шапкин задачи с решениями

Производная и дифференциал. Исследование функций

25.Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл; уравнение касательной к графику функции.

26.Основные правила нахождения производных.

27.Дифференциал функции; его геометрический смысл. Линеаризация функции. Дифференциал сложной функции.

28.Производные высших порядков.

29.Функции, заданные параметрически; их дифференцирование .

30.Теоремы Ролля и Лагранжа.

31.Правило Лопиталя.

32.Формула Тейлора.

33.Возрастание и убывание функций; необходимые и достаточные условия.

34.Экстремум функции. Необходимое условие, достаточные условия. Наибольшее и наименьшее значения функции на замк - нутом интервале.

35.Выпуклость и вогнутость графика функции; точки перегиба .

36.Асимптоты графиков функций: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Функции нескольких переменных

37.Функции двух и трех переменных как функции точки. Геометрическое изображение функции двух переменных с помощ ью поверхностей и линий уровня.

38.Предел функций точки. Непрерывность в точке и в области. Частные производные от функции нескольких переменных; ге ометрический смысл частных производных функций двух перемен ных.

39.Производная по направлению и градиент функции; основные свойства градиента.

40.Полный дифференциал функции нескольких переменных; достаточные условия его существования. Понятие о частных производных высших порядков.

41.Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения фун к- ции в ограниченной замкнутой области.

42.Условный экстремум; необходимое условие. Метод множителей Лагранжа.

11

Раздел IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общие понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка

54.Задачи геометрического и физического характера, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши; частное и общее ре шения.

55.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и линейные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

56.Интегрирование некоторых уравнений второго порядка путем понижения порядка уравнения.

57.Общие сведения о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. Структура общего решения.

58.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

ñпостоянными коэффициентами. Характеристическое уравн ение. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Отыскание частного р е- шения неоднородного линейного уравнения методом неопре деленных коэффициентов.

Раздел V. РЯДЫ

Числовые ряды

59.Числовые ряды. Сходимость и расходимость. Необходимые условия сходимости; основные свойства.

60.Достаточные признаки сходимости и расходимости рядов

ñположительными членами. Признак Даламбера. Оценка остат - ка ряда.

61.Признак Лейбница о сходимости знакопеременных рядов; оценка остатка ряда.

62.Абсолютная и неабсолютная сходимости рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

13

Степенные ряды

63.Функциональный ряд; область его сходимости. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости; радиус сходимост и.

64.Разложение функции в степенной ряд. Достаточные усло-

вия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Т ейлора (Маклорена) функций: еõ, cos x, sin x, ln(1 + x), (1 + x)m.

65.Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Âучебном пособии будут также приведены некоторые специальные разделы «Высшей математики».

Раздел VI. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ÈМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

66.Случайные события. События и вероятность. Алгебра событий. Классическое и статистическое определение вероят ности. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Те о- ремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной ве - роятности.

67.Случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение. Распред еление Пуассона. Простейший поток событий. Числовые характер и- стики. Числовые характеристики дискретных и непрерывных слу- чайных величин. Показательное распределение. Нормальное распределение. Закон больших чисел.

68.Математическая теория выборки. Сплошное и выбороч- ное наблюдения. Статистические оценки. Требования, предъя в- ляемые к статистическим оценкам. Методы построения стати сти- ческих оценок. Оценка доли признака. Точечные оценки для с редней и дисперсии генеральной совокупности. Интервальные о ценки средней и дисперсии нормально распределенной генеральн ой совокупности.

69.Статистическая проверка гипотез. Критерий проверки. Кри - тическая область. Общая схема проверки гипотезы. Проверка гипотез относительно средней. Сравнение дисперсий двух сов окупностей. Сравнение двух зависимых выборок. Критерий соглас ия.

70.Элементы теории корреляции. Основные понятия. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии рег рессии по несгруппированным и по сгруппированным данным. Коэффициент корреляции и его свойства.

14

Раздел VII. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

71.Математические методы в экономике. Экономические примеры. Общая задача линейного программирования (с огранич е- ниями в форме уравнений и неравенств). Понятие плана, оптимального плана.

72.Основная задача линейного программирования (с ограни- чениями в форме уравнений) и ее геометрическая интерпрет ация. Выпуклость множества планов. Понятие опорного плана (баз исного решения). Экстремальная точка в множестве планов.

73.Достаточные условия существования оптимального опорного плана (теорема существования).

Базисный план. Метод последовательного улучшения базисного плана (симплекс-метод). Некоторые варианты симплексметода

74.Двойственные задачи. Соотношения между значениями целевых функций двойственных задач (основное неравенств о двойственности). Теоремы двойственности и критерии оптимальн ости планов двойственных задач.

Экономическая интерпретация двойственных задач. Критерий Канторовича оптимальности плана задачи использования ресурсов.

75.Простейшие линейные задачи экономики: основная зада- ча текущего производственного планирования; задача о ком плексном выпуске продукции; задача о распределении программы

èспециальный метод ее решений (метод разрешающих множителей).

