Застосуємо наведені аналітичні правила для здійснення проблеми розв’язання в деонтичній логіці.

Маємо вираз: Op O p.

Побудуємо для нього аналітичну таблицю:

0.Fw Op O p

1.Tw Op

+

Із таблиці видно, що рядки 3 і 6 вступають у супереч- ність, а, отже, даний вираз є логічним законом.

Візьмемо ще один приклад: P(Op Pp)

Отже, дана формула також є тавтологією.

Таким способом можна дослідити будь-який вираз деон- тичної логіки.

4. Епістемічна логіка

а) Визначення епістемічної логіки.

Е п і с т е м і ч н о ю логікою називається розділ модальної логіки, який досліджує природу, властивості, відношення епістемічних висловлювань у структурі мір- кування.

Назва «епістемічна логіка» походить від грецького слова episteme – що означає знання. Саме епістемічне ви- словлювання можна визначити як особливий вид вислов-

лювання, що містить модальні оцінки «знаю», «думаю»,

«вважаю», «передбачаю», «припускаю», «доведено», «ві- рю» та їх аналоги у особистісній і безособистісній фор- мі.

Наприклад:

1.«Відомо, що Колумб відкрив Америку»;

2.«Доведено, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі ква- дратів катетів»;

3.«На мою думку, в цій місцевості є джерела мінераль- ної води».

Особливістю епістемічних модальностей є те, що вони характеризують різні періоди, стани формування знання як результату пізнавального процесу. Тому терміни

«знаю», «вірю», «гадаю», «доведено» з одного боку, фік- сують етапи, періоди формування знання, а з іншого (стосовно суб’єкту пізнання, яким виступає людина як родова істота) – це оцінки станів формування знання, які проходять, вживаються в особистісний духовний світ людини, що виступає виразником, носієм конкрет- них висловлювань.

Це випливає із природи знання, як результату роз- в’язання протиріччя між суб’єктом і об’єктом пізнання, як результату пізнавального процесу, що знаходить своє підтвердження в практиці. Знання в цьому розумінні ви- ступає протилежністю неуцтву. Але знання як результат пізнавального процесу не є чимось готовим, закам’янілим, раз і назавжди даним, що протистоїть своєму антиподу – неуцтву. Інакше можна прийти до тієї точки зору, що іс- нує знання і неуцтво. В той час як у реальному пізнаваль-

ному процесі існують ступені, стани знання, а саме: пере- конання, непевна думка1, віра, припущення, передбачан- ня, сумнів. Кожен із названих епістемічних станів може набути форми знання за певних умов того контексту, в якому здійснюється пізнавальний процес. А до цього мо- менту перераховані стани відображають рухливість, неспо- кій, життя того, що ми називаємо знанням і досягнення чого є найвищою винагородою будь-якого дослідника.

1 Переклад з російського слова «мнение».

Дамо визначення основних епістемічних модальностей стосовно нашого предмета розгляду.

П е р е к о н а н н я м, або суб’єктивною достатніс- тю, є свідоме визнання істинним якогось положення стосовно особи, яка його висловлює, або до якої воно відноситься, або якій воно адресується. Іншими слова- ми, переконання є свідоме визнання чогось істинним для самого себе.

Наприклад, коли вчитель пояснює учневі теорему Піфа- гора, то вона постає для нього не просто істиною, яку від- крив багато віків тому для людської цивілізації давньогре- цький мислитель, а стає істиною для нього, яку він відкриває слідом за вчителем, усвідомлюючи його пояс- нення доведення знаменитої теореми.

Д о с т о в і р н і с т ь, або об’єктивна достатність,

єсвідоме визнання чогось істинним для будь-кого.

Наприклад: «Після літа наступає осінь», «Найкорот-

ша відстань між двома точками – пряма лінія» тощо.

Н е п е в н о ю д у м к о ю є визнання чогось істин- ним при відсутності суб’єктивної і об’єктивної доста- тності.

Наприклад: «На мою думку, в цьому лісі є білі гриби».

