Контрольні вправи

б) у відношенні підпорядкування; в) у відношенні противності; г) у відношенні підпротивності.

6. Здійсніть заперечення таких суджень:

а) «Деякі студенти не виконали самостійно контрольну ро- боту »,

б) «Жоден мій знайомий не є невстигаючим студентом», в) «Невірно, що всі мої приятелі запрошені на свято», г) «Невірно, що деякі мої знайомі мають вищу освіту».

7.Визначіть вид і логічну форму, запишіть на мові логіки висловлювань такі судження:

а) «Спека, і йде дощ».

б) «Йде дощ, але не спекотно».

в) «Він хворий, або має поганий настрій».

г) «Якщо рослину не поливати, то вона засохне».

д) «Це дія або похвальна, або сороміцька, або байдужа».

е) «Якщо студент здібний або старанний, то він успішно складає сесію».

ж) «Мої знайомі не мають вищої освіти і не прагнуть її отримати».

8.Наведіть пари складних суджень, які б знаходилися у від- ношеннях:

а) еквівалентності; б) часткової сумісності;

в) логічного слідування; г) протиріччя; д) протилежності.

РОЗДІЛ Х

УМОВИВІД

1. Загальна характеристика умовиводу

Серед мисленнєвих операцій важливе місце займає умо- вивід. На відміну від поняття та судження умовивід є ло- гічною операцією, завдяки якій із однієї або декількох ду- мок виводять нову думку. Можна навести й таке визначення умовиводу:

У м о в и в о д о м називається така форма мислен- ня або логічна операція, за допомогою якої із одного або декількох відомих суджень виводиться нове судження.

Умовивід складається із:

засновків та

висновку.

З а с н о в к а м и називаються раніше відомі су- дження, на підставі яких робиться висновок.

В и с н о в к о м називається нове судження, отри- мане в результаті співставлення засновків.

Наприклад:

1.Будь-який мешканець нашого будинку знає англійську мову.

2.Мій приятель мешкає в нашому будинку.

3.Отже, мій приятель знає англійську мову.

1і 2 судження будуть засновками, а 3 судження – ви-

сновком.

Процес отримання нової думки (надалі – виведення), базується на певних правилах та законах логіки. Тому ви- ведення в умовиводі носить закономірний характер. Це зумовлює таку особливість умовиводу, на відміну від по- няття і судження, що він характеризується не адекватніс- тю, істинністю або хибністю, а правильністю чи неправи- льністю.

Всю множину умовиводів за характером зв’язку між засновками та висновком поділяють на:

дедуктивні та

індуктивні.

Назва «дедуктивний умовивід» походить від латинсь- кого слова deductio (виведення).

Удедуктивних умовиводах між засновками та ви- сновком існує відношення логічного слідування.

А назва «індуктивні умовиводи» походить від латинсь- кого слова inductio (наведення).

В індуктивних умовиводах між засновками та висно- вком існує відношення наведення.

Утрадиційній логіці умовиводи за напрямком виведен- ня наслідку поділяються на дедуктивні, індуктивні.

Удедуктивному умовиводі ми переходимо від загаль- ного до часткового, або одиничного; в індуктивному – від одиничного до загального.

За ступенем обгрунтованості висновку умовиводи

поділяють на:

демонстративні та

правдоподібні (імовірні).

У демонстративних умовиводах висновок необхідно істинний, а в правдоподібних – імовірно істинний.

За кількістю засновків умовиводи поділяються на:

безпосередні та

опосередковані.

Б е з п о с е р е д н і м умовиводом називається та- кий умовивід, в якому висновок отримують із одного засновку.

О п о с е р е д к о в а н и м умовиводом називається такий умовивід, в якому висновок отримують із двох і більше засновків.

В залежності від того, чи випливає висновок із заснов- ків з урахуванням логічної структури засновків, чи ні,

умовиводи поділяються на силогізми та умовиводи логі-

ки суджень або висновки логіки висловлювань.

2. Висновки логіки висловлювань

Зупинимося на аналізі дедуктивних умовиводів, а саме на характеристиці умовиводів логіки висловлювань.

Для цього класу умовиводів характерним є те, що в них при отриманні висновку не враховується внутрішня струк- тура простих висловлювань, із яких складаються засновки і висновок. Тут отримання висновку базується тільки на смислі логічних сполучників.

Наприклад,

Якщо гіпотеза має підтвердження, то вона стає теорією.

Отже, якщо гіпотеза не стає теорією, то вона не має підтвердження.

Логічна структура такого міркування має такий вигляд:

А В

.

