5. Обсяг поняття. Елементи теорії множин

Зупинимося на другому елементові логічної структури поняття, на обсязі поняття.

О б с я г о м поняття називається множина пред- метів, кожен з яких є носієм ознак, що складають зміст поняття.

Наприклад, до обсягу поняття «столиця» входять предмети: «Київ», «Варшава», «Париж». Але до обсягу цього поняття не ввійдуть предмети: «Харків», «Краків», «Нью-Йорк» тощо, тому що жоден з цих предметів не є но-

сієм ознаки «бути столичним містом».

Як ви звернули увагу, у самому визначенні обсягу по- няття фігурує термін «множина». Справа у тому, що обся- гом будь-якого поняття є деяка множина, а тому це дає можливість вивчити природу обсягу поняття, змоделювати його структурні, функціональні особливості на такому об’єкті, як множина. Тобто, надалі для нас обсягом понят- тя буде множина і ми будемо з нею поводитися як обсягом конкретних понять. Така точка зору зумовлює необхідність визначити такий об’єкт, як множина, і охарактеризувати основні її ознаки.

М н о ж и н о ю називається будь-яка сукупність ви- значених і розрізнюваних між собою об’єктів, мислимих як єдине ціле. Множина – це абстракція, в якій кожний предмет, що входить до неї, розглядається лише з точки зору тієї ознаки, яка дозволила включити його до свого складу. Тому предмети, що складають множину, не розріз- нювані між собою (їм приписуються одні й ті самі ознаки).

Наприклад, множина книг, множина держав, множина рослин тощо. Для кожного із предметів, що входять у пе- рераховані множини, характерним є те, що для них усіх притаманні ознаки, на основі яких утворені ці множини:

«бути книгою», «бути державою», «бути рослиною».

Можна сказати, що предмети, які входять до множини, розрізняються між собою. Але це розрізнення один від од- ного відбувається не за властивостями і відношеннями, а за їх іменами. Так, у множині держав кожний із предметів як носій ознаки «бути державою» не відрізняється від ін- шого, але відрізняється як індивідуальність, як носій вла-

сного імені («Україна», «Франція», «Аргентина» тощо).

Характеристичною називається властивість, яка на- лежить будь-якому елементу даної множини, і не на- лежить жодному предмету, що не входить до неї. За-

писується це так:

М= {х / А(х)}

–«множина усіх «х», що мають властивість «А». Спеціально необхідно виділити універсальну множину,

тобто множину, яка складається із усіх елементів до- сліджуваної предметної області. Позначається універса-

льна множина буквою «U», а графічно зображується мно- жиною точок у середині прямокутника:

. . . . . . . . . .

U . . . . . . . . . . . .

Окрім універсальної множини виділяють порожню

множину, тобто множину, яка не містить жодного елемента (наприклад, «дерево, яке проводить електрич- ний струм», «метал, який легший повітря» тощо) . По-

значається порожня множина символом: .

Будь-яку частину множини називають підмножиною.

Якщо універсальну множину задати характеристичною властивістю Q:

U = {х / Q(х)},

то множини А, В, С ..., що є частинами універсальної множини U, визначаються властивостями відповідно:

Q(а), Q(в), Q(с), ... .

Тоді підмножину «А» визначаємо:

А=Df {х / х U i Qа (х)}

–читається: «А» за визначення є множиною усіх тих і тільки тих «х», які належать до «U» і мають властивість

Q(a)». Наприклад, якщо «U» – множина всіх геометрич- них фігур, «Q(a)» – «мати при перетині діагоналей прямі кути», то «А» – множина квадратів.

Якщо властивості, якими задані деяка множина і її підмножини співпадають, то ці множини будуть рівні.

У цьому випадку говорять, що множина є частиною самої себе, або повною частиною. А у тому випадку, якщо влас-

тивість, якою задається деяка підмножина суперечить властивості, за допомогою якої задана сама множина, то така підмножина буде порожньою. Тому порожня підмножина є частиною будь-якої множини, її ще назива-

ють «порожньою частиною».

Повна і порожня частини називаються невласними підмножинами. Решта підмножин є власними.

За формулою 2n можна вирахувати кількість під- множин будь-якої множини (2 вказує на кількість не- власних підмножин: саму множину, як частину самої себе; і порожню множину ), а n – число елементів, що входить у множину. Наприклад, маємо множину «А» із трьох елементів {1, 2, 3}. Застосуємо формулу 2n для ви- значення кількості підмножин цієї множини: 23 = 8. За- пишемо всі підмножини множини «А»:

{{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, }.

Між множинами існує відношення включення. Множина «А» включена у множину «В» тоді і тільки тоді, коли кож- ний елемент множини «А» є елементом множини «В». По- значається відношення включення символом « ». Запису- ється факт включення «А» у «В» таким чином: «А В». При цьому «А» називається підмножиною, а «В» – над-

множиною.

Відношення включення буває двох видів:

а) включення в широкому смислі, і б) включення у вузькому смислі.

«А» включається у «В» в широкому смислі тоді і тіль- ки тоді, коли «А» включається у «В» і не виключено, що «А = В». Ця ситуація записується так:

«А В».

«А» включається у «В» в вузькому смислі, або суворо, тоді і тільки тоді, коли «А ≠ В», (тобто у «В» існують елементи, які не належать «А»). Записується це так: «А В».

Як уже зазначалося, зміст поняття відображає власти- вості предметів або відношення між ними. Коли предмет позначити через «х», а його властивість через «Q», то об- сягом поняття буде множина, кожний елемент якої, буду- чи підставлений на місце «х» у формулі «Q(х)», даватиме істинне судження.

Наприклад, нехай у формулі «Q(х)» Q – представляє властивість «бути планетою», тоді замість «х» можна підставити імена предметів: «Земля», «Марс», «Юпітер» тощо, і при цьому отримаємо істинні судження («Земля

–планета», «Марс – планета», «Юпітер – планета» тощо).

Треба зауважити, що вираз «Q(х)» близький за смислом до виразу «х Q». Так, коли говорять про властивість «бути планетою», мають на увазі множину предметів, кожному з яких притаманна ця властивість:

хQ ≡ Q (х)

–«х є елементом множини Q тоді і тільки тоді, коли х має властивість Q». А оскільки обсяг поняття склада- ють тільки ті предмети, яким належить ознака «Q(х)», то справедливим буде твердження:

х (х Q) ≡ А(х)

–«кожний предмет такий, що коли він є елементом обсягу поняття, то йому належить ознака, що складає зміст цього поняття».

Якщо врахувати все це і звернутися до понятійної фун- кції, то стає очевидним, що обсягом поняття є значення понятійної функції:

Аргументами понятійної функції будуть істинні вислов- лювання: Q(a), Q(в), ... Q(n), а значенням – область істин- ності предикату «Q(х)», або обсяг поняття. Тоді обсяг, як значення понятійної функції, можна записати у вигляді формули: W х Q(х), де W – перевернуте М – оператор утворення множини.

Відповідно синтаксис поняття можна зафіксувати так:

–х Q(х) – об’єкт думки в понятті;

–Q(х) – зміст поняття;

–W х Q(х) – обсяг поняття.