А. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЮВАНЬ

Логіка висловлювань – це перша частина класичної логіки, яка є порівняно простою логічною теорією. Вона посідає особливе місце серед інших логічних систем, оскільки її концепції та методи враховуються, викорис- товуються і розвиваються у більш багатших і складні- ших теоріях.

Центральною категорією класичної логіки є вислов-

лювання. Висловлювання – це ім’я множини розповід-

них речень, зміст яких можна оцінити як істинний або хибний.

У логіці висловлювань не аналізується внутрішня стру- ктура простого висловлювання. А також у ній відволіка- ються від смислового змісту висловлювання. Висловлю- вання порівнюються лише за значеннями («істина», «хиба»). У зв’язку з цим серед завдань, які вирішує логі-

ка висловлювань, головними є два питання:

а) яким чином із простих висловлювань утворюють- ся складні ? і

б) як залежить значення складного висловлювання від значень простих висловлювань, що входять до його складу?

Отже, із вище зазначеного логіку висловлювань (або пропозиційну логіку) можна визначити як логічну теорію, мова якої складається із одного типу нелогічних символів – пропозиційних змінних, а також одного типу логічних си- мволів – пропозиційних зв’язок.

Логіка висловлювань включає в себе алгебру (або, як іноді її називають, морфологічну побудову логіки вислов- лювань) і числення. Саме у такій послідовності і буде здій- снюватися виклад логіки висловлювань.

РОЗДІЛ І

АЛГЕБРА ЛОГІКИ ВИСЛОВЛЮВАНЬ

Алгебра логіки висловлювань досліджує операції над висловлюваннями, які мають лише одну ознаку – іс-

тинісне значення. Це дає змогу ототожнювати всі істин- ні висловлювання і всі хибні, абстрагуючись від їх змісту. Завдяки тотожностям, які відіграють тут роль зако- нів, здійснюються різноманітні перетворення висловлю- вань.

При викладі алгебри логіки висловлювань буде зосере- джена увага на підвалинах її побудови і на завданнях, які вона вирішує своїми засобами.

1. Мова алгебраїчної системи логіки висловлювань

Мова алгебраїчної системи логіки висловлювань, або мова морфологічної системи логіки висловлювань, є своє- рідною формально логічною теорією (ФЛТ). Структура

мови логіки висловлювань складається із двох компоне- нтів: об’єкт-мови (OL) та метамови (МL).

Об’єкт-мова – це сукупність правильно побудованих формул1 (ППФ), в яких фіксується, відображається, ко- дується певний фрагмент наукової теорії або контекс- ту природної мови.

Метамова – це мова, засобами якої досліджуються і

описуються властивості об’єктної мови. Метамова повинна задовольняти такі вимоги:

а) наявність засобів для опису синтаксичних власти- востей об’єктної мови, а саме засобів для побудови ви- разів ОL;

1 Вирази об’єкт-мови називають формулами тому, що вони відрізняються один від одного лише за формою.

Взагалі алгебру можна визначити як непорожню множину об’єктів із визначеними на них операціями.

Стосовно нашої ситуації такими об’єктами є пропози-

ційні змінні, а операціями – пропозиційні зв’язки1.

Характерною особливістю S1 є те, що Sin ML має лише один вид правил, а саме правила утворення. Це обумовлює те, що в S1 формули розглядаються в статично- му варіанті, де не досліджується перехід від одних формул до інших, тобто не досліджується процес доведення. А от-

же, завдання, які розв’язуються засобами S1, такі:

1) типологія ППФ на синтаксичному рівні;

2) типологія ППФ на семантичному рівні;

3) систематичний огляд логічних законів;

4) визначення відношення логічного слідування;

5) систематичний аналіз логічних відношень.

Після цих зауважень перейдемо до побудови мови сис- теми S1. Перш за все потрібно описати (задати) алфавіт.

