5.– f (q (y,a))
6.– q (f (a) y).
1. Оскільки а – предметна константа, то згідно з Df1 функція І співставить їй такий об’єкт, як 3, що й буде її значенням:
| a | = I(a) = 3.
2. Оскільки у – предметна змінна, то згідно, Df2 ϕ при- пише їй число 2:
| y | = ϕ (y) = 2.
3. Визначимо значення складного терму f(a). Предметно- функціональній константі f за нашою умовою відповідає дія піднесення до другого степеня, а значення терму а є число 3.
Тоді відповідно до Df3 треба застосувати операцію І(f) до аргументу а, тобто піднести до квадрата число 3. Отримане число 9 є значенням терму f(a):
f (a) = [ I (f) ] (|a|) = 32 = 9.
4. Визначимо значення складного терму q(y,a). Згідно на- шої домовленості предметно-функціональній константі q від- повідає операція множення, значеннями термів у і а є відпо- відно числа 2 і 3. Щоб вирахувати значення терму q(y,a) необхідно згідно Df3 застосувати операцію І(q) до у і а, тобто помножити 2 на 3. Отже число 6 є значенням q(y,a):
| q (y,a) | = [ I(q)] (|y|, |a|) = 2 x 3 = 6.
5. Щоб встановити значення терму f (q (y,a)), необхідно застосувати операцію I (f)1 до об’єкту | q (y,a) |. Оскільки ми встановили, що значенням q (y,a) є число 6, то число 36 є значенням терму f (q (y,a)).
6. Для того щоб встановити значення терму q (f(a) y), необхідно перемножити значення термів f(a) i y, тобто чи- сел 9 і 2. Таким чином, значення q (f(a) y) є 9х2, тобто 18.
3. Процедури встановлення значень формулам в S4
Після того, як було показано, в чому полягає процедура визначення значення терму в конкретній моделі і при кон- кретному приписуванні значень предметним змінним, пе-
1 I (f) – операція піднесення до квадрата.
Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА |
377 |
рейдемо до формулювання правил встановлення значень формул у довільній моделі <U,I> при довільному припису- ванні ϕ .
Усю множину формул розіб’ємо на три підмножини:
1. Елементарні формули –
Пn (t1, t2, …, tn);
2. Складні формули, головним знаком яких є пропо- зиційна зв’язка –
А, (А В), (А В), (А В), (А В);
3. Складні формули, головним знаком яких є кван- тор –
α А і α А,
де α – предметна змінна, а А – формула.
Розглянемо процедуру встановлення значення формули для кожної із цих груп.
Введемо скорочений запис виразу: «значення формули
F в моделі <U,I> при приписуванні значення предмет- ним змінним ϕ » –
«| F | при ϕ ».
У цьому записі ϕ виділяється особливо, оскільки при встановленні істинності чи хибності формули (а саме фор- мул αΑ і αΑ ) необхідно визначати значення їх підфор- мул, перебираючи приписування значень предметним змін- ним. У той же час вказана процедура здійснюється в рам- ках однієї і тієї самої моделі, тому в записі «| F | при ϕ » опускаються параметри U i I. Замість термінів «істина» і «хиба» введемо відповідно символи «і» та «х».
