2.Темпоральна логіка

Те м п о р а л ь н о ю, або часовою, логікою назива- ють розділ модальної логіки, який досліджує природу, ознаки, логічні зв’язки часових висловлювань.

Дамо визначення часового висловлювання.

Ч а с о в и м висловлюванням називається вислов- лювання, в якому часовий параметр включається до його логічної форми.

Тобто до складу темпорального висловлювання входять модальності P, F, H, G (відповідно «було так, що …», «бу-

де так, що …», «завжди було так, що …», «завжди буде так, що …»).

Темпоральна логіка як самостійний розділ починає формуватися в ХХ ст. Фундаторами темпоральної логіки є

А.Прайор, Г.Х. фон Врігт, М.Решер, Х. Укварт та інші.

Але перші дослідження в галузі темпоральної логіки зна-

ходимо в часи античності у Арістотеля, у середньовіччі

уДіодора Кроноса, У.Оккама, Ж.Бурідана, Альберта Саксонського.

Темпоральна логіка розробляє апарат, за допомогою якого можна було б більш адекватно дослідити міркування про предмети і явища, які залежні від часу. Звідси і поділ часових логік за часовими рядами. Часові ряди незалежні

один від одного, вони не зводяться один до одного, вони не повторюють один одного, нарешті, вони не перети-

наються один з одним. Завдяки цьому часові ряди охоп- люють, характеризують речі, явища, події, які відбували- ся, відбуваються і будуть відбуватися у світі. Чи це буде світ описуваний гуманітарними науками, чи – природни- чими.

Таких рядів існує два.

Один з них позначають буквою А, другий – В.

Ряд А охоплює часовий простір з оцінками «буде», «було», «завжди буде», «завжди було».

Ряд В відображає часовий простір з оцінками «рані- ше», «пізніше», «одночасно».

Той розділ темпоральної логіки, який описує ряд А, називають А-логіка, а той розділ темпоральної логіки, який описує ряд В – часовою В-логікою.

а) Мова темпоральної логіки висловлювань

Мова темпоральної логіки висловлювань складається із засобів мови класичної логіки висловлювань і доданих до них знаків темпоральних модальностей.

Алфавіт

1. Пропозиційні змінні для позначення дескриптив- них висловлювань:

p, q, r, …

2.Пропозиційні зв’язки (константи): , , , , .

3.Знаки темпоральних модальностей:

Р – «було так, що …» F – «буде так, що …»

H – «завжди було так, що …»

G – «зажди буде так, що …»

4. технічні знаки, якими є ліва та права дужки, кома, кома з крапкою, двокрапка, тире: (.),; : –

Дефініція формули:

1.Будь-яка пропозиційна змінна – формула.

2.Якщо А і В формули, то А, А В, А В, А В,

АВ, PА, FА, HА, GА – формули.

3.Ніщо, крім вказаного в пунктах 1, 2 дефініції, не є формулою.

Наведена дефініція є ефективною.

Так, вирази Hр р, р Fр, HFр р, H(р q) (Hр

Hq) є формулами, а вирази р H F, Pq , рH р фор-

мулами не будуть.

Використовуючи мову темпоральної пропозиційної логі- ки, запишемо

Основні закони часової логіки

1. Gр Fр

(«Якщо після зими завжди наступатиме весна то, так воно і буде».)

2. Hр Pр

(«Якщо завжди гіпотеза, яка підтверджувалася практи- чно, перетворювалася в теорію, то так воно і було».)

3. (Fр F р)

(«Невірно, що буде ясна погода і хмарна».)

4. (Pр P р)

(«Невірно, що вирок був обгрунтованим і необгрунтова- ним».)

5. FFр Fр

(«Якщо буде, що буде позитивний результат, то він бу- де».)

6. H Gр р

7. FPр ≡ р Fр Pр

(«Буде так, що був успіх «київського Динамо», тільки якщо він є, або буде, або уже був».)

8. HGр ≡ р Hр Gр

(«Завжди було, що завжди в цю пору року, в цій місцевості настане гарна погода, тоді і тільки тоді, якщо вона є, завжди була і завжди буде».)

Застосовуючи засоби мови темпоральної логіки ви- словлювань, визначимо темпоральні модальності одну через іншу.

а) Gр ≡ F р

(«Завжди буде «р», тоді і тільки тоді, коли не буде «не- р». «Завжди в цю пору року, в цій місцевості буде ясна по- года, тоді і тільки тоді, коли в цю пору року в цій місце- вості не буде хмарної погоди».)