В і р а є свідоме визнання істинним якогось положен- ня з точку зору суб’єктивної достатності при чіткому усвідомленні відсутності об’єктивної достатності.

Це часто призводить до того, що ми вимушені приймати деякі положення без доведення, без перевірки, оскільки вони на даний момент не можуть бути обгрунтованими. В цьому розумінні віра1 є протилежністю знанню, як єдності суб’єктивної та об’єктивної достатності.

С у м н і в о м називається оцінка інформації, коли суб’єкт не переконаний ні в її істинності, ні в її хиб- ності.

Переконання, віра, припущення можуть бути будь- якими, в той час як знання завжди істинне.

Це і зумовило два основні напрями епістемічної ло- гіки:

а) логіка знання; б) логіка переконання.

1 На відміну від наукової віри релігійна віра намагається бути основою знан- ня: «Я знаю тому, що вірю».

Є два варіанти логіки знання в залежності від того, яка оцінка береться за вихідну – «доведено» чи «істинно».

Система логіки, де вихідним є термін «доведено», має такі закони:

а) «Якщо висловлювання доведено, то воно істинне»

(оскільки довести можна лише істину).

Наприклад, якщо висловлювання «Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусів» доведено, то воно істинне.

б) «Логічний наслідок доведеного є також доведеним».

Наприклад, якщо положення «Будь-яка планета є кос-

мічним об’єктом» доведено, то і його наслідок «Земля є космічним об’єктом» також є доведенним.

в) «Якщо дещо доведено, то доведено, що воно дове- дено».

г) «Логічне протиріччя не доводиться» (тобто дове-

дення хибного висловлювання не існує).

Наприклад, не можна побудувати доведення для висло-

влювань: «Камінь проводить електричний струм», «Мі- сяць має атмосферу» тощо.

Коли ми за вихідний термін візьмемо поняття «іс- тини», то матимемо логіку істини, де законами є такі положення:

а) «Якщо висловлювання істинне, то невірно, що його заперечення також істинне».

Наприклад, якщо істинно, що «О. Дюма є автором ро- ману «Три мушкетери»», то не вірно, що істинно, «Ніби- то йому не належить авторство цього роману»;

б) «Кон’юнкція істинна, якщо і тільки якщо обидва кон’юнкти істинні».

Наприклад, істинно, що Земля має природній супутник і атмосферу, тільки якщо істинно, що Земля має природній супутник і істинно, що вона має атмосферу.

У логіці переконання вихідним є термін «перекона- ний» («вірить»).

До законів логіки переконання відносять такі поло- ження:

а) «S вірить, що перше і друге, якщо і тільки якщо він вірить, що перше і вірить, що друге»;

б) «Не можна одночасно вірити і сумніватися, бути переконаним і заперечувати; сумніватися і заперечу- вати»;

в) «S або переконаний у чомусь, або сумнівається в цьому, або відкидає це».

Наприклад, суб’єкт або переконаний в тому, що на Марсі є життя, або відкидає це;

г) «Неможливо бути переконаним одночасно в чомусь і в протилежному йому».

Наприклад, не можна одночасно вірити в те, що єги- петські піраміди створили люди і прибульці з космосу.

Для вихідних понять логіки знання «знає», «істинно», «доказувано», «вірно», що логічний наслідок відомого є відомий, істинного – істинний, доказуваного – дове- дений.

У логіці переконання ця залежність має свою специфі- ку. Мається на увазі така ситуація: Чи буде суб’єкт пере- конаний в усіх логічних наслідках, що випливатимуть із прийнятих ним вихідних положень?

Наприклад, якщо суб’єкт переконаний в надійності правил гри в шахи, то він приймає все, що відбувається на шаховій дошці, як наслідок дії цих правил. Але пого- джуючись з правилами гри як вихідними принципами, лю- дина може не знати розв’язку конкретної шахової задачі.

Отже, якщо людина в чомусь переконана, то вона не завжди буде переконана в наслідках цього.

