Б. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ

Проаналізована у першій частині класична логіка ви- словлювань є досить специфічною логічною теорією. Засо- бами цієї логічної теорії можна виділити досить вузьку множину тавтологій. В її рамках обгрунтовується прави- льність досить обмеженої групи дедуктивних міркувань.

Основною причиною такої ситуації є недостатньо вираз- ні можливості логіки висловлювань. Відомо, що розв’язу- ючи у рамках логіки висловлювань питання про логічну істинність висловлювань, правильність чи неправильність міркувань, відволікаються від внутрішньої структури про- стих висловлювань, замінюючи їх пропозиційними змін- ними. Але нерідко виникає ситуація, коли логічну істин- ність висловлювань, правильність міркувань неможливо дослідити без урахування внутрішньої структури простих висловлювань.

Наприклад: «Будь-який підручник є книгою. Отже, де-

які книги є підручниками». Правильність такого міркуван- ня залежить не тільки від зв’язків між висловлюваннями, а й від внутрішньої структури самих висловлювань.

Ефективний аналіз висловлювань і міркувань такого типу потребує використання мов з більш виразними мож- ливостями. Такою мовою є мова класичної логіки преди- катів.

(для зручності будемо використовувати предикатні симво- ли P, Q, R, S і при необхідності – верхні індекси для вка- зівки місткості);

г) знаки предметних функцій (предметні функтори рі-

зних місткостей):

f11, f21, ...

f12 , f22 , ...

............…..

............…..

f1n , f2n , ... ;

д) логічні терміни: , , , , , , ;

е) технічні знаки: /,/; / (; ) / – кома, ліва і права ду- жки.

Дефініція терму:

1.Будь-яка предметна змінна і предметна констан- та є термом;

2.Якщо t1, t2, ..., tn є терми і Ф є n-місний функтор, то Ф (t1, t2, ... tn) також є термом.

3.Ніщо, окрім вказаного в пунктах 1 і 2, не є термом.

Дефініція формули:

1. Якщо t1, t2, ..., tn є терми і Π – n-містка предика- торна змінна, то Π (t1, t2, ..., tn ) є формулою.

2. Якщо А і В – формули, то A B, A В, А В, А В, А – також формули.

3.Якщо х – предметна змінна і А – формула, то

х А і х А є формулами.

4.Ніщо, окрім вказаного в пунктах 1–3, не є форму- лами.

У дефініціях терму і формули використовують сим- воли t1, t2,..., tn, Ф, Π , А, В, х. Це символи метамови, які є синтаксичними змінними, що мають значеннями вирази відповідних категорій об’єктної мови. Формули А і В, що зустрічаються в дефініції формули, називають підформу-

лами відповідних формул.

Вважається, що введені визначення вихідного символу,

терму і формули є ефективними або рекурсивними.

Під рекурсивністю поняття розуміють, що існує чі-

ткий спосіб, за допомогою якого завжди можна встано- вити, чи є даний символ вихідним, чи термом, чи фор- мулою.

Введемо поняття «зв’язаної змінної» і «вільної змінної».

Індивідна змінна, яка входить до області дії кванто- ра по цій змінній, зв’язується цим квантором. Таке входження називається зв’язаним.

Змінна, яка не входить у дію відповідного квантора, називається вільною.

Одна і та сама змінна в конкретній формулі може мати зв’язане і вільне входження.

Наприклад:

x (P(x) Q(y)) z (R(x,z) Q(y)).

Справжніми змінними є тільки вільні змінні.

Зв’язані змінні називаються фіктивними змінними.

У загальному розумінні змінна – це те, замість чого можна підставити одне із його значень і отримати осмис- лене висловлювання. Вільні змінні задовольняють цю умо- ву, а зв’язані – ні.

Наприклад, якщо а є одним із значень змінної х і Р(х) має смисл, то Р(а) також матиме смисл. За цих умов і х Р(х) має смисл, а вираз х Р(а) смислу не має. Цим самим підкреслюється фіктивний характер входження х до фор- мули х Р(х) і у Р(у), вони означають одне і те саме: «Всі х мають властивість Р», їх різниця полягає у фіктивних змінних. Тобто, вони по-різному виражають одне й те саме висловлювання. Такі формули називають конгруентними (подібними).