B A

Враховуючи наведене вище визначення умовиводу логі- ки висловлювань, його схему можна записати так:

«із А1, А2, А3 ... Аn слідує (виводиться) В».

Цей вираз розуміється так: «Якщо істинні висловлю-

вання із структурою заданою формулами А1, А2, А3, ...

Аn (засновки), то істинним є і висловлювання із струк- турою, заданою формулою В (висновок)».

З даного визначення видно, що ми відволікаємося від змісту висловлювань і зосереджуємо увагу на структурі за- сновків і висновку.

Надалі схему висновку із засновками А1, А2, А3,... Аn і наслідком В будемо записувати так:

А1, А2, A3 ... Аn

B

або А1, А2, А3 . ... Аn = В

Вважається, що ця схема припустима, а висновок є правильнм тоді і тільки тоді, коли кон’юнкція засновків, що сполучена з висновком знаком імплікації є тотожно- істинною формулою (тавтологією) логіки висловлювань: А1,

А2, А3, ... Аn В.

Треба зауважити, що у правильному висновку між кон’юнкцією засновків і висновком існує відношення логі- чного слідування. У тому випадку, коли знайдеться хоча б один набір значень змінних, що входять до А1, А2, A3... Аn,

при якій імплікація (А1 А2 A3 ... Аn) В буде хиб- ною, то висновок буде неправильним.

Необхідно мати на увазі:

1. Правильність міркування сама по собі не гарантує

істинність висновку. Істинність всіх засновків прави- льного висновку є лише достатньою умовою істинності висновку, але якщо хоча б один із засновків є хибним, то висновок може бути будь-яким:

ІЯкщо метали є рідиною, а мідь – метал, то Отже мідь – рідина.

ІІ Якщо метали є рідиною, а ртуть – метал, то

Отже, ртуть – рідина.

2. Істинність висновку не означає правильність умо- виводу, оскільки істинність висновку не є ні достат- ньою, ні необхідною умовою правильності умовиводу.

а) Типологія правил висновку

Умовивід аналізується на двох рівнях: синтаксичному

ісемантичному.

Зточки зору синтаксису умовивід являє собою правило висновку. Правилом висновку є норма, що дозволяє із су-

джень однієї логічної структури як засновків отримува- ти судження певної логічної структури як висновок.

Кожне правило репрезентує нескінченну множину умо- виводів різноманітних за змістом, але єдиної синтаксичної структури.

Наприклад:

Якщо теорія істинна, то вона не має логічних суперечностей.

Дана теорія – істинна.

Отже, дана теорія не має логічних супереч- ностей.

Задамо синтаксис цього міркування:

логічна структура першого засновку має такий ви- гляд А В;

другого засновку – А,

висновку – В.

Разом отримуємо:

A B, A

.

B

Ця логічна структура є правилом висновку, яке регла- ментує найрізноманітніші міркування лише в рамках схе- ми, заданої цим правилом.

З точки зору семантики дедуктивний умовивід являє собою відношення логічного слідування. Якщо у нашому прикладі засновки А В і А приєднати через імплікацію до В, то отримаємо тотожно-істинну формулу (або тотож- но-істинне висловлювання): ((А В) А) В.

Це означає, що між засновками А В і А та висновкомВ існує відношення логічного слідування.

Враховуючи характеристику правила висновку, наведе- ного вище, можна сказати, що систематичний огляд пра- вил висновку логіки висловлювань сприятиме розгляду всіх можливих міркувань у цій логіці. Тому розглядаючи те чи інше правило висновку логіки висловлювань, мають на увазі, що тут йдеться про конкретні міркування, які репрезентуються цим правилом.

Правила висновку логіки висловлювань поділя- ються на:

основні та

похідні.

У свою чергу, основні та похідні правила поділя-

ються на:

прямі та

непрямі.

О с н о в н и м и називаються правила, які змістовно очевидні і дозволяють відрізнити правильно побудовані міркування від неправильно побудованих міркувань.

По х і д н и м и називаються правила, які виводять- ся із основних і сприяють скороченню процесу висновку.

Пр я м и м и називаються правила, які вказують на безпосереднє виведення висновку із засновків.

Н е п р я м и м и називаються правила, які дають можливість стверджувати правомірність деяких виснов- ків на основі визнання правомірності інших висновків.

Систему правил висновку логіки висловлювань можна записати за допомогою такої схеми:

Розгляд правил висновку логіки висловлювань розпоч-

немо з основних прямих правил.