Підсумовуючи попередні міркування, необхідно звернути увагу на той факт, що хоча в епістемічній логіці є логіка знання і логіка переконання, але в назві цього розділу мо- дальної логіки зберігається словосполучення «епістемічна логіка» (від грецького слова episteme), бо в цьому розділі логічними засобами досліджуються саме знання як рухли- вий процес, як процес взаємодії названих епістемічних станів, між якими існують різноманітні зв’язки, переходи, відношення.

б) Мова епістемічної пропозиційної логіки.

Алфавіт мови епістемічної пропозиційної логіки включає:

1. Список пропозиційних змінних: (p, r, q та інші);

2.Список пропозиційних зв’язок: (~, , , , ≡ та інші);

3.Список епістемічних операторів:

К1 а – а знає, що......

В а – а вірить, що......

С а – а сумнівається, що......

О а – а спростовує, що......

Введемо визначення формули:

1.Будь-яка пропозиційна змінна є формулою;

2.Якщо p і q формули, то ~ p, p q, p q, p q, Кар,

Вар, Сар, Оар;

3.Ніщо крім вказанного в пунктах 1 і 2 даної дефіні-

ції не є формулами.

Відповідно до цього визначення вирази Кар, р Кар, ~

Оар, Ва ~ р, є формулами, а вирази Ка, К ~ а , ОВа р

такими не є.

Використовуючи засоби мови пропозиційної епістеміч- ної логіки, опишемо характерні особливості логіки знання як одного з напрямків епістемічної логіки.

Дамо визначення епістемічних модальностей логіки знання Ка, Са, Оа у вигляді правил редукції. Такий під-

хід, з одного боку розкриє своєрідність кожного оператора,

аз іншого – вкаже на специфічні зв’язки з іншими опе- раторами.

Ka ~ p

Oap

– «Якщо, а знає, що на Місяці немає земного тяжіння, то а спростовує наявність земного тяжіння на Місяці», або «із знання не-р випливає спростування р».

Oa ~ p

Kap

– «Із спростування не-р, випливає знання р».

Ca ~ p

Cap

1 Позначною для цього оператора є перша буква в англійському слові Knowledge (знання).

–«Із сумніву не-р, випливає сумнів р».

~Kap

Cap Oap

– «Якщо а не знає р, то або а сумнівається в р, або а спростовує р».

~ Cap

Kap Oap

– «Якщо а не сумнівається в р, то або а знає р, або а спростовує р».

~ Oap

Kap Cap

– « Якщо а не спростовує р, то або а знає р, або сумні- вається в р».

KA(p Q)

Kap

Kaq

Ca(p q)

Cap Cap Kap

Caq Kaq Caq

Oa(p q)

Oap Oap Kap Oap Cap Cap

Oaq Kaq Oaq Caq Kaq Caq

Ka(p q)

Kap Kap Oap Kap Cap Cap

Kaq Oaq Kaq Caq Kaq Caq

Ca(p q)

Cap Cap Oap

Caq Oaq Caq

Ka(p q)

Kap Oap Oap Oap Cap Cap

Kaq Kaq Oaq Caq Kaq Caq

Ca(p q)

Cap Cap Kap

Caq Oaq Caq

Якщо стовпчик таблиці містить хоча б одну пару формул (Кар, Сар), (Сар, Оар), (Кар, Оар), то вважається замкненим.

Пропозиційному численню логіки знання притаманні такі положення:

1.┤ Кар р

2.┤ Ка (р р)

3.├ ~ (Кар Ка ~ р)

4.├ ~ Ка (р ~ р)

5.┤ Оа (р ~ р)

6.├ ~ Кар ~ Оар

7.┤ Кар Оар

8.├ Ка (р ~р) Каq

9.├ Ка (р q) ≡ Кар Каq 10.├ (Кар Каq) Ка (р q) 11. ┤ Ка (р q) Кар

12. ├ Ка (р q) (Кар Каq) 13. ├ Ка (р q) (Оаq Оар) 14. ├ Са (р q) (Сар Саq) 15. ├ Кар Сар Оар

Твердження 1–15 є характеристиками знання в даному численні.