Дефініція умов істинності і хибності елементарних формул:
«Щоб встановити значення формули Пn (t1, t2,..., tn) в моделі <U,I> при приписуванні ϕ , необхідно:
а) з’ясувати, яку множину функція І співставляє предикаторній константі Пn, тобто знайти І (Пn);
б) визначити, які значення приймають у даній моде- лі при даному приписуванні терми t1, t2,..., tn, тобто знайти значення | t1 |, |t2 |,...,| tn |;
в) встановити, чи є послідовність < | t1 |, | t2|,...,| tn | >
елементом множини І (Пn). Якщо дана послідовність
378 |
А. Є. Конверський. ЛОГІКА |
належить до І (Пn), то формула Пn (t 1, t2,..., tn) приймає значення «і», а якщо ні, то її значенням буде «х»:
|
|
| Π n (t1, t2,..., tn) | = i |
|
|
при ϕ |
< | t1 |, | t2 |,..., | tn | > |
I (Π |
n) |
при ϕ |
|
| Π n (t1, t2,..., tn) | = x |
I (Π |
|
< | t1 |, | t2 |,..., |tn | > |
n). |
Дефініція умов істинності і хибності формул, де го- ловним знаком є пропозиційна зв’язка:
«Щоб встановити значення складних формул: А, (А В), (А В), (А В), (А В) у довільній моделі <U,I> при довільному приписуванні ϕ значень предметним змін-
ним, необхідно з’ясувати, які значення в тій же моделі, при тому самому приписуванні приймають їх підфор- мули А і В»:
| Α |
| = i при ϕ |
|
| A | = x при ϕ, |
| Α |
| = x при ϕ |
|
| A | = i при ϕ, |
| A |
B | = i при ϕ |
| A | = i i | B | = i при ϕ, |
| A |
B | = x при ϕ |
| A | = x або | B | = x при ϕ, |
| A |
B | = i при ϕ |
| A | = i або | B | = i при ϕ, |
| A |
B| = x при ϕ |
| A | = x i | B | = x при ϕ , |
| A B | = i при ϕ |
| A | = x або | B | = i при ϕ , |
| A B | = x при ϕ |
| A | = i i | B | = x при ϕ , |
| A B | = i при ϕ |
| A | = i i | B | = i, |
|
або | A | = x i | B | = x при ϕ, |
| A B | = x при ϕ |
| A | = i i | B | = x, |
або | A | = x i | B | = i при ϕ .
Дефініція істинності і хибності формул, де головним знаком є квантор:
«В S4 умови істинності і хибності формул αΑ і αΑ в моделі <U,I> при ϕ здійснюються шляхом перегляду
індивідів із U. Цей перегляд здійснюється перебиранням значень змінної α , тобто розглядаються приписування, що співставляють змінній α різні елементи із U, але
які зберігають при цьому значення інших змінних. Здій- снюючи різні приписування, встановлюють, істинною чи хибною стає формула А в кожному із випадків».
Якщо А виявиться істинною, який би індивід із U ми не приписали змінній α , то формула αΑ прийме значення «і» в моделі <U,I> при ϕ . Якщо ж в U знайдеться індивід,
Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА |
379 |
при приписуванні якого змінній α формулв А виявиться хибною, то αΑ прийме значення «х».
Якщо при приписуванні α хоча б якого-небудь елемента U (значення інших змінних при цьому зберігаються) ви- явиться, що формула А прийме значення «і», то і формулаαΑ буде істинною в моделі <U,I> при ϕ . Якщо ж А ви- явиться хибною, який би об’єкт не був приписаний α , тоαΑ прийме значення «х».
Сформулюємо більш жорстко умови істинності та хибності
формул αΑ |
і αΑ . Будемо виходити з того, що α, |
α 1, α 2 |
,... , |
α n – список всіх предметних змінних, що є в формулі |
αΑ |
(або αΑ ). Нехай ϕ приписує α індивід u із U, а змінним α 1, |
α 2 ,... , α n – відповідно індивіди u 1, u2,..., un із U. |
|
|
Дефініція для αΑ . |
|
|
«| αΑ |
| = i при ϕ якщо для будь-якого ν |
U вірно, |
що | A | = i при приписуванні α значення ν , а змінним α 1, |
α 2 ,... , |
α n |
значень ν |
1, ν 2,... , ν n. |
U, такий, |
що | |
Α | = |
| |
αΑ |
| |
= х при ϕ |
|
якщо існує ν |
х при приписуванні α |
значення ν , а змінним α |
1 , α |
|
2,... , |
α n значень ν 1, ν 2 ,... ,ν n. |
|
|
|
|
|
|
Дефініція для αΑ |
: |
|
U такий, |
|
|
|
|
«| αΑ |
|
| = і при ϕ |
|
якщо існує ν |
що | |
Α |
| = і |
при приписуванні α |
значення ν , |
змінним α 1, |
|
α 2, |
..., α n |
значень ν |
1, ν 2,... ,ν n. |
якщо для будь-якого ν |
|
|
|
|
| |
αΑ |
| |
= х при ϕ |
U вірно |
| Α | |
= |
х при приписуванні α значення ν , а змінним α 1, α 2, |
..., α |
n значень ν 1, ν 2, ..., ν n». |
|
|
|
|
|
Після аналізу умов істинності і хибності для формул можна перейти до типології формул за семантичними ознаками.
