Отже, вихідний вираз є загальнозначимим.

Як уже зазначалося, універсальної процедури розв’я- зання для всієї області логіки предикатів не існує. Част- ковою областю логіки предикатів для якої, так би мовити, ця проблема розв’язана, є одномісна логіка предикатів. Тому, звертаючись до розглянутих процедур розв’язання, необхідно мати на увазі цю обставину.

1.Особливості логіки предикатів.

2.Поняття алгебраїчної системи логіки предикатів S4.

3.Структура мови S4.

4.Синтаксис метамови S4.

5.Дефініція терму.

6.Дефініція формули.

7.Поняття «зв’язаної змінної» і «вільної змінної».

8.Поняття конгруентної формули.

9.Структура семантики метамови S4.

10.Універсум розгляду U.

11.Інтерпретаційна функція І.

12.Дефініція інтерпретації предметної константи.

13.Дефініція інтерпретації предикаторної константи.

14.Дефініція інтерпретації предметно-функціональної константи.

15.Поняття моделі.

16.Процедури встановлення значень для формул.

17.Дефініція умов істинності та хибності елементарних формул.

18.Дефініція умов істинності та хибності формул, в яких голо- вним законом є пропозиційні знаки.

19.Дефініція умов істинності та хибності, в яких головним знаком є квантор.

20.Типологія формул в S4 за семантичними ознаками.

21.Поняття логічного закону.

22.Дефініція не загальнозначимої формули.

23.Дефініція виконуваної формули.

24.Дефініція невиконуваної формули.

25.Логічні відношення між формулами в S4.

26.Відношення сумісності за істинністю.

27.Відношення сумісності за хибністю.

РОЗДІЛ ІІ

ЧИСЛЕННЯ ПРЕДИКАТІВ

Відомо, що основним змістом логіки є побудова і аналіз числень. Як у традиційній, так і у сучасній логіці предме- том вивчення є форми правильних міркувань. Існує, щоправ- да, принципова відмінність у підході до числень у тради- ційній і сучасній логіці.

У традиційній логіці числення зводилися, в основному, до емпіричного виділення та опису деяких форм правильних мі- ркувань. У сучасній же логіці числення, або теорія дедукції, здійснюється як теоретична систематизація правильних мір- кувань на основі чітких визначень логічного закону, відно- шення логічного слідування та інших суттєвих відношень між висловлюваннями, які складають логіку відповідної мови.

Виходячи із досвіду розгляду числень логіки висловлю- вань, зазначимо, що основою побудови теорії дедукції у вигляді логічних числень є наявність зв’язку між закона- ми та правилами висновку. Саме цей зв’язок забезпечує можливість обгрунтування одних законів і правил за до- помогою інших.

При побудові числень необхідно виділити:

а) оптимальну кількість законів і правил висновку; б) дефініцію висновку і доведення.

Важливим при цьому є те, що при коректній побудові числення формула А може бути доведена |− А тільки у то- му випадку, коли вона є тавтологією |= А, а вивідність де- якої формули В із множини законів Γ |− В матиме місце лише тоді, коли В є логічним наслідком із Γ . Якщо це так, то числення є несуперечливим.

Побудова логічних числень переслідує фактично дві мети.

По-перше, власне теоретичну для самої логіки, оскі- льки у процесі і в результаті побудови числень виявля- ються зв’язки між самими законами, правилами висно-

ра по предметній змінній у, а формула F(y), отримана із F(x), заміною всіх вільних входжень х на у.

Метабукви А, В, С у записі аксіомних схем представля- ють будь-яку формулу логіки предикатів.

Наприклад, аксіому 1 можна записати мовою логіки предикатів таким чином:

Р(х) (Q(x) P(x)) тощо.

До правил висновку S5 відноситься правило заключен- ня, або правило «модус поненс», яке застосовується і в S2:

«Якщо G і G Н – вивідні формули, Н – теж вивідна

формула».

Окрім цього правила тут застосовуються правила введення і усунення кванторів, на яких ми зараз і зупинимося.

Але перш ніж сформулювати ці правила, дамо деякі по- яснення. Введемо поняття «правильної підстановки».

Під правильною підстановкою розуміють таку під-

становку, у результаті якої із істинних формул отри- мують тільки істинні формули.

Щоб досягти цієї мети, необхідно дотримуватися таких вимог:

а) вираз, який підставляють, повинен належати до тієї самої предметної області, на якій визначена змінна х.

Наприклад, не можна у вираз «Існує х, який є ровесни-

ком у» замість змінної у підставляти ім’я предмета із об- ласті хімічних елементів;

б) підстановка значень замість змінної х можлива лише там, де вона вільна.

Неможливо, наприклад, у виразі «Для будь-якого х, як- що х – планета, то х має природний супутник» зв’язану змінну х замінити іменем конкретної планети. Порушення цієї вимоги веде до нісенітниці. Для прикладу замість х візьмемо ім’я «Юпітер». Отримаємо вираз «Для будь-якого Юпітера», який не має смислу;

в) підстановка деякого значення замість вільної змін- ної х здійснюється скрізь, де зустрічається змінна х у даному виразі;

г) в результаті підстановки жодна вільна змінна не повинна виявитися зв’язаною1.