Твердження 1 вказує на те, що тут не визнається пра-

вило: «Знання р спонукає істинність р». Визнання цього правила передбачає граничну ідеалізацію пізнавального процесу. «Якщо я знаю, що р, то я неявно заперечую, що

яка-небудь нова інформація заставить мене зміни-

ти свою точку зору». А це означає відкинути прогрес в науці.

Твердження 2 і 5 показують, що ті характеристики знання, які вони описують, не передбачають «логічного беззаконня».

Твердження 3 зазначає, що формальне протиріччя не входить до складу знання.

Твердження 6 показує, що незнання, на відміну від знання, повне: «Для будь-якого р вірно, що а або не знає

р, або не спростовує р».

Згідно з твердженням 7 знання не повне в такому розу-

мінні: «Для довільного р не можна довести, що будь- який або знає р, або спростовує р». Фактично це є своє-

рідне формулювання знаменитої теореми К. Геделя: «Як-

що система S не суперечлива, то в ній існує таке ви- словлювання р, що ні само р, ні його заперечення не можуть бути доведені засобами S».

Твердження 8 фіксує, що із знання формального проти- річчя випливає знання будь-якого висловлювання.

Твердження 12 і 13 є епістемічними варіантами правил модус поненс і модус толленс.

Згідно з твердженням 15 набір епістемічних операторів Ка, Са, Оа є повним, тобто для будь-якого р а або знає р, або сумнівається в р, або спростовує р.

Важливу роль в дослідженні процесу пізнання відіграє логіка віри. Цікавим є об’єднання в рамках епістемічної логіки «логіки знання» і «логіки віри».

Співставлення в операторів віри і знання дає насту- пні, важливі своїми наслідками, правила:

Kap і Kap .

Bap BaKap

Ці правила показують, що наукова віра є наслідком знання, тобто знання є істинною вірою, оскільки суб’єкт

знає щось, якщо і тільки якщо він вірить у нього і пред- мет віри має місце:

Кар ~ ≡ Вар р.

Звідси випливає таке твердження:

Кар ВаКар

– а вірить в те, що знає р, (або суб’єкт вірить у свої знан- ня).

У логіці віри приймається залежність В~р ~ВВар, але не приймаються залежності:

~ Вар Ва ~ р і

Вар (р ≡ q) Ваq.

Другу залежність можна прокоментувати таким чином.

Нехай «р» означає «бачить Вальтера Скотта», а «q»

– «бачить автора «Веверлея». Але сучасники Вальтера Скотта не вірили, що Вальтер Скотт і «автор Веверлея» це імена однієї і тієї самої людини. Тому із віри в те, що суб’єкт бачить Вальтера Скотта, не слідує, що бачить «ав- тора «Веверлея»:

Вар (р ≡ q) не випливає Ваq.

Сучасні дослідження епістемічної логіки направлені на дослідження реального процесу пізнання, тому ефективне застосування результатів цих досліджень лежить на шляху поєднання епістемічних модальностей з алетичними, деон- тичними та темпоральними.

в) Епістемічна логіка

ітеорія можливих світів

Вепістемічній логіці для аналізу її висловлювань вико- ристовується семантика можливих світів. Тут вводиться

поняття «епістемічно можливий світ». Якщо співста-

вити алетично можливі світи з епістемічно можливими, то епістемічно можливий світ є лише фрагментом логічно можливого світу. Це пояснюється тим, що епістемічно мо-

жливі світи співставляються і є сумісними з тим, що знає носій, виразник епістемічного висловлювання. Це співста- влення і визначає відношення досяжності R.

Епістемічно можливий світ специфікується, співвідно- ситься із носієм епістемічного висловлювання. Тому у ко- жного суб’єкта своя множина епістемічно можливих світів. Не існує такої множини можливих світів, які є спільними для різних суб’єктів. Іншими словами, множини епістемі- чно можливих світів різних суб’єктів повністю не співпа- дають.