б) Fр ≡ G р

(«Буде «р», тоді і тільки тоді, коли не завжди буде «не- р». «Буде ясна погода, тоді і тільки тоді, коли не завжди буде хмарна погода».)

в) H р ≡ P р

(«Завжди була «р», тоді і тільки тоді, коли не було «не- р». «Завжди був позитивний результат чемпіонату, тоді і тільки тоді, коли не було жодного випадку негативного результату».)

г) Pр ≡ H р

(«Було «р», тоді і тільки тоді, коли не завжди було «не- р». «Був позитивний результат експерименту, тоді і тільки тоді, коли не завжди був негативний».)

За допомогою темпоральних модальностей можна визначити алетичні модальності:

а) р ≡ р Gр

(«р» є необхідним, тоді і тільки тоді, коли «р» є і завжди буде». «Необхідною ознакою металу є електропровідність, тоді і тільки тоді, коли вона є і завжди буде».)

а’) р ≡ Hp p Gp

(«р» є необхідним, тоді і тільки тоді, коли «р» завджи було, є і завжди буде». «Необхідно, що студенти повинні складати іспити, тоді і тільки тоді, коли завжди так було, є і завжди так буде».)

б) ◊р ≡ р Fр

(«р» є можливим, тоді і тільки тоді, коли «р» є або бу- де». «Перемага нашої команди в чемпіонаті можлива, то- ді і тільки тоді, коли вона є або буде».)

б’) ◊р ≡ Pр р Fр

(«р» можливо, тоді і тільки тоді, коли було «р», або є, або буде». «Можливо є поїздка до Варшави, тоді і тільки тоді, коли це було, або є, або буде».)

б) Темпоральна логіка і теорія можливих світів

Відомо, що класична логіка описувала ситуації, які від- бувалися в статичному світі. Тут висловлювання розгляда- лися як незмінно істинні і незмінно хибні, а предмети або володіли певними ознаками, або ні.

Але існує й інший світ, який знаходиться в постійному русі і зміні. Тому для опису цього динамічного світу потрі- бна нова логіка, засобами якої можна було б охопити кон- цептуальну структуру мінливого світу.

Візьмемо для прикладу декілька висловлювань:

1) 2 + 3 = 5;

2) Бібліотека ім. Максимовича більша за Парламент- ську бібліотеку;

3) Йде дощ.

Висловлювання 1 істинне раз і назавжди. Висловлюван- ня 2 також істинне, але потрібно враховувати той факт, що фонди бібліотеки змінюються. Нарешті, висловлювання 3 має оцінку «істинна» лише відносно локалізованого про- стору і часу. В один і той же час дощ може йти і може не йти. Наприклад: «Йде в Києві, але не йде в Одесі». Також в одному й тому ж місці дощ може йти, а може не йти: «Йти ранком, але не вдень».

Наведені приклади показують, що істинна оцінка ви- словлюванння змінюється залежно від просторово-часової локалізації. Але треба мати на увазі, що не простір і

час сам по собі змушують змінюватися істинністні оцінки висловлювання, а відмінність між різними час- тинами світу і змінами в одній і тій же частині світу.

Іншими словами, існує тісний зв’язок між часом і змі- ною, між простором і відмінністю. Зміна має місце, коли дещо збільшується або зменшується у розмірах, або змінює свій колір чи температуру. Зміна включає в себе стан справ, подію і процес.

Стан справ, як один із видів факту, виражає інваріант- ність знання (з точки зору логіки і методології науки) і фі- ксується висловлюваннями (пропозиціями). Стани справ – це ті цеглинки, із яких будуються події, процеси, зміни.

Для більш ефективного аналізу поняття «зміна» введе- мо темпоральну логічну зв’язку «і потім». Цей сполучник є бінарним. Позначається він символом Т.

Оскільки ми домовилися, що стани справ представля- ють пропозиції, то аргументами Т, як і для істинністних сполучників, виступають пропозиційні змінні – p, q, r, ….

Проте необхідно враховувати, що аргумент, який сто- їть зліва від Т, – це стан, який існує в даний момент (існує зараз), а аргумент, який справа, – це стан, який описує наступний момент часу.

Сполучник Т нагадує кон’юнкцію, тому його можна на-

зивати темпоральною кон’юнкцією. Але на відміну від звичайної кон’юнкції темпоральнa кон’юнкція асимет- рична і не асоціативна.