4. Типологія формул S4 за семантичними ознаками
Всю множину формул у S4 за семантичними ознака- ми можна поділити на:
а) закони класичної логіки предикатів; б) виконувані формули класичної логіки предикатів;
в) невиконувані формули класичної логіки преди- катів.
380 |
А. Є. Конверський. ЛОГІКА |
Відомо, що закон у логічній теорії є формула, яка істинна при будь-яких прийнятих у цій теорії інтерпретаціях нелогі- чних термінів, що входять до складу цієї формули.
У логіці предикатів інтерпретація нелогічних символів здійснюється вибором деякої моделі <U,I> і приписуван- ням значень предметним змінним ϕ .
Дефініція логічного закону: «Формула А є законом
класичної логіки предикатів, якщо і тільки якщо А приймає значення «істина» в кожній моделі і при будь- якому приписуванні значень предметним змінним».
Закони логіки ще називають загальнозначимими фор- мулами. Позначають їх символом |=А.
Прикладом загальнозначимої формули є вираз:
х Р(х) х Р(х).
Обгрунтуємо загальнозначимість цієї формули. Для цьо- го застосуємо метод від супротивного.
Припустимо, що х Р(х) х Р(х) не є загальнозначи- мою формулою. А це означає, що існує модель <U,I> і приписування ϕ , при яких
| х Р(х) х Р(х) | = х.
Це означає, що | х Р (х) | = і і | х Р(х) | = х при ϕ . Істинність х Р(х) означає, що | Р(х) | = і при припису-
ванні х будь-якого індивіду із U. Хибність х Р(х) означає, що | Р(х) | = х при приписуванні х будь-якого індивіду із U. Візьмемо довільний елемент ν із U.
Згідно з вищезазначеним | Р(х) | = і при приписуванні х індивіда ν і одночасно | Р(х) | = х при цьому самому при- писуванні. Отже, ми прийшли до протиріччя. Цим і вста- новлюється загальнозначимість формули
х Р(х) х Р(х).
Дефініція незагальнозначимої формули. «Формула А
не є законом логіки предикатів тоді і тільки тоді, коли існує модель і існує приписування предметним змінним, при яких А приймає значення «хиба».
Щоб показати незагальнозначимість формули, потрібно вибрати модель <U,I> і приписування ϕ , при яких ця фо- рмула прийме значення «хиба».
Візьмемо для прикладу формулу:
х Р(х) х Р(х)
Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА |
381 |
і покажемо її незагальнозначимість. За область інтерпре- тації U візьмемо множину хімічних елементів. Нехай ін- терпретаційна функція співставляє предикаторній конста- нті Р множину металів. Приписування предметним змін- ним ϕ може бути довільним, оскільки дана формула є за- мкненою.
Якщо змінній х приписати ім’я «Мідь», то в моделі <U,I> формула Р(х) буде істинною. Якщо ж змінній х приписати ім’я «Кисень», то Р(х) виявиться хибною фор- мулою. Отже, існує приписування змінній х, при якому
| Р(х) | = і,
звідси випливає, що
|х Р(х) | = і при довільному ϕ .
Іразом з тим є й друге приписування х, при якому
| Р(х) = х,
а це означає, що
| х Р(х) | = х при ϕ .
Істинність х Р(х) і хибність х Р(х) в <U,I> при ϕ сві- дчить, що
| х Р(х) х Р(х) | = х при ϕ .
Отже, дана формула незагальнозначима.
Дефініція виконуваної формули: «Формула А мови
логіки предикатів є виконуваною», якщо і тільки якщо існує модель і приписування значень предметним змінним, при яких А приймає значення «істина».
Звернемося до прикладу.
Ми встановили, що формула х Р(х) х Р(х) є незага- льнозначимою. Тепер покажемо, що вона є виконуваною.
Для цього виберемо модель <U,I> і приписування ϕ , при яких ця формула буде істинною. Функція І співставляє Р порожню множину (наприклад, множину людей, які є жи-
телями Місяця), ϕ знову є довільним. Зрозуміло, що Р не має жодного елементу.
Тому, | Р(х) | = х при приписуванні х будь-якого об’єкту із U, а звідси випливає, що | х Р(х) | = х при ϕ . Але якщо антецедент нашої формули хибний, то вся формула буде істинною:
382 |
А. Є. Конверський. ЛОГІКА |