Засобами семантики можливих світів оператор «Ка»

має таку дефініцію:

«Якщо Кар w, де w W, то для усіх w’ W, та- ких, що R (w,w’), має місце р w’», або «Кар є істинним

у світі w, якщо тільки в альтернативному епістеміч- ному світі w р є істинним».

У вигляді аналітичного правила модальність знання можна записати так:

TwKap

TK Tw′p

– за умови R (w,w’), де w’ – будь-який епістемічний світ, який є досяжним із w.

Приймаємо, що заперечення модальності знання ~Ка трактується як сумнів. А саме, якщо суб’єкт в чомусь сумнівається то це означає, що воно може не мати місця, тобто буде хибним, аналітичне правило в цьому випадку матиме вигляд:

FwKap

FK Fw′p

– за умови R (w,w’), де w’ – деякий епістемічний світ, який ще не зустрічався в попередніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося це правило, який є досяжним із w.

Побудуємо аналітичну таблицю для формул

Кар р, ~ (Кар Ка ~ р)

Таким способом можна будувати аналітичні таблиці для будь-яких формул в епістемічній логіці.

Сучасні досягнення епістемічної логіки є багатогалузе- вими, тому їх ефективність передбачає залучення засобів із інших розділів модальної логіки.

1.Визначення алетичної логіки.

2.Характеристика основних логічних модальностей.

3.Алфавіт мови пропозиційної модальної логіки.

4.Поняття «можливий світ».

5.Алетично можливі світи.

6.Відношення досяжності.

7.Поняття «опис стану».

8.Визначення модальних операторів через аналітичні пра-

вила.

9.Побудова аналітичних таблиць.

10.Чи є наведені вирази формулами алетичної пропозиційної логіки?

11. Наведіть приклади висловлювань, які відповідають наве- деним формулам:

12. Побудуйте аналітичні таблиці для таких виразів:

13.Передумови виникнення темпоральної логіки.

14.Алфавіт мови темпоральної логіки висловлювань.

15.Дефініція часових модальностей.

16.Основні закони часової логіки.

17.Взаємовизначення темпоральних модальностей.

18.Поняття темпорально можливого світу.

19.Поняття зміни.

20.Дефініція моменту часу.

21.Характеристика часового потоку.

22.Аналітичні правила для темпоральних модальностей.

23.Чи є наступні вирази формулами темпоральної пропози- ційної логіки?

а) Gp Ghp

б) FpH F Fp

в) Fp F Fp г) pqF pH д) p pH

е) G p H.

24. Наведіть приклади висловлювань, які відповідають насту- пним формулам:

а) Gp GGp

б) Hp Fp

в) Gp Fp

г) p Pp

д) Fp F Fp.

25. Побудуйте аналітичні таблиці для виразів:

26.Дефініція деонтичної логіки.

27.Структура норми.

28.Види норм.

29.Характеристика деонтичного висловлювання.

30.Суть дискусії навколо «дилеми Йоргенсена».

31.Алфавіт мови пропозиційної деонтичної логіки.

32.Визначення деонтичних операторів.

33.Поняття деонтично можливого світу.

34.Аналітичні правила в аналітичній деонтичній логіці.

35.Встановіть, чи є наведені вирази формулами деонтичної логіки:

36. Побудуйте аналітичні правила для виразів:

37.Характерні особливості епістемічних модальностей.

38.Визначення епістемічних модальностей.

39.Логіка знання і логіка переконання.

40.Алфавіт пропозиційної епістемічної логіки.

41.Поняття епістемічно можливого світу.

42.Вкажіть, чи є наступні вирази формулами пропозиційної епістемічної логіки:

а) Oa Oap

б) Ka Kap

43. Наведіть приклади висловлювань, які відповідають насту-

44.Побудуйте аналітичні таблиці для формул:

а) Ka (p p)

б) Ka (p p)

в) Ka (p q) ( Kap Kaq) г) Ka (p p) Kaq.