mat_analiz

щей, проходящей через точки A(a; f (a)) и B(b; f (b)) графика функции y = f (x),

а f ′(c) - угловой коэффициент касательной, проведенной к графику этой же функции в точке (c; f (c)).

Теорема Лагранжа утверждает, что существует такая точка c (a,b), что касательная, проведенная к графику функции y = f (x) в точке (c; f (c)), парал-

лельна секущей AB .

Заметим, что таких точек может быть и несколько.

Теорема 7 (теорема Коши). Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на от-

резке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем g′(x )≠ 0 в каждой точ-

ке x (a,b). Тогдасуществует точка c (a,b) такая, чтосправедливо равенство:

Доказательство. Сначала отметим, что обе части равенства (19) имеют определенный числовой смысл. Действительно, так как по условию теоремы g′(x )≠ 0 , то правая часть равенства имеет смысл. В левой части так-

же имеем: g(b)− g(a)≠ 0, поскольку в противном случае получили бы g(b)= g(a) и тогда функция g(x) удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля, а

значит, ее производная в некоторой точке c (a, b) была бы равна нулю, а это не имеет места, так как по условию теоремы g′(x )≠ 0 для любого x (a,b).

167

Докажем теперь равенство (19). Рассмотрим вспомогательную функцию

Теорема доказана.

Равенство (19) называют формулой Коши.

Замечание 13. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши называют теоремами

осредних значениях.

§12. Применение производных для вычисления пределов функций

(правило Лопиталя)

Вопросы отыскания пределов функций уже рассматривались выше в главе I. Там же приводились различные приемы раскрытия неопределенностей. В данном параграфе речь пойдет об очень важном и практически удобном способе отыскания пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций при помощи производных. Этот способ называют правилом Лопиталя.

Прежде всего рассмотрим вопрос о раскрытии неопределенностей вида

00 . Справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть выполнены следующие условия:

1) функции f (x ) и g(x ) определены и дифференцируемы в некоторой окрест-

ности точки x0 , за исключением, может быть, самой точки x0 ;

ки x 0 ;

168

4. существует конечный или бесконечный, равный + ∞ или - ∞, предел

Приведенная теорема позволяет свести предел отношения двух бесконечно малых функций к пределу отношения их производных. Во многих случаях отыскание предела отношения производных оказывается проще.

Таким образом, теорема 8 устанавливает правило для раскрытия неопре-

деленностей вида 00 .

Если отношение производных снова окажется отношением бесконечно малых функций, удовлетворяющих условием теоремы 8, то теорему следует применить повторно. Иногда (при выполнении соответствующих условий) теорему 8 приходится применять несколько раз.

Рассмотрим примеры.

Пример 38. Пользуясь правилом Лопиталя, вычислить lim e x −e4 .

x →4 x −4

Решение. В данном примере f (x) = ex − e4 , g(x) = x − 4 . Эти функции удовлетворяют всем условиям теоремы 8. А поэтому заключаем, что предел при x → 4 отношения gf ((xx)) указанных функций существует и равен пределу

отношения их производных. Таким образом, получаем:

169

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Применяя правило Лопи-

таля, получаем:

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Применяем правило Ло-

питаля:

Опять получили неопределенность вида 00 . Снова применяем правило Лопиталя:

Итак,

Пример 41. Вычислить lim x cos x − x . x →0 x −sin x

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Применяя правило Лопи-

таля, получим:

В данном примере правило Лопиталя было применено три раза.

170

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о раскрытии неопределенно-

стей вида ∞∞ . Справедлива следующая теорема, устанавливающая правило для раскрытия неопределенностей вида ∞∞ .

Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия:

1)функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окре-

стности точки x0 , за исключением, может быть, самой точки x0 ;

питаля:

Теорему 9, так же как и теорему 8, в некоторых случаях приходится применять несколько раз.

Замечание 14. Теоремы 8 и 9 распространяются и на тот случай, когда аргумент x стремится к бесконечности.

171

x→+∞ e

Здесь правило Лопиталя применено два раза.

Как известно, при вычислении пределов функций кроме неопределенно-

стей вида 00 и ∞∞ встречаются также неопределенности других видов. Сущест-

вуют приемы, пользуясь которыми, неопределенности вида 0 ∞, ∞ − ∞, 1∞ ,

Решение. Выражение (1 − x2 ) tg π2x при x →1 представляет собой не-

определенность вида 0 ∞. Преобразуем его:

Полученное после преобразования выражение 1− xπ2 при x →1 представляет ctg 2x

собой неопределенность вида 00 . Теперь можно применить правило Лопиталя.

Получаем:

172

Неопределенности вида 1∞ , ∞0 , 00 можно привести к неопределенностям вида 00 или ∞∞ с помощью предварительного логарифмирования.

Поясним это на двух примерах.

2

Пример 46. Вычислить lim x 1−x .

x →1

2

Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Положим A = lim x 1−x . Ло-

x →1

гарифмируя обе части последнего равенства и используя непрерывность логарифмической функции, получаем:

Теперь имеем неопределенность вида 00 . Используя правило Лопиталя,

Пример 47. Вычислить lim (x + 3x ) x .

x →+∞

173

Замечание 15. В заключение подчеркнем, что с помощью правила Лопиталя вычисляется предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций в том случае, если существует предел отношения их производных. Если же предел отношения производных не существует, то отсюда еще не следует, что не существует и предел отношения самих функций.

Задания для самостоятельной работы

Применяя правило Лопиталя, вычислить следующие пределы:

174

§13. Исследование функций и построение графиков

1. Монотонность и экстремумы функции

Напомним, что функция у = f (х) непрерывная на промежутке Х, назы-

( f (x1) > f (x 2 ) ), то функцию называют строго возрастающей (строго убываю-

щей). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие - строго монотонными. (Иногда используют иную терминологию: функции называют соответственно неубывающей, невозрастающей, возрастающей, убывающей).

На рис.8 изображена возрастающая функция, на рис.9 – убывающая

мем две произвольные точки x1, x2 X . Существует (по теореме Лагранжа) внутренняя точка c X такая, что f (x1 ) − f (x 2 ) = f ′(c)(x 2 − x1 ) . Так как f ′(с) = 0

175

Аналогично доказывается убывание функции.

Геометрически утверждение теоремы означает, что в каждой точке графика возрастающей функции касательная либо образует острый угол с положительным направлением оси Ox, либо параллельна оси Ox, а в каждой точке графика убывающей функции касательная либо образует тупой угол с положительным направлением оси Ox, либо параллельна оси Ox. (рис.10 (а,б)).

функция y = x3 возрастающая функция. Касательная к графику данной функ-

ции в точке О (0; 0) параллельна оси Ox, а в остальных точках графика образует с осью Ox острый угол (см. рис.11).

176