1 Тобто у вираз А з вільною змінною γ не можна підставляти вираз α з вільною змінною ν , якщо в А ν є зв’язаною змінною. І якщо вираз α підставляється замість вільної змінної γ , то цей факт записується у вигляді виразу: А (γ / α ).

Пояснимо це на прикладах.

Нехай вираз x R(x,y) означає фразу «Існує ціле число

х, яке не дорівнює довільному числу у».

Це висловлювання буде залишатися істинним при будь- якій підстановці, окрім випадку, коли замість змінної у підставимо зв’язану предметну змінну х:

x R(x, x).

Отримаємо недоречне висловлювання. «Існує таке ціле число х, яке не дорівнює самому собі».

Або ж візьмемо цю формулу, але R буде представляти двомісний предикатор «батько», а х і у змінні, які визна- чені на області людей. Формула х R(x,y) буде представля- ти істинне висловлювання до тих пір, поки замість вільної змінної у не підставимо зв’язану змінну х. Така підстанов- ка приводить до недоречного висловлювання: «Існує люди-

на, яка є батьком самого себе».

Після цих зауважень перейдемо до формулювання пра- вил введення і усунення кванторів.

Правило усунення квантора загальності (У ):

γ F .

F(γ / α )

Буквально це правило означає, що якщо всі предмети універсуму міркування мають певну ознаку, то з цього можна зробити висновок, що будь-який довільний або ви- значений предмет даної області має цю ознаку.

Правило введення квантора загальності (В ):

«Якщо у формулі В(х) є вільні входження предметної змінної х, а формула А не містить вільних входжень х, то із формули А В(х) вивідною є формула А х В(х)».

А В(х) |− А х В(х)

або

Суть цього правила полягає в тому, що якщо із деяких засновків і додаткових припущень А із зв’язаною змінною

х виводиться пропозиційна функція (предикат) В(х), то із А виводиться х В(х).

Іншими словами, якщо в процесі виведення отримує-

мо твердження про те, що довільний предмет із якоїсь області має певну ознаку, то можна стверджувати, що всі предмети цієї області мають цю ознаку.

Зауважимо, що правило (В ) застосовується лише в то- му випадку, коли х в А є зв’язаною змінною. У тому випа- дку, коли х не зв’язана в А, то В(х), будучи виведеною із А, перетвориться в істинне висловлювання лише для тих зна- чень х, для яких А – істинне. Однак такою властивістю можуть володіти не всі значення змінної х і пропозиційна функція В(х) не буде перетворюватися в істинне висловлю- вання для довільного значення змінної х. У цьому випадку висловлювання х В(х) виявиться хибним.

Правило введення квантора існування (В ):

Із цього правила випливає, якщо будь-який довільно взятий або визначений предмет має якусь ознаку, то це означає, що існує, в крайньому разі, один предмет, який має цю ознаку.

Правило усунення квантора існування (У ):

γ F

F(γ / α ) .

Із цього правила випливає, що із істинності екзістен- ційного висловлювання γ F слідує істинність висловлю- вання F(α ), яке є результатом підстановки постійної х за- мість вільної змінної γ .

Правила (У ) і (В ) є сильнішими порівняно з прави- лами (В ) і (У ), оскільки в їх основі лежить відношення логічного слідування. Тобто, перехід від формули γ F до

F(γ/α) виправданий наявністю логічного слідування γ F |= F(γ/α) , і при переході від F(γ/α) до γ F має місце логічне

слідування:

F(γ/α) |= х F.

слідовності Вi (і = 1, ..., n.) є або аксіомою, або отрима- ною за яким-небудь із правил висновку з попередніх фо-

рмул». При цьому число n називається довжиною дове- дення.

Дефініція доказової формули.

«Формула В у численні предикатів називається дока- зовою, або теоремою, якщо для неї існує доведення».

Зауважимо, що множина всіх доказових формул у чис- ленні предикатів не розшириться, якщо при побудові дове- дення ми будемо використовувати не тільки аксіоми, а й будь-які доказові формули. Врахування цього факту часто дозволяє значно спрощувати доведення формул. Цій же меті слугують багато допоміжних правил висновку.

Побудуємо доведення формул логіки предикатів.

П. |− х А(х) х А(х)

Доведення.

Поняття доведення в аксіоматичному численні предика- тів можна розширити за рахунок введення поняття вис- новку.

Дефініція висновку в S5.

«Висновком в S5 називається послідовність формул В1, В2...,Вn кожна з яких є або аксіомою, або припущен- ням (гіпотезою), або виведена із попередніх формул за правилами висновку».

Отже при побудові висновку в S5 використовуються, по- ряд із аксіомами, гіпотези (припущення). Це вносить пев- ну своєрідність в отримання наслідку таким способом.

Побудуємо висновок формули В х Р(х) із формули

у (В Р(у)).