Виходячи з цього, можна сформулювати правило пере-

йменування зв’язаних змінних:

«Усі зв’язані входження змінної х до формули можна замінити входженням іншої змінної, при цьому отри- маємо формулу, конгруентну вихідній».

Наприклад, маємо формулу:

Р(х) х Р(х).

Замінимо в ній зв’язану індивідну змінну х на індивід- ну змінну у. Отримаємо формулу, яка буде конгруентна даній:

Р(х) у Р(у).

Якщо формула або терм не мають вільних змінних, то вони відповідно називаються «замкненою форму- лою» і «замкненим термом».

Зауважимо, що S4 є мовою першопорядкової логіки предикатів. Суть цієї назви полягає в тому, що в даній мові дозволяється зв’язувати квантором лише предметні змінні.

Систему S4 можна розширити за рахунок введення предметно-функціональних і предикаторних змінних і до- зволу їх квантифікувати. Тоді матимемо мову логіки пре- дикатів більш високого гатунку.

Наприклад, логічною формою висловлювання «Деякі риси вчення Платона притаманні вченню Арістотеля»

буде –

Р (Р(а) P(в)),

де Р – предикаторна змінна, що пробігає по множині вла- стивостей, а предметним константам а і в відповідають імена «Платон» і «Арістотель».

Мову логіки предикатів першого порядку можна моди- фікувати іншим чином. Запишемо в списку нелогічних символів лише предметні змінні. Замість предметних конс- тант введемо конкретні імена, замість предметно- функціональних констант – предметні функтори, замість предикаторних констант – предикатори природної мови. Перетворення термів і формул зберігається з тією лише рі- зницею, що там, де раніше йшлося про параметри відпові- дних видів, тепер маються на увазі нелогічні терміни при- родної мови. Отримана в результаті такої перебудови мова називається прикладною першопорядковою мовою логіки предикатів.

Для мови логіки предикатів характерним є префіксне вживання предметно-функціональних символів у складних термах і предикаторних символів у атомарних формулах:

(Фn (t1, t2,..., tn), Пn (t1, t2,... tn)).

У природній мові префіксне вживання предметних фун- кторів і предикаторів зустрічається рідко. Тому прикладна мова логіки предикатів може бути наближена до природної мови за рахунок відмови від обов’язкового префіксного ви- користання предметно-функціональних і предикаторних символів.

ції, яка називається інтерпретаційна функція. Познача- ється вона символом I.

Роль функції І полягає в співставленні кожній нелогі- чній константі деякого об’єкта, який заданий на обла- сті інтерпретації U. Причому константам різного ви- ду повинні співставлятися об’єкти різних типів.

Будь-яка константа в S4 повинна мати той самий тип значення, що і вираз відповідної категорії природної мови. Іншими словами, функція І задається таким чином, що значення предметних констант виявляється однотипним зі значенням імен, значення предметно-функціональних кон- стант – зі значеннями предметних функторів, значення предикаторних констант – зі значенням предикаторів.

Оскільки предметні константи є параметрами імен, а значеннями імен є окремі предмети, то предметним конс- тантам в якості значень приписуються індивіди, але не будь-які, а ті, що містяться в множині U.

Наприклад, якщо U – множина космічних об’єктів, то функція І може приписати в якості значення предметній константі а такий індивід, як «Марс», а константі в – «Венера» або який-небудь інший індивід.

Дефініція інтерпретації предметної константи. «Функція І співставляє кожній предметній константі довільний елемент множини U, тобто І(k) U, (де k – предметна константа, – знак належності до мно-

жини)».

Як зазначалося вище, предикаторні константи є пара- метрами предикаторів природної мови. Звідси:

а) одномісній предикаторній константі функція І співставляє довільну множину (можливо порожню) еле- ментів універсуму U. Інакше кажучи, значеннями од- номісної предикаторної константи є деяка підмножина множини U;

б) двомісній предикаторній константі функція І спі- всталяє довільну множину пар, які складаються із еле- ментів U. Виходить, що значенням двомісної предика- торної константи при інтерпретації І є довільна підмножина (можливо порожня) множини U;

в) трьохмісній предикаторній константі функція І співставляє трійки предметів із множини U. Тобто, значенням такої константи є довільна підмножина множини всіх трійок, складених із елементів U.