Правило введення кон’юнкції (ВК):

A, B

A B .

Прикладом змістовного міркування, що відповідає цьо- му правилу, буде:

Франція – європейська держава. Іспанія – європейська держава.

Отже, Франція та Іспанія – європейські держави.

Правило усунення кон’юнкції (УК):

Приклад міркування, що відповідає правилу усунення кон’юнкції:

ІТеорія та гіпотеза – форми наукового пізнання. Отже, теорія – форма наукового пізнання.

ІІТеорія та гіпотеза – форми наукового пізнання. Отже, гіпотеза – форма наукового пізнання.

Правило введення диз’юнкції (ВД):

Приклад міркування, що відповідає правилу введення диз’юнкції:

Дана форма мислення є поняттям.

Дана форма мислення є поняття або судження.

Правила усунення диз’юнкції (УД):

A B, A .

B

Приклад міркування за правилом усунення диз’юнкції:

Він знає мого брата або мою сестру. Він не знає мою сестру.

Отже, він знає мого брата.

Треба враховувати різницю смислів сполучника «або»:

1) сполучно-розділове «або»;

2) суворо розділове «або».

Нехтування цією різницею при вживанні диз’юнкції призводить до логічної помилки. Наприклад,

Ця книжка належить моєму братові або моїй сестрі. Ця книжка належить моєму братові.

Отже, ця книжка не належить моїй сестрі.

З’ясуємо логічну структуру цього міркування:

A B, A .

B

Якщо приєднати висновок до засновків через імпліка- цію, то у результаті не отримаємо тотожно-істинної фор- мули, а отже, висновок не відповідає визначенню правиль- ного дедуктивного умовиводу.

а) [(А В) А] В.

У тих випадках, коли неможливо вирішити, в якому смислі вживається сполучник «або», треба посилатися на смисл сполучника «або» у сполучно-розділовому розумінні.

Розглянемо другий приклад.

Правила висновку логіки висловлювань бувають осно- вні та похідні.

Це правило – основне.

Отже, це правило не похідне.

Логічна структура цього міркування має такий вигляд:

A B, A .

B

Отже, отримуємо

б) [(А В) А] В

вираз, який на перший погляд еквівалентний виразу а). Але це лише на перший погляд. Насправді тут присутній ще один засновок, який вказує на те, що не існує правила, яке одночасно було б і основним, і похідним (А В). З цим засновком вираз б) стане тотожно-істинним:

в) [[(А В) А] (А В)] В.

Виходить, наявність засновку А В свідчить про те, що ми маємо сильну диз’юнкцію. Отже, вираз в) набуде ви- гляду:

((А В) А) В.

Правило усунення імплікації (УІ):

A B

A

.

B

Це правило ще називають відділенням висновку В від засновку А В за допомогою засновку А, а іноді назива-

ють правилом «ствердження за антецедентом».

Приклад міркування за правилом усунення імплікації:

Якщо поїзд запізнюється, то ми не встигаємо на ав- тобус.

Поїзд запізнюється.

Отже, ми не встигаємо на автобус.

Правило УІ має такі різновиди:

A B A B A B A B

Правило введення еквіваленції (ВЕ):

Приклад міркування за правилом введення еквіваленції:

Якщо на планеті є життя, тоді там є атмосфера. Якщо на планеті є атмосфера, тоді там є життя.

Отже, на планеті є життя тоді і тільки тоді, коли там є атмосфера.

Правило усунення еквіваленції (УЕ):

Правило введення подвійного заперечення (ВПЗ):

A .

A

Приклад міркування за правилом введення подвійного заперечення:

Ця книжка є підручником з логіки.

Отже, невірно, що ця книжка не підручник з логіки.

Правило усунення подвійного заперечення (УПЗ):

AA .

Приклад міркування за правилом усунення подвійного заперечення:

Невірно, що курсова робота не виконана самостійно.

Отже, курсова робота виконана самостійно.

Як уже зазначалося, окрім наведених основних правил висновку логіки висловлювань існують і основні непрямі.

До них відносяться:

а) правило введення імплікації, б) правило введення заперечення.

Правило введення імплікації (ВІ):

П– (множина засновків)

А– припущення

:

:

В .

АВ

Це правило використовується у тих вивідних процесах, коли для отримання висновку ми звертаємося до припу- щень, які полегшують процедуру виведення. Його можна сформулювати так: «Якщо із засновків П і з припущення

А випливає В, то можна стверджувати вивідність із цих засновків А В».

Правило введення заперечення (ВЗ):

П – (множина засновків)

А – припущення

:

B

В .

