаи расположения плоскости, определяемой уравнением Ах + Bу +Cz + D = 0:

À= 0; плоскость параллельна оси ОХ; B = 0; плоскость параллельна оси ОY; C = 0; плоскость параллельна оси ОZ;

D = 0; плоскость проходит через начало координат;

À= B = 0; плоскость перпендикулярна оси ОZ (параллельна плоскости ХОY);

À= С = 0; плоскость перпендикулярна оси ОY (параллельна плоскости ХОZ);

B = C = 0; плоскость перпендикулярна оси ОX (параллельна плоскости YОZ);

À= D = 0; плоскость проходит через ось ОХ;

57

В = D = 0; плоскость проходит через ось ОY; C = D = 0; плоскость проходит через ось ОZ;

À= B = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью ХОY (z = 0);

À= C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью ХОZ (y = 0); B = C = D = 0; плоскость совпадает с плоскостью YOZ (x = 0).

Если в общем уравнении Ах + Bу +Cz + D = 0 коэффициент D ¹ 0, то, разделив все члены уравнения на – D, можно уравнение

резках:C øв нем а — абсцисса точки пересечения плоскости с осью

ОХ, b и c — соответственно ордината и аппликата точек пересече- ния плоскости с осями ОY и ОZ.

Условие перпендикулярности плоскостей:

À1À2 + B1B2 + Ñ1Ñ2 = 0.

5. Расстояние от точки М0(õ0; y0; z0) до плоскости, определяемой уравнением Ах + Bу +Cz + D = 0, находится по формуле

Оно равно взятому по абсолютной величине результату подстановки координат точки в нормальное уравнение плос кости; знак результата этой подстановки характеризует взаи мное

58

расположение точки М0 и начала координат относительно данной плоскости: этот знак положителен, если точка М0 и начало координат расположены по разные стороны от плоскости, и отрицателен, если они расположены по одну сто рону от плоскости.

6. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(õ0; y0; z0)

и перпендикулярной к вектору N = Ai + Bj + Ck, имеет вид

À(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. При произвольных А, В и С последнее уравнение определяет некоторую плоскость, при надле-

жащую к связке плоскостей, проходящих через точку М0. Его ча- сто поэтому называют уравнением связки плоскостей.

7. Уравнение А1õ + B1ó +C1z + D1 + λ(À2õ + B2ó +C2z + D2) = 0 при произвольном λ определяет некоторую плоскость, проходя-

щую через прямую, по которой пересекаются плоскости, опре деляемые уравнениями

некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (в силу чего такое уравнение часто называют уравнением пучка плоскостей). Если плоскости, определяемые уравнениями I и II, параллельны, то пучок плоскосте й превращается в совокупность плоскостей, параллельных эт им плоскостям.

8. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точ-

êè M1(r1), M2 (r 2 ), M3 (r 3 ) (r1 = x1i + y1 j + z1k; r2 = x2i + y2 j + z2k; r3 = x3i + y3 j + z3k ), проще всего найти из условия компланарнос-

ти векторов r − r1, r2 − r1, r3 − r1, ãäå r = xi + yj + zk — радиус-вектор текущей точки искомой плоскости М:

(r − r1 )(r2 − r1 )(r3 − r1 ) = 0,

или в координатной форме:

59

Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей

x + y + 5z – 1 + λ(2x +3y – z + 2) = 0.

Значение λ определяем из условия, что координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению:

3 + 2 + 5 – 1 + λ(6 + 6 – 1 + 2) = 9 + 13λ = 0, λ = − 139 .

Получаем искомое уравнение в виде:

x + y + 5z −1− 139 (2x + 3y − z + 2) = 0

или, умножая на 13 и приводя подобные члены, в виде:

5x + 14y –74z + 31 = 0.

Пример 1.22. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x + 3y + 5z – 4 = 0 и x – y – 2z + 7 = 0 и параллельной оси оу.

Решение. Воспользуемся уравнением пучка x + 3y + 5z – 4 + + λ (x – y – 2z + 7) = 0, преобразуем уравнение к виду (1 + λ)õ + (3 –λ)ó + (5 – 2λ)z + (7λ – 4) = 0.

Так как искомая плоскость параллельна оси ординат, то коэффициент при у должен равняться нулю, т.е. 3 – λ = 0, λ = 3. Подставив значение λ в уравнение пучка, получаем

4x – z + 17 = 0.

Пример 1.23. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(2; –1; 4) и N(3; 2; –1) перпендикулярно к плоскости x + y + z – 3 = 0.

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через первую из данных точек:

À(õ – 2) + B(ó + 1) + C(z – 4) = 0.

60