Використовуючи сполучник Т, ми можемо спостерігати, що відбуватиметься з елементарним станом справ.

Тут можливі чотири варіанти cтану справ:

1) має місце стан «р» і він продовжує залишатися –

«рТр»;

2) «р» є, але зникає (перестає існувати) – «рТ~р»; 3) «р» немає місця, але виникає (стає існуючим) –

«~рТр»; 4) «р» немає і продовжує бути відсутнім – «~рТ~р».

Випадок 2 і 3 свідчать про наявність зміни, а 1 і 4 –

про її відсутність. Будемо називати 2 і 3 варіанти елеме-

нтарними змінами.

Подія – це одноразовий перехід від одного стану справ до іншого. Процес – це багаторазовий прехід від станів до станів.

Таким чином, подія і процес – це різновиди зміни, яле якщо подія трапляється, то процес триває.

Подію треба рогзлядати як таку зміну, яка є парою ста- нів, справ (початкового і кінцевого), що упорядковані у ча- сі. Але будь-яка подія відбувається у часі. Мірилом пере- бування подій у часі (одиницею виміру) є момент часу. Саме момент часу детермінує істинісні оцінки темпораль- них висловлювань.

Момент часу – це множина подій, які одночасно від- буваються.

Момент часу можна порівняти із математичною точкою на часовій прямій, але скоріше це проміжок часу, самото- тожність якого гарантована тим, що ніяка заміна не може відбутися протягом нього. Фактично момент часу фіксує конкретну подію, що пов’язана з ним, або множину подій, які знаходяться у відношенні часової координації.

Момент часу в темпоральній логіці є аналогом по-

няття «можливий світ». У зв’язку з цим відношення до- сяжності між можливими світами R розглядається тут як часове відношення між моментами часу. Звідси й характер- ні властивості відношення досяжності в темпоральній ло- гіці.

Відношення R може бути:

транзитивним;

лінійним;

дискретним;

безкінечним;

скінченним;

циклічним.

Під часовою координацією розуміють співставлення частин подій на основі відношень «раніше», «пізніше» або «одночасно».

Наприклад, вираз «Битва при Бородіно відбувалася ра-

ніше битви при Ватерлоо» означає, що будь-яка частина першої події відбувалася раніше, ніж будь-яка частина другої.

У тому випадку, коли події не можуть координуватися, говорять, що вони належать до різних часових потоків. Дамо визначення часового потоку.

Часовий потік – це множина моментів часу, які фіксу- ють події, що можна порівнювати за часом.

Найпростіший часовий потік складається з одного мо- менту часу. А оскільки ми прийняли, що момент часу – це є можливий світ, то будь-який часовий потік ми можемо вважати певним можливим світом.

Комбінації часових потоків утворюють часові структури. Найбільш характерними є такі:

І. Лінійний час.

x, y

ІІ. Лінійний час із розгалуженням у майбутньому.

x

x, y

y

ІІІ. Лінійний час із розгалуженням у минулому.

x

x, y

y

ІV. Лінійний час із розгалуженням у минулому і май- бутньому.

Схема І відповідає найпростішій часовій структурі, що є реальним курсом подій.

III.

TtHA

TH Tt′A

– читається: подія А завжди була в деякий момент часу t, якщо А було істинним в будь-якому попередньому моме- нті часу, який є досяжним із t (tRt’, де t’ – будь-який по- передній момент часу, який є досяжним із t).

IV.

FtHA FH Ft′A

– читається: події А ніколи не було в деякий момент часу t, якщо А було хибним хоча б в одному попередньому мо- менті часу t’, який є досяжним із t (tRt’, де t’ – деякий попередній момент часу, який ще не зустрічався в попере- дніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося прави- ло FH, і який є досяжним із t).

V.

TtFA TF Tt′A

– читається: подія А буде в деякий момент часу t, якщо А буде істинним хоча б в один нступний момент часу, який є досяжним із t’ (tRt’, де t’ – деякий наступний мо- мент часу, якого ще не було в рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося правило TF, і який є досяжним із t).

VI.

FtFA FF Ft′A

– читається: події А не було в деякий момент часу t, як- що А буде хибним у будь-який наступний момент часу t , який є досяжним із t (tRt , де t – будь-який момент часу, який є досяжним із t)

VII.

TtPA TP Tt′A

– читається: подія А була в деякий момент часу t, якщо А було істинним хоча б в один попередній момент часу t’, який є досяжним із t (tRt’, де t’ – деякий попередній мо-