Якщо ми маємо формулу (( p q) (p (r &s ))), то

засобами даної мови її можна записати – CNEpqApKrNs. Цей запис був застосований Я.Лукасевичем при дослі-

дженні арістотелівської силогістики.

Отже, ми розглянули синтаксис метамови S1 (Sin ML). Тепер проаналізуємо семантику метамови в S1 (Sem ML).

2. Семантика логічних символів

При характеристиці структуру системи S1, зазначалося, що семантика метамови S1 представлена правилами ін-

терпретації. Термін «інтерпретація» походить від ла-

тинського слова interpretatio, що у перекладі означає роз’яснення, тлумачення.

У логіці під інтерпретацією розуміють приписуван- ня деякого змістовного смислу, значення символам і формулам формальної системи.

Завдяки цьому формальна система перетворюється в мо- ву, що описує відповідну предметну область. Сама ця предметна область і види значень, що приписуються сим- волам і формулам, також називається інтерпретацією.

За допомогою правил утворення (ПУ) ми здійснили син- таксичну побудову формальної системи, яка є своєрідною грою з символами, коли можна комбінувати символи відповідно до правил, з’єднувати їх, роз’єднувати тощо. Для того, щоб система набула смислу, стала мовою, описом певних об’єктів, властивостей і відношень між ними, необ- хідно надати їй інтерпретацію.

До правил інтерпретації Sem ML в S1 відносяться два правила:

1) правило інтерпретації пропозиційних змінних;

2) правила інтерпретації пропозиційних зв’язок. Правило інтерпретації пропозиційних змінних поля-

гає в тому, що кожна пропозиційна змінна може мати одне із двох значень: або «істину» («і»), або «хибу» («х»),

але не те і інше одночасно. Фактично правило інтерпре- тації пропозиційних змінних є функцією приписування окремій пропозиційній змінній одного з двох логічних об’єктів: «істина» або «хиба».

Правилами інтерпретації пропозиційних зв’язок є таблиці істинності.

Таблиця істинності – це такий вид таблиць, за до-

помогою якого встановлюється істинністне значення складного висловлювання при даних значеннях простих висловлювань, що входять до його складу.

Таблиці істинності є визначенням пропозиційних зв’я- зок і мають такий вигляд:

Після того, як ми визначили табличним методом зна- чення логічних сполучників, можна встановлювати зна- чення будь-якого складного висловлювання.

Проілюструємо це на прикладах.

Маємо формулу: (p q) q .

Відомо, що антецедент цієї формули (p q) відповідає значенню «і», а консеквент – q – «х».

Відповідно до таблиці істинності для імплікації уся формула матиме значення – «х».

Щоб побудувати таблицю істинності для довільної формули, необхідно виконати такі дії:

1) скласти без повторів список пропозиційних змін- них, що входять до складу формули;

2) кожна пропозиційна змінна розпочинає новий сто- впчик таблиці;

3) для кожної підформули у тій послідовності, в якій вони входять до складу формули, будується відповідний стовпчик таблиці;

4) кількість рядків у таблиці істинності обчислю- ється за формулою 2n (де 2 означає кількість логічних значень, які приписуються пропозиційним змінним «іс- тину» або «хибу», а n – кількість пропозиційних змін- них, що входять до складу формули). Кожен набір зна- чень повинен відрізнятися від інших;

5) визначається головний логічний сполучник у фор- мулі;

6) останній стовпчик таблиці істинності будується для головного логічного сполучника, який відповідає значенню всієї формули.

Побудуємо таблицю істинності для формули:

Із цієї таблиці очевидно, що дана формула істинна для семи наборів логічних значень пропозиційних змінних і хибна для решти. Таким способом можна обчислити логіч- не значення для формули будь-якої складності.

3. Типологія формул за семантичними ознаками

За синтаксичними ознаками всю множину правильно побудованих формул (ППФ) в S1 поділяють на прості

(атомарні) і складні (молекулярні).

За семантичними ознаками ППФ в S1 поділяють на:

тотожно-істинні (або тавтології, або логічні тотож- ності, або логічні закони, або загальнозначущі формули);

тотожно-хибні (або протиріччя, або не загально- значущі формули);

виконувані формули.