По суті судження 2, коли його взяти без зовнішньо- го заперечення («неправильно»), еквівалентне судженню

«Деякі мої приятелі не мають вищої освіти» Osp.

При запереченні атрибутивного судження змінюються його кількість і якість. Так, заперечуючи загальне отриму- ємо часткове (і навпаки), а заперечуючи стверджувальне отримуємо заперечувальне (і навпаки).

5. Тлумачення атрибутивних суджень мовою логіки предикатів

У традиційній логіці структура атрибутивних суджень фіксується схемою «Всі S є Р» або символом Asp тощо. Очевидно, що тут поряд з елементами формалізації є фра- гменти природної мови, що спричиняє певні вади тлума- чення структури атрибутивних суджень.

Сучасна логіка знаходить для цього більш ефективні за- соби, а саме мову логіки предикатів.

Мова логіки предикатів (як і будь-яка мова логіки) включає в себе:

1) алфавіт (сукупність вихідних символів: а) нелогіч- них, б) логічних, в) технічних) і

2) правила побудови з елементів алфавіту правильно побудованих формул (ППФ)1.

І. Алфавіт

1.Предметні (індивідні) константи: а, в, с, а1, в1, с1,

а2,в2, с2 ... . Індивідні константи – це власні імена природної мови («Арістотель», «Дніпро», «Юпітер» тощо). При пере-

кладі виразів природної мови на мову логіки предикатів іме- на замінюються предметними константами так, щоб однакові імена відповідали однаковим символам із списку індивідних констант, а різні імена – різним.

2.Предметні (індивідні) змінні: x, y, z, x1, y1, z1, x2, y2,

z2 … .

Якщо предметні константи зв’язуються у відповідних межах із конкретними власними іменами, то предметні змінні можуть замінювати будь-яке ім’я з предметної об-

1 Вирази побудовані у межах логіки предикатів, називають «формулами» то- му, що їх можна ототожнювати, розрізняти, порівнювати лише за зовнішніми ознаками, тобто за формою.

ласті того контексту, який аналізується. Тому предметні змінні використовуються для формалізації атрибутивних суджень з кванторними словами («Всі», «Деякі», «Кожен», «Іноді» тощо).

3. Предметно-функціональні константи : fn, qn, hn,fn1, qn1, hn1, fn2, qn2,, hn2 ... .

Верхній індекс n вказує на місність константи, а ниж- ній – на порядковий номер. В арифметиці до предметних функторів відносяться операції над числами: « √ », (+), sin тощо. У природній мові предметними функторами є слова, які з одними предметами зіставляють інші («столиця», «ріст», «відстані від ... до ...» тощо).

4. Предикаторні константи: Pn, Qn, Rn, Sn, Pn1, Qn1, Rn1, Sn1, Pn2, Qn2, Rn2, Sn2 ... .

Верхній індекс вказує на місткість константи, а ниж- ній – на порядковий номер. Якщо із константи відомо, що предикаторна константа одномісна, то верхній індекс опу- скається. У природній мові предикатори різної місності представлені словами: «електропровідний», «більше», «ро- весник», «держава» тощо.

5. Логічні символи:

а) логічні зв’язки: &, , , ↔ , (або ( — ));

б) кванторні символи:

—квантор загальності – х («для будь-якого»),

—квантор існування – х («існує»).

6. Технічні символи:

— ліва і права дужки, кома.

ІІ. Правила побудови виразів у мові логіки предикатів

а) Дефініція терма

1.Довільна предметна константа є термом.

2.Довільна предметна змінна є термом.

3.Якщо Ф – n-містка предметно-функціональна конс-

танта, а t1, t2, ... tn – терми, то вираз Ф (t1, t2, ... tn) є

термом.

4. Ніщо, крім зазначеного в пунктах 1–3, не є термом у мові логіки предикатів.

Вирази у пунктах 1 та 2 відносяться до простих тер- мів, а вирази, зазначені у пункті 3, – до складних.

Візьмемо вираз f1 (q2 (x, a)). Відповідно до наведеної де- фініції терма встановимо, чи є даний вираз термом, чи ні. f1 (q2 (x, a)) = Ф(t1) згідно з пунктом 3 (тобто, одномісна

предметно-функціональна константа); q2 (x, a) = t1 (тобто є термом);

q2 (x, a) має вид Ф (t1, t2).

Ф відповідає функціональній константі – q2; t1 є x – тобто термом згідно з пунктом 1 визначення терма, а t2 є а, тобто термом згідно з пунктом 3 визначення терма. Ви- ходить, що q2 (t1, t2) є термом згідно з пунктом 3.

Тоді весь вираз: f 1 (q2 (x, a)) є термом.

Можна припустити, що даний терм є формалізацією та- кого фрагмента природної мови: q відповідає двомісному функтору (+); f – одномісному функтору (√ ); а відповідає простому імені «5». У такому випадку вираз f1 (q2 (x,a)) буде формалізацією імені: « √ х + 5».

Якщо візьмемо вираз Р1 (q2 (x, a)), то він не є термом оскільки починається з предикаторної константи.