76.Транспортная задача в матричной и сетевой постановке. Метод потенциалов.

77.Понятие о распределительной задаче.

78.Целочисленное линейное программирование.

79.Элементы теории матричных игр.

80.Понятие о графах и сетевом планировании.

81.Понятие о выпуклом программировании.

82.Вычислительные методы квадратичного программирования.

83.Простейшие задачи динамического программирования.

15

Раздел 1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Линейная алгебра

Рассмотрим решение системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Постановка задачи: дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Требуется найти совокупность n значений (x10, x20, ..., xn0 ) таких, которые бы отождествляли одновременно все уравнения системы. Такая совокупность значений называется решением сист емы.

Рассмотрим решение системы (1.1) тремя способами: матрич- ным способом, по формулам Крамера и методом исключения неизвестных — методом Гаусса.

1.1.1. Матричный способ

Определение. Матрицей вида m · n называется таблица вида

Числа aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), образующие матрицу, называются ее элементами.

16

Обознаются матрицы буквами А, В, С, … или (aij), (bkl), (cpq), … . Матрицы вида n · n (число строк равно числу столбцов) назы-

ваются квадратными n-го порядка. В частности, квадратная матрица n-го порядка вида

называется единичной и обозначается буквой Е. Для нее aij = 0,

åñëè i ¹ j, è aij = 1, если i = j. Матрицы вида:

(à1, à2, …, àn)

называются матрицами-строками, а матрицы вида:

æ a1 ö çç a2 ÷÷ ç M ÷ çèam ÷ø

— матрицами-столбцами.

Определение. Произведением матрицы (1.2) на число λ называется матрица (λ aij).

Чтобы умножить матрицу на число λ, надо умножить каждый ее элемент на это число.

Наиболее важным является следующее определение.

Определение. Произведением матрицы А (1.2) на матрицу

17

Например,

Произведение матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Произведение матриц не коммутативно, т.е. AB ¹ BA.

Определение. Если в матрице А переставить местами строки и столбцы: 1-й столбец заменить 1-й строкой, 2-й столбец — 2-й строкой и т.д., то полученная в результате матрица называется тр анспонированной по отношению к матрице А и обозначается Аò.

Например, если

Определение. Определителем квадратной матрицы (aij) n-го порядка, который обозначается |aij |, det A или D называется число, вычисляемое по формуле

i=1

ãäå Mij — определитель матрицы (n – 1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца:

18

Таким образом, вычисление определителя матрицы n-го порядка сводится к вычислению определителей матриц (n – 1)-го порядка, которые, в свою очередь, выражаются через определ ители матриц (n – 2)-го порядка и т.д., до определителей матриц 2-го порядка, которые вычисляются по формуле

Например, для матриц 3-го порядка формула (1.3) при i = 1 принимает вид

по которой и вычисляют определители матриц 3-го порядка. Мо ж- но конечно пользоваться и другими формулами, получающими ся из (1.3) при i = 2, 3 или (1.4), но окончательный ответ будет один и тот же.

Определение. Определитель матрицы (1.5), обозначаемый Мij называется дополнительным минором элемента аij (стоящего в пересечении вычеркиваемой строки и столбца), а число (–1)i+jÌij называется алгебраическим дополнением элемента аij и обознача- ется Аij, ò.å.

Формула (1.3) называется формулой разложения определителя по i-ой строке, а формула (1.4) — разложением по j-ому столбцу. Учитывая (1.6), формулы (1.3, 1.4) для краткости записывают в виде

n

det A = åaij Aij j=1

èëè

n

det A = åaij Aij .

i=1

19

Пример 1.1. Вычислить

= 2 ×(2 + 4) +1×(3 -2) +1×(-6 - 2) =12 +1- 8 = 5.

Рассмотрим понятие обратной матрицы.

Определение. Пусть дана матрица А n-го порядка. Если ее произведение на некоторую матрицу B n-го порядка равно единич- ной матрице Е, т.е. А · B = E или B · A = E, то матрицу В называют обратной к матрице А и обозначают А–1.

Можно доказать, что если А · А–1 = Å, òî À–1 · А = Е, т.е. взаимно обратные матрицы перестановочны.

Теорема 1. Каждая квадратная матрица А, определитель которой D ¹ 0, имеет единственную обратную матрицу А–1 = B, элементы которой bij находятся по формуле

bij = ADji .

Из теоремы вытекает правило: чтобы найти обратную матрицу к матрице (1.2), где m = n, надо сделать следующие преобразования:

1.Вычислить определитель D матрицы А (D ¹ 0).

2.Каждый элемент матрицы А заменить его алгебраическим дополнением, т.е. составить матрицу (Аij).

3.Транспонировать матрицу (Аij), т.е. записать матрицу (Аji).

4.Матрицу (Аji) умножить на D1 .

Âрезультате получим матрицу À–1.

20