Алфавіт – це сукупність вихідних символів даної формалізованої мови. Алфавіт S1 складається із:

а) нелогічних символів; б) логічних символів; в) технічних символів.

Розглянемо послідовно кожну складову частину алфаві- ту мови логіки висловлювань.

Нелогічні символи

Нелогічними символами є множина пропозиційних змінних: p, q, r, s, p1, q1, r1, s1....

Пропозиційні змінні використовуються для позначення простих висловлюваннь природної мови. Іншими словами, пропозиційні змінні – p, q, r, s тощо використовуються як замінники простих висловлювань при виявленні логічних форм контекстів природної мови.

Наприклад, пропозиційна змінна р може позначати мно- жину конкретних простих висловлювань типу: «Місяць – природний супутник», «Всі планети – космічні об’єкти», «7 є простим числом», «Книга є джерелом інформації» тощо.

1 Тобто, тут йдеться про словесну, вербальну подібність S1 з алгеброю як від- повідним розділом математичної науки.

Логічні символи

Логічними символами в системі S1 є істинністно- пропозиційні зв’язки:

– заперечення; & – кон’юнкція;

– слабка диз’юнкція;

– сильна диз’юнкція;— еквіваленція.

Технічні символи

До технічних символів у системі S1 відносяться:

–ліва та права дужка ( ; ) і

–кома ( , ).

Переліком вихідних символів завершується побудова алфавіту системи S1.

Наступним етапом у побудові S1 є задання дефініції

ППФ.

Дефініція ППФ належить до індуктивних визначень:

1.Будь-яка пропозиційна змінна є формулою.

2.Якщо А – формула, то А (читається: «не А» або

«неправильно, що А») – також формула.

3.Якщо А і В – довільні формули, то А & В (читається: «А і В»), А В (читається: «А або В»), А В (читається: «якщо А, то В»), А В (читається: «А тоді і тільки тоді, коли В»), А В (читається: «або А, або В») – теж фор-

мули.

4.Ніякі інші вирази, окрім вказаних у пунктах 1,2,3, не є формулами класичної логіки висловлювань.

Зауважимо, що латинські літери А і В, які вживаються

удефініції формули, належать не до OL, а до ML в S1. Ін- шими словами, вони належать тій мові, на якій ми гово- римо про вирази OL в системі S1, і слугують для позначен- ня довільних формул із OL. На відміну від букв p, q,r, s..., які є пропозиційними змінними, вони називаються мета-

змінними, або метабуквами.

Отже, вирази, які мають метабукви: А, А & В, А В,

А В, А В, А В – не формули, а схеми формул пев-

ного виду.

Наприклад, вираз А В може представляти нескінчен- ну множину формул OL в S1, які мають вигляд: (p q),

Надалі будемо вживати вираз «формула A & B», розу- міючи, що за цим виразом стоїть будь-яка формула OL відповідного виду, а не запис A & B, який є схемою фор- мул.

Дефініція формули в S1 дозволяє визначити, чи є будь- яка послідовность знаків алфавіту формулою, чи ні.

Наприклад, послідовність знаків ((p q) r) (p q)

єформулою, тому що вона побудована у відповідності до пунктів 1–3 дефініції формули. Так, пропозиційні змінні

єформулами згідно пункту 1, вираз r є формулою згідно

пункту 2. Якщо в якості А взяти вираз ((p q) r) , а в якості В – вираз (p q), то весь вираз є формулою згідно пункту 3.

Якщо ж ми візьмемо послідовності знаків: p ); p r (; p q ( r; тощо, то вони не будуть формулами у S1 відпо- відно до дефініції формули цієї системи.

За синтаксичними ознаками формули в S1 поділя- ються на:

–елементарні (атомарні) і

–складні (молекулярні).

Елементарною або атомарною формулою називаєть- ся така формула пропозиційної логіки, яка не має само-

стійних частин. Тобто, це формули, які відповідають пункту 1 наведеної дефініції: p, q, r, s... .