A

Визначення цього правила таке: «Якщо із засновків і

довільного припущення А випливають два суперечливих висловлювання В і В, то таке припущення повинно бути визнаним як хибне, істинним визнається А».

Зупинимося на розгляді похідних правил висновку ло- гіки висловлювань.

Правило транзитивності імплікації (ТІ) :

Приклад міркування за правилом транзитивності імплі- кації:

Якщо мовний відрізок розповідне речення, то він є ви- словлюванням.

Якщо мовний відрізок є висловлюванням, то він є осмисленим.

Отже, якщо мовний відрізок розповідне речення, то він є осмисленим.

б) Обгрунтування правил висновку

Для подальшого розгляду правил необхідно прийняти деякі домовленості. Аналізуючи правила, природно вини- кає питання, чи можна перевірити надійність цих правил, їх коректність. На рівні семантики це можна зробити шляхом побудови таблиць істинності, шляхом еквівален- тиних перетворень, методом аналітичних таблиць (про що буде сказано пізніше). На рівні синтаксису така перевірка здійснюється через побудову доведення останнього рядка правила.

Розглянемо на прикладі правила транзитивності імплі- кації його семантичне та синтаксичне обгрунтування (на предмет коректності).

Спочатку зупинимося на семантичному обгрунту-

ванні.

Побудова таблиць істинності, еквівалентні перетворення (КНФ) досить громіздкі, тому можна запропонувати такий спосіб.

Відомо, що у правильному висновку між засновками і висновком існує відношення логічного слідування, тобто при істинності засновків висновок повинен бути обов’яз- ково істинним. Виходячи з цього, в правилі ТІ між (А В), (В С) і (А С) існує відношення логічного слідуван- ня, отже, засновки (А В) і (В С) не можуть бути істин- ними, а висновок (А С) – хибним.

Припустимо, що це не так (тобто, що А В і В С – істинні, а А С – хибне).

Тоді А С – хибне при умові А – і, С – х. А у засно- вках: якщо А – і, а С – х, то при будь-якому значенні В кон’юнкція засновків не буде істинною, а це суперечить нашому припущенню.

Отже, засновки у нашому правилі не можуть бути іс- тинними, а висновок – хибним, а це свідчить, що це пра- вило логічно коректне і гарантує правильність відповідних його структурі змістовних міркувань.

Схематично така перевірка коректності правила висновку зображується таким чином:

ix

Зцієї схеми очевидно, що при будь-яких значеннях В наше припущення про логічну некоректність правила від- падає. У такий, можна сказати, досить економний спосіб можна перевірити кожне з правил.

Синтаксичне обгрунтування правила висновку перед-

бачає побудову виведення останнього рядка із засновків. Для цього розгорнемо правило, вставивши між заснов-

ками і висновком проміжні ланки, які в правилі опущені.

Доведення здійснюється таким способом:

1. Виписуємо засновки, що входять до правила.

2. Зліва виписуємо кроки доведення.

3. Справа напроти кожного кроку виписуємо його підставу (це може бути домовленість про введення чер- гового припущення, або певне правило). Праву сторону такого запису називають аналізом доведення.

Здійснимо доведення правила ТІ:

Правило заперечення диз’юнкції (ЗД):

A B .

A B

Відповідно до цього правила із заперечення диз’юнк- ції слідує кон’юнкція заперечень висловлювань, що її складають.

Наведемо приклад міркування, побудованого за прави- лом ЗД:

Неправильно, що він студент або школяр.

Отже, він і не студент, і не школяр.

Побудуємо доведення цього правила:

Правило заперечення кон’юнкції (ЗК):

A B .

A B

Читається правило так: «Із заперечення кон’юнкції

слідує диз’юнкція заперечень висловлювань, що склада- ють кон’юнкцію».

Наприклад:

Неправильно, що дане космічне тіло має ознаки пла- нети і природного супутника.

Отже, дане космічне тіло або не має ознак планети, або не має ознак природного супутника.

Доведення правила:

Правило «modus tollens», або «від заперечення консеквенту до заперечення антецеденту» (МТ):

A B

B

.

A

Наведемо приклад конкретного міркування, що регла- ментується цим правилом:

Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст.

Він не переклав цей текст.

Отже, він не знає англійської мови.

Доведення правила МТ:

A3. А – припущення

4. В – (МП по 1, 3)

Правило простої контрапозиції (ПК):

Наведемо приклад міркування, побудованого за прави- лом простої контрапозиції:

Якщо лист написаний мною, то його зміст повинен бути мені відомим.