ній константі Фn інтерпретаційна функція І співстав- ляє довільну n-містку функцію, аргументами і значенням якої є елементи множини U, тобто І (Фn) є n-містка операція на універсумі U».

Опис процедури інтерпретації нелогічних констант по- казує, що універсум розгляду U і функції І, яка співстав- ляє кожній константі значення у відповідності із вище сформульованими правилами.

Пару <U,I>, яка задає припустиму в S4 інтерпретацію нелогічних констант, називають моделлю.

Дефініція моделі.

«Моделлю називається будь-яка пара <U,I>, така, що U – непорожня множина, а І – функція, що задоволь- няє таким умовам:

1. I (k) U. 2. I (Пn) Un.

3. I (Фn) є n-місстка операція, яка задана на U (де k – довільна предметна константа, П – довільна n-містка предикаторна константа, Ф – довільна n-містка пред- метно-функціональна константа».

Розглянемо тепер приписування значень предметним змінним. Значення для предметних змінних знаходять теж в U. Кожній предметній змінній в якості значення припи- сується довільний елемент множини U. Слід мати на увазі, що конкретною моделлю <U,I> можна пов’язати множину приписування значень предметним змінним. Це означає можливість перебирання значень змінних при фіксованій інтерпретації констант.

Можливими значеннями для термів є індивіди із U, а можливими значеннями формул є такі об’єкти, як «істи-

на» і «хиба». Тобто, терми є аналогами імен, а формули

є аналогами висловлювань.

Продемонструємо процес встановлення значення довіль- ного терму t в деякій моделі <U,I> при деякому припису- ванні значень предметним змінним ϕ . Будемо вживати за- пис «|t|» як скорочення для виразу «значення t моделі

<U,I> при приписуванні ϕ ».

Згідно з наведеною дефініцією терму – t є: 1) деякою предметною константою k або 2) деякою предметною змінною α або

3) виразом виду – Ф(t1, t2,..., tn).

Дамо дефініції правил встановлення значень для ко-

жного випадку.

(Df1). Якщо терм t є предметною константою k, то його значення в моделі <U,I> при приписуванні ϕ є той

індивід, який І співставляє константі k:

| k | = I (k).

(Df2). Якщо терм t є предметна змінна α , то його значення в <U,I> при приписуванні ϕ є той індивід, який приписується змінній α за допомогою ϕ :

| α | = ϕ (α)

(Df3). Якщо t є складним термом Фn (t1, t2,..., tn), то для того, щоб встановити його значення в моделі <U,I> при приписуванні ϕ , необхідно:

1.Виділити операцію, яку І співставляє Фn, тобто знайти І (Фn).

2.Знайти значення термів t1, t2,..., tn в тій же моделі

іпри тому самому приписуванні, тобто знайти | t1 |,

| t2 |,..., | tn |.

3. Застосувати операцію І (Фn) до аргументів | t1 |, | t2|,...,| tn |. Результат застосування даної операції до вказаних об’єктів і є значення терму Фn (t1, t2,..., tn) в моделі <U,I> при приписуванні ϕ .

Це записується так :

| Фn (t1, t2,..., tn)| = [ I (Фn) ] (|t1 |, |t2 |,..., |tn |)

Проілюструємо вищезазначене на прикладі.

За U візьмемо множину цілих додатніх чисел. Функція І співставляє:

1) предметній константі а число 3;

2) одномісній предметно-функціональній константі f – операцію піднесення до другого степені;

3) двомісній предметно-функціональній константі q – операцію множення.

Нехай предметній змінній у приписується значення 2, тобто ϕ (у) = 2. Тепер визначимо, якими значеннями в моде- лі <U,I> і при вказаному приписуванні ϕ володіють терми:

1.– а

2.– у

3.– f (a)

4.– q (y,a)