Складними або молекулярними називаються форму- ли, які складаються з двох або більше елементарних формул, з’єднаних логічними зв’язками. Наприклад: p &

q, (p q) r, ( p q ) (r s) тощо. Іншими словами, скла-

дними формулами в S1 є вирази, які відповідають пунктам 2 і 3 дефініції формули.

Будь-яка частина формули є підформулою. Візьмемо

3) вся формула – ((p r) q) (r & s).

Підформули А і В у формулі A & B називаються кон’юнктами, або кон’юнктивними членами, в формулі А В – диз’юнктами, або диз’юнктивними членами, а в формулі А В підформула А називається антецеден-

том, а підформула В – консеквентом.

Степенем формули в S1 називається кількість логіч- них термінів, що входять до складу формули.

Наприклад, формула: ((p q) & r) s є формулою 4-го степеня. А формула (p q) & r має 3-ій степінь, оскіль- ки тут наявні три пропозиційні зв’язки: , , &.

Головним логічним знаком в S1 називається логічний термін, який застосовується останнім при побудові формули.

У формулі p головним логічним знаком є заперечення

(позначається символом , або , або -). У формулі ( p (qp)) головним логічним знаком буде еквіваленція ( ), в

Для компактності запису формул необхідно прийняти угоду про опускання дужок. Якщо першим знаком форму- ли є ліва дужка, а останнім – права дужка, то цю пару опускають.

Наприклад, маємо формулу ((p q) r ). Відповідно до даної умови її можна записати (p q) r .

Розташування дужок у формулі має принципове зна- чення. Застосування лівої та правої дужок дає можливість визначити область дії кожної пропозиційної зв’язки.

Наприклад, область дії зв’язки « » у формулі А (В

A ) є між А і В С, а у формулі (А В) A – між А і В. При розташуванні дужок необхідно враховувати степінь сили пропозиційної зв’язки. За степенем зростання сили пропозиційної зв’язки вони розподіляються в такій послі-

довності: , , , & ,. Отже, самою сильною пропозицій- ною зв’язкою є заперечення .

Виходячи з цього, спочатку виконується дія, яка вказа- на більш сильною зв’язкою.

Наприклад, у формулі А В & С В за допомогою ду-

жок вказується порядок виконання дій: А ((В & С) В). Цей запис показує, що першу дію здійснюють над &, другу –

над , і третю – над .

А якщо потрібен інший порядок дій, тоді змінюють роз- ташування дужок. Візьмемо ту ж саму формулу, але змі- нимо порядок дій:

((А В) & С) В.

У цьому випадку першу дію необхідно виконати над ,

другу над – &, і третю над – .

Якщо у формулі наявні лише декілька імплікацій, то

приймається групування дужок зліва : А В С є (А В)

С.

Для виконання групування дужок справа застосовується крапка:

А .В С. є А (В С).

Прийняттям цих угод завершується побудова словника у системі S1. Після цього розглянемо, як можна виразити логічну форму висловлювань природної мови засобами сло- вника системи S1.

Для прикладу візьмемо конкретне висловлювання:

«Якщо студент здібний, але не старанний, то він може мати посередні результати на сесії або високі».

Щоб виявити логічну форму конкретного висловлю- вання засобами словника системи S1, необхідно здійс- нити такі дії:

1) виписати всі прості висловлювання, що входять до складу складного;

2) кожному простому висловлюванню поставити у відповідність конкретну пропозиційну змінну;

3) виділити логічні терміни, що входять до складу складного висловлювання;

4) встановити порядок і спосіб поєднання простих висловлювань у складне за допомогою логічних сполуч- ників.

Прокоментуємо кожну дію окремо.

І. Наведене вище складне висловлювання складається із чотирьох простих висловлювань:

1. «Студент – здібний».

2. «Студент – старанний».

3. «Студент має посередні результати на сесії». 4. «Студент має високі результати на сесії».