Отже, якщо мені невідомий зміст листа, то він на- писаний не мною.

Побудуємо доведення цього правила:

(аналогічно доводиться і друге правило ПК).

Правило складної контрапозиції (ПСК):

Наведемо приклад конкретного міркування за правилом складної контрапозиції:

Якщо іспит з історії є першимі і він профілюючий, то він є вирішальним для абітурієнта-медаліста.

Отже, якщо іспит з історії є першим, але він не ви- рішальний для абітурієнта-медаліста, то він не про- філюючий.

Побудуємо доведення цього правила:

(аналогічно будується доведення правила ІІ).

Правило імпортації (ПІмп):

A (B C) (A B) C .

Наведемо приклад міркування за цим правилом:

Якщо він добре знає англійську мову, то у випадку, якщо приїде англійська делегація, він зможе виконати роль перекладача.

Отже, якщо він добре знає англійську мову і приїде англійська делегація, то він зможе виконати роль пе- рекладача.

Побудуємо доведення цього правила:

Наведемо приклад міркування за цим правилом:

Якщо дана стаття грунтовна за змістом і відповідає тематиці збірника, то її слід публікувати.

Отже, якщо дана стаття грунтовна за змістом, то у випадку, що вона відповідає тематиці збірника, її слід публікувати.

Побудуємо доведення цього правила:

Отже, ми розглянули правила висновку логіки вислов- лювань, які в сукупності є множиною можливих конкрет- них міркувань. Також з’ясували, що перевірка коректності правила висновку можлива шляхом побудови таблиці іс- тинності для формули, що представляє висновок та дове- дення останнього рядка правила висновку.

в) Метод аналітичних таблиць

Окрім цих способів перевірки правила висновку (ми на- голошуємо саме на перевірці правила висновку, а не на ви- сновку, саме тому, що будь-який висновок це є по суті вті- лення конкретного правила висновку, тому перевірка коректності висновку зводиться до перевірки коректності правила висновку) існує ще перевірка шляхом застосуван- ня методу аналітичних таблиць.

Основу методу аналітичних таблиць складає зви- чайне визначення таблиць істинності для пропозицій- них зв’язок, а сама аналітична таблиця будується на-

впаки. Виходимо із того, що значення істинності усього виразу нам відомо, залишається знайти лише значення іс- тинності для елементарних висловлювань, з яких склада- ється цей вираз.

Іншими словами, таблиці називаються аналітичними

тому, що розкладаючи вихідне висловлювання на еле- ментарні висловлювання (на атоми), ми намагаємося знайти набір значень атомів, при яких би вихідне ви- словлювання було хибне.

Визначимо аналітичні правила для логічних зв’язок

У цих правилах зустрічаються символи Т і F. Символ Т позначає логічне значення «істина», а симлол F – логіч-

Риска ( ) у цьому правилі позначає наявність різних альтернатив і означає розгалуження аналітичної таблиці (тобто, при наявності розгалуження вихідний вираз не має прямого наслідку (однієї альтернативи). Отже, кон’юнкція А В – хибна тоді і тільки тоді, коли або А – хибне, або

В – хибне.

Диз’юнкція А В істинна тоді і тільки тоді, коли або

А – істинне, або В – істинне.

2. F A B – «хибна» ≡ FA i FB

Імплікація А В істинна тоді і тільки тоді, коли або А

– хибне, або В – істинне.

Імплікація А В хибна тоді і тільки тоді, коли А –

Еквіваленція А ↔ В істинна тоді і тільки тоді, коли А

– істинне, і В – істинне, або А – хибне і В – хибне.

FB TB

Еквіваленція А ↔ В хибна тоді і тільки тоді, коли А – істинне, а В – хибне, або А – хибне, а В – істинне.

V.1. TA . FA

Заперечення А істинне тоді, коли хибне А.

2. FA .

TA

Заперечення А хибне тоді, коли істинне А.

Перелік аналітичних правил для пропозиційних зв’язок показує, що правила Т , F , F , T , F – це правила без розгалуження, а правила F , T , T , T↔ , F↔ – це пра- вила з розгалуженням.

Розглянемо застосування методу аналітичних таблиць для перевірки коректності висновку у логіці висловлю- вань.

Наприклад, візьмемо складне висловлювання:

(А В) (А В).

Припустимо, що воно хибне. Якщо в результаті встано- влення значення атомів, з яких складається вихідне ви- словлювання, прийдемо до протиріччя, то цим самим буде аргументована коректність висновку, відображеного в цьо- му висловлюванні.