б) Дефініція формули:

1.Якщо П – n-містка предикаторна константа, а t1, t1

... tn – терми, то вираз П (t1, t2, ... tn) – формула.

2.Якщо А – формула, то А є формулою.

3.Якщо А і В – формули, то (A & B), (A B), (A B),

(A ↔ B) – формули.

4.Якщо А – формула, а х – предметна змінна, то

хА і хА є формулами.

5.Ніщо крім перерахованого в пунктах 1–4 не є фор-

мулами.

Формули, які відповідають пункту 1 дефініції, назива-

ють елементарними або атомарними, а в пунктах 2–4 – складними або молекулярними.

Елементарною формулою, наприклад, буде вираз

Р2 (х, f1 (a)) .

Р2 – двомісна константа, а після неї в дужках знахо- диться два терми х і f1 (а).

А вираз Q1 (x, f1 (a)) не є формулою, оскільки Q1 – од-

номісна предикаторна константа, але після неї стоїть два терми х і f1 (a).

На мову логіки предикатів можна перекласти атри- бутивні судження, в яких:

а) стверджується наявність властивості у окремого предмета;

б) йдеться про існування якогось об’єкта, що задово- льняє деяку умову;

в) стверджується, що деякій умові задовольняє будь- який об’єкт предметної області.

Увипадку а), тобто коли формалізується одиничне ат- рибутивне судження, користуємося формулою П1 (t), де П1

єодномісна предикаторна константа, що відповідає знаку властивості, а t – терм, що відповідає імені предмета. На- приклад, маємо атрибутивні судження: «Тарас Шевченко

– поет». Перекладом його на мову логіки предикатів буде вираз: «Р (а)»; «Батько мого приятеля – лікар» – Q (f

(a)), де f – це одномісна предикаторна константа, що від- повідає предметному функтору «батько», а – терм «мій приятель», а Q – одномісна предикаторна константа, що відповідає властивості «бути лікарем»;

Уситуації б), а саме, коли формалізуються атрибутивні

судження про існування деяких предметів, то використо- вують формулу х А(х), де х – предметна змінна, що про- бігає по області об’єктів, про які йдеться у висловлюванні, а А(х) – формула, яка фіксує, що х задовольняє умову А. Наведемо приклади перекладу цього типу атрибутивних

суджень мовою логіки предикатів:

1. «Хтось винайшов радіо» – х Р(х).

2. «Деякі поети є лауреатами» – х Q(x).

3. «Деякі мої приятелі не мають вищої освіти» –

х F(x).

Треба пам’ятати те, що якщо областю значення для предметної змінної береться множина предметів, які фік- суються предикатором у позиції логічного підмета, то фо- рмула, яка буде перекладом атрибутивного судження мо- вою логіки предикатів буде мати у своєму складі простий предикат виду Р(х) чи Q(x) і т.д.

Це очевидно з наведених вище прикладів: х Р(х), x Q(x), х F(x).

Якщо змінити область значення предметної змінної, а саме вважати її як множину будь-яких об’єктів, то вираз логіки предикатів, як переклад атрибутивного судження, включатиме в себе складний предикат1:

(S (x) P(x)).

1 Це ж стосується формалізації загальностверджувальних і загалшьнозапере- чувальних суджень.

Наприклад, вираз «Деякі річки є судноплавними», його перекладом мовою логіки предикатів буде вираз х М(х), якщо взяти за область значенняпредметної змінної мно- жину річок. А якщо взяти за область значення – множи- ну будь-яких об’єктів, то переклад цього судження матиме вигляд

х (S(x) & P(x))

–читається: «Існує такий х, що має властивість S i властивість Р».

S – це символ загального імені «річка». Фактично за- гальне ім’я «річка» S виділяє в універсумі значень для х, ті, яким може бути притаманна властивість «бути судно-

плавною».

Якщо наявна ситуація в), тобто коли мовою логіки пре-

дикатів перекладаються загальні судження, то користу- ються формулою х А(х). Наприклад, 1. «Будь-яка плане-

та є космічним об’єктом» –

х Р(х), або х (S(x) P(x)) –

(у випадку, коли областю значення х буде не «множина планет», а множина будь-яких об’єктів).

2. «Жоден підозрюваний не має алібі» –

Таким чином, основними виразами логіки предикатів, на які перекладаються атрибутивні судження, є такі:

1.«Київ є столичне місто» – а є Р = Р(а).

2.«Місяць не є планетою» – а не є Р = Р (а).

3.«Будь-який квадрат – геометрична фігура» –

«Будь-який S є Р» = А = Asp = x P(x) = x (S(x) P(x)).

4. «Жоден природний супутник не є планетою» –

«жоден S не є Р» = Е = Esp = x P(x) = x (S(x) P(x)).

5.«Деякі злочини є посадовими» –

І= Isp = xP(x) = x (S(x) & P(x)).

6.«Деякі злочини не є посадовими» –

О= Osp = x P(x) = x(S(x) & P(x)).