Для побудови аналітичної таблиці необхідно вико- нати такі умови:

1.Нумерацію рядків таблиці розпочинають з 0 (нуля).

2.Наслідки відділяються від припущення горизонта- льною рискою.

3.Наслідки, які отримані із одного з попередніх ви- словлювань, позначають римськими цифрами.

4.Аналітична таблиця складається з гілок. Таблиця вважається замкненою, якщо в ній зустрічається пара висловлювань ТА і FA, а вся аналітична таблиця вва- жається замкненою, коли кожна її гілка замкнена.

Враховуючи ці умови, побудуємо для висловлювання (А В) (А В) аналітичну таблицю:

Спочатку ми застосували правило F до рядка 0 і отри- мали перший крок – І із рядками 1, 2; потім до рядка 1 застосували правило Т і отримали ІІ крок із рядками 3, 4, а до рядка 2 застосували правило F і отримали ІІІ крок із рядками 5,6 і, нарешті, до рядка 6 ІІІ кроку застосували правило F і отримали ІУ крок з рядком 7. Якщо розгля- нути отриману гілку, то можна побачити, що вона замкне- на, оскільки містить у собі ТА і FA (3 і 5 рядки), замкне-

ною є і вся аналітична таблиця, тому що в ній також всі гілки замкнені (в даному випадку одна).

Замкненість аналітичної таблиці позначається знаком

(+) (у нашому прикладі після 7 рядка). Отже, наведене ви- словлювання тотожно істинне, припущення про його хиб- ність відпадає і можна стверджувати, що дане складне ви- словлювання коректне відносно правил висновку логіки висловлювань.

Розглянемо складніший випадок.

Чи слідує з висловлювання А В висловлювання В А:

( А В) | = (В А) ?

Щоб це перевірити, побудуємо аналітичну таблицю для цього висловлювання:

4.FA F

ІІІ. 5. F A 5’.T B T

IV. 6. TA 6’. FB

++

Отримана аналітична таблиця даного висловлювання має дві гілки:

1. {F ( A B) (B A), T ( A B), F (B A),

TB, FA, F A, TA} або {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 рядки }; 2. {F ( A B) (B A), T ( A B), F (B A),

TB, FA, T B, FB} або {0, 1, 2, 3, 4, 5′, 6′ рядки }.

Перша гілка замкнена, оскільки в ній наявні рядки 4 і 6 з висловлюваннями FA i TA. Замкненою є і друга гілка з рядками 3 і 6′ з висловлюваннями ТВ і FB. Отже, вся аналітична таблиця є замкненою.

Якщо висновок логіки висловлювань неправильний, то при побудові аналітичної таблиці отримаємо хоча б одну незамкнену гілку.

Побудуємо аналітичну таблицю висловлювання:

(А В) (А В)

ІІІ. 4.FA 4′.FB 4′′.FA 4′′′. FB

++ + +

Аналітична таблиця цього висловлювання має 4 гілки, дві з яких замкнені 1, 4, а дві ні – 2, 3:

Отже, дане висловлювання не є тавтологією, а це озна- чає, що воно має неправильний висновок.

г) Умовиводи логіки висловлювань у традиційній логіці

Окрім розглянутих правил висновку логіки висловлю- вань у традиційній логіці досліджується низка умовиводів логіки суджень на аналізі яких ми зупинимося.

Традиційна логіка розглядає умовиводи логіки вислов- лювань, засновками яких є комбінації категоричного су- дження з умовним чи розділовим судженням, комбінації тільки умовних суджень і комбінації з умовних і розділо- вих суджень. Зокрема, це такі :

1) умовно-категоричні умовиводи;

2) чисто умовні умовиводи;

3) розділово-категоричні умовиводи;

4) умовно-розділові умовиводи.

Охарактеризуємо кожний із цих видів умовиводів.

У м о в н о - к а т е г о р и ч н и м називається умо- вивід, у якому один засновок – умовне судження, а дру- гий засновок і висновок – категоричні судження.

Існує два різновиди умовно-категоричного умовиводу:

modus ponens і

modus tollens.

Розглянемо «modus ponens»

У перекладі з латинської мови «modus ponens» означає

«від ствердження підстави до ствердження наслідку».

Наприклад:

Якщо гіпотеза підтверджується на практиці, то во- на стає теорією.

Дана гіпотеза підтверджується практикою.

Отже, вона перетворюється в теорію.

Мовою логіки висловлювань структуру цього міркуван- ня можна записати у вигляді правила висновку:

[(p q) p] |= q.

Дане правило широко використовується у сучасній ло- гіці. Справа в тому, що умовивід «від ствердження під-

стави до ствердження наслідку» є зручним засобом по-

шуку доведення для довільної думки. Виявляється, що для того, щоб довести висловлювання q, необхідно знайти ви- словлювання р, яке б не тільки було істинним, а й складе- на із р та q імплікація p q також була істинною. Тільки тоді р виступить достатньою підставою для q і у цьому ви- падку q можна визнати істинним.

Наступний правильний різновид умовно-категоричного умовиводу

«Modus tollens»

У перекладі з латинської мови означає «від заперечен-

ня наслідку до заперечення підстави».

Наприклад:

Якщо у діях підозрюваного є ознаки складу злочину, то порушується кримінальна справа.

Кримінальна справа стосовно громадянина N не пору- шена.

Отже, в діях громадянина N немає ознак складу злочину.

Структуру цього умовиводу можна записати у ви- гляді правила висновку

[(p q) q ] |= p.

Щоб відрізнити правильні умовно-категоричні умовиво- ди від неправильних потрібно співставити структуру конк- ретного умовиводу із структурами стверджувального і за- перечувального модусів умовно-категоричних умовиводів:

Отже, він свідок.

З’ясуємо структуру даного умовиводу:

[(p q) q] p.

Даний вираз не співпадає ні з формулою 1, ні з форму- лою 2. Отже, цей умовивід є неправильним.

ІI. Якщо він студент юридичного факультету, то він вивчає логіку.

Він не є студентом юридичного факультету

Отже, він не вивчає логіку.

Цей умовивід має структуру: [(p q) p] q ,

яка також не відповідає ні формулі 1, ні формулі 2.

Ч и с т о у м о в н и м називається умовивід, у якому засновки і висновок є умовними судженнями.

Наприклад:

Якщо студент здібний, то він має досягнення у нау- ковій роботі.

Якщо студент має досягнення у науковій роботі, то його можна рекомендувати до вступу в аспірантуру.

Отже, якщо студент здібний, то його можна рекоме- ндувати до вступу в аспірантуру.

Логічну структуру цього умовиводу представляє така формула:

[(p q) (q r)] |= (p r).

У логіці висловлювань ця формула є правилом виснов-

ку, яке називається «транзитивністю імплікації»: А В

В С . А С

У практиці міркувань широко застосовується розділово- категоричний умовивід.

Р о з д і л о в о - к а т е г о р и ч н и м умовиводом називається умовивід, у якому один засновок – розді- лове судження, а другий засновок і висновок – катего- ричні судження.

Наприклад:

До Києва із Одеси можна доїхати потягом або авто- бусом.

До Києва із Одеси не можна доїхати автобусом.

Отже, до Києва з Одеси можна доїхати потягом.

Розділово-категоричний силогізм має два правильних різновиди:

–«modus tollendo ponens» і

–«modus ponendo tollens».

«Modus tollendo ponens»

У перекладі з латинської мови означає «заперечуваль-

но-стверджуючий модус».

Наприклад,

Злочин міг скоїти N або М.

N не був причетним до злочину.

Отже, злочин скоїв М.

Структура цього умовиводу така: [(p q) p] |= q.

Очевидно, що тут диз’юнкція береться у з’єднувально- розділовому смислі.

Перевіримо правильність цього умовиводу, побудувавши для виразу, що представляє його логічну структуру, аналі- тичну таблицю:

Аналітична таблиця замкнена, отже даний вираз пред- ставляє логічно коректне правило умовиводу. Перевіримо, чи буде правильним у цьому випадку хід міркування від ствердження до заперечення.

Наприклад:

Злочин міг скоїти N або М. До злочину був причетний N.

Отже, М не скоював злочину.

Логічна структура цього умовиводу така:

[(p q) p] |= q.

Побудуємо аналітичну таблицю для цього випадку:

0.[F (p q) p] q

Аналітична таблиця не замкнена. А це означає, що умо- вивід, логічна структура якого представлена даною форму- лою, є неправильним. Треба мати на увазі, що в заперечу-

вально-стверджуючому розділово-категоричному умо- виводі диз’юнкція вживається у з’єднувально-розділовому смислі.

«Мodus ponendo tollens»

Другим правильним різновидом розділово-категоричного умовиводу є стверджувально-заперечувальний модус, або латинською мовою «modus ponendo tollens».

Наприклад:

Цей студент киянин або іногородній. Цей студент – іногородній.

Отже, цей студент не є мешканцем м. Києва.

Логічна структура цього умовиводу така:

[(p q) q] |= p.

При побудові розділово-категоричних умовиводів не- обхідно дотримуватися таких правил:

1.У стверджувально-заперечувальному модусі1 біль- ший засновок має сполучник «або», який вживається у строго розділовому смислі.

2.У більшому засновку повинні бути перераховані усі альтернативи2. Якщо цього не зробити, то отримаємо хибний засновок, а це означає, що такий умовивід буде не ефективним.

Наприклад:

Студенти бувають вечірньої або заочної форми навчання.

Він не є студентом заочної форми навчання.

Отже, він студент вечірньої форми навчання.

Наступним видом у класі умовиводів логіки суджень є умовно-розділові умовиводи.

У м о в н о - р о з д і л о в и м умовиводом назива- ється умовивід, у якому один із засновків є розділовим судженням, а решта умовними судженнями.

Наприклад:

Якщо ранкові газети повідомлять про результати референдуму, то я ще сьогодні зможу підготуватися до виступу.

Якщо вечірні газети повідомлять про результати ре- ферендуму, то я лише завтра зможу підготуватися до виступу.

Результати референдуму повідомлять або ранкові, або вечірні газети.

Отже, я зможу підготуватися до виступу або сього- дні, або завтра.

Умовно-розділові умовиводи мають ще одну назву – лематичні. Ця назва походить від грецького слова lemma

– припущення. Така назва зумовлена тим, що вона ви-

1Модус – це слово латинського походження, яке означає різновид.

2Альтернатива – член розділового судження.

пливає з тієї характеристики умовиводів, що розглядають різні припущення та їх наслідки.

В залежності від кількості альтернатив у розділо- вому засновку лематичні умовиводи поділяють на:

а) дилеми (дві альтернативи); б) трилеми (три альтернативи);

в) полілеми (чотири і більше альтернатив).

У практиці міркувань найчастіше використовують ди- леми, тому зупинимося на їх аналізі.

За якістю наслідку (заперечувальний або стверджу- вальний) дилеми поділяють на:

конструктивні та

деструктивні.

За складністю наслідку дилеми поділяють на:

прості та

складні.

К о н с т р у к т и в н о ю називається дилема у ви- сновок якої входять наслідки умовних засновків.

Д е с т р у к т и в н о ю називається дилема, висно- вок якої складається із заперечення підстав умовних засновків.

П р о с т о ю називається дилема, висновком якої є наслідок умовного засновку або заперечення підстави умовного засновку.

С к л а д н о ю називається дилема, висновком якої є диз’юнкція наслідків умовних засновків або заперечення підстав умовних засновків. Наведемо приклади.

І. Якщо студент здібний, то він успішно складе сесію. Якщо студент старанний, то він успішно складе сесію.

Студент або здібний, або старанний.

Отже, студент успішно складе сесію.

Маємо просту конструктивну дилему (ПКД):

[(p q) (r q) (p r)] |= q.

П. Якщо N вчинив протиправні дії, то N понесе ма- теріальні збитки.

Якщо N вчинив протиправні дії, то N понесе мора- льні збитки.

N не понесе ні матеріальних , ні моральних збитків.

Отже, він не вчиняв протиправних дій.

Такий вигляд має проста деструктивна дилема (ПДД):

[(p q) (p r) ( q r)] |= p.

Ш. Якщо іспит вступний, то він може впливати на конкурс.

Якщо іспит семестровий, то він може впливати на отримання стипендії.

Іспити бувають вступні або семестрові.

Отже, іспити можуть впливати або на конкурс, або на отримання стипендії.

У складній конструктивній дилемі (СКД) висновком є складне диз’юнктивне судження, альтернативами у якому є наслідки умовних засновків:

[(p q) (r q) ( q s)] |= ( p r).

Отже, складна конструктивна дилема є слабким ствер- дженням яких-небудь суджень (точніше, їх диз’юнкції), а складна деструктивна дилема використовується для слаб- кого їх заперечення. Іншими словами, якщо неможливо прямо довести хибність якого-небудь судження р (тобто, істинність його заперечення р), то можна спробувати до- вести, що істинним є розділове судження, до якого вхо- дить р.

Якщо мати на увазі наведену вище типологію правил висновку логіки висловлювань, то схеми висновку за про-

стою та складною конструктивною дилемами нале- жатимуть до похідних прямих правил:

Стосовно схем висновку простої та складної дестру- ктивної дилем, то їх відносять до похідних непрямих правил: