mat_analiz

вверх, а справа от точки x 0 y′′ > 0 и график функции обращен выпуклостью вниз

(рис.20).

y

Рис. 20

План решения задач на определение интервалов выпуклости графика функции и нахождение точек перегиба.

1.Найти область определения функции.

2.Найти вторую производную функции.

3.Найти точки, где f ′′(x )= 0 или f ′′(x ) не существует. 4.Определить знак f ′′(x ) слева и справа от каждой из этих точек.

5.По достаточному условию выпуклости и достаточному условию точек перегиба определить характер выпуклости и сделать вывод о наличии точек перегиба.

Пример 50. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ-

1.Область определения ( − ∞; + ∞ ).

187

y(−1)= 2 , y(1)= −10 .

5.(−1; 2) и (1; −10) - точки перегиба графика функции, которая обращена выпук-

лостью вверх на промежутке (−1; 1) и выпуклостью вниз на промежутках (−∞; −1) и

(1; + ∞).

б) y = 3 х + 2 .

1.Область определения ( − ∞; + ∞ ).

x= −2 ).

4.Определим знак y′′ слева и справа от точки x = −2 .

–2 x

y(− 2)= 0 .

5. Точка (− 2;0) – точка перегиба графика функции, обращенной выпуклостью вниз на промежутке (− ∞;−2) и выпуклостью вверх на промежутке(− 2;+∞).

в) y = x13 .

1.Область определения(− ∞;0)U(0;+∞).

4.Определим знак y′′ слева и справа от точки x = 0 .

0 x

188

5. График функции обращен выпуклостью вверх при x < 0 и выпуклостью вниз приx > 0 . Точки перегиба нет.

Задания для самостоятельной работы

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций:

2. точек перегиба нет, график обращен выпуклостью вниз на всей области определения.

5. график обращен выпуклостью вниз при x (− ∞; −3)и (−1; + ∞), выпуклостью

3. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции y = f (x) при x → −∞ и при

x → +∞ , или вблизи точек разрыва, удобным оказывается рассмотрение асимптот графика функции.

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции y = f (x), если расстояние d от точек графика до этой прямой стремится к ну-

лю при неограниченном удалении этих точек по графику функции в бесконечность.

189

Различают три вида асимптот: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Рис. 21

На рис. 21 (а) изображена вертикальная асимптота, (б) – наклонная, (в) – вертикальная.

1. Вертикальная асимптота.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 ,

кроме самой точки x0 .

тогда, когда функция в точке x0 имеет разрыв II рода. Следовательно, чтобы

190

отыскать вертикальные асимптоты, нужно найти все точки, где функция y = f (x) имеет бесконечный разрыв.

2. Наклонная асимптота.

Рассмотрим функцию y = f (x), определенную для сколь угодно боль-

шого положительного значения аргумента, т.е. при x → +∞. (Аналогично можно рассмотреть функцию, определенную для сколь угодно малого отрицательного аргумента, то есть при x → −∞ ).

Определение. Прямая называется наклонной асимптотой

графика функции y = f (x) при x → +∞, если функцию можно представить в виде f (x)= kx + b +α(x) , где α(x) - бесконечно малое при x → +∞, т.е.

lim α(x)= 0 .

x→+∞

Теорема 18. Для того, чтобы график функции y = f (x) имел при x → +∞

наклонную асимптоту y = kx + b , необходимо и достаточно, чтобы существо-

вали конечные пределы:

lim α(x)= 0 . Значит, прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика

x→+∞

функции y = f (x) при x → +∞ . Теорема доказана.

Замечание 25. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема для случая, когда x → −∞ .

191

y = f (x) расположен над асимптотой, а если знак отрицателен, то под асим-

птотой. Если же разность меняет знак в зависимости от определенного значения x , то асимптота пересекает график функции.

Пример 52. Найти наклонные асимптоты графика функции

Следовательно, при график функции имеет наклонную асимптотуy = x + 2 . Аналогично, при x → −∞ можно убедиться, что значение пара-

метров k и b принимают те же значения. Значит, при и при x → −∞ график функции имеет единственную наклонную асимптоту y = x + 2 .

Ответ: y = x + 2 .

192

3. Горизонтальные асимптоты.

Из предыдущего определения наклонной асимптоты при k = 0 имеем:

Определение. Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой

горизонтальными асимптотами графика функции f (x)= arctg x (см. рис.22).

Рис. 22

Замечание 29. Практически для нахождении наклонной асимптоты при

k = 0 получаем горизонтальную асимптоту, если lim f (x) существует. Поэто-

x→±∞

му при нахождении асимптоты можно рассмотреть два случая: а) вертикальные и б) невертикальные (наклонные и горизонтальные) асимптоты.

Пример 54. Найти асимптоты графика функции y = 2x .

Решение: а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, т.к. функция непрерывна на всей области определения (− ∞; + ∞).

б) Найдем невертикальные асимптоты:

193

Значит, при x → +∞ наклонной асимптоты не существует. Найдем наклонную асимптоту графика данной функции при x → −∞ :

Это значит, что при x → −∞ график функции имеет только горизонтальную асимптоту:

График данной функции имеет единственную горизонтальную асимптоту y = 0 при x → −∞ (см. рис.23).

y

y=2x

Задания для самостоятельной работы

194

4. Схема исследования функции и построения графиков.

Чтобы построить график функции y = f (x), проведем исследование

этой функции по следующей схеме:

1.Найти область определения функции.

2.Исследовать функцию на четность или нечетность, периодичность. При построении следует учесть, что если функция четная, то её график симметричен относительно оси y . Если функция нечетная, то её гра-

фик симметричен относительно начала координат.1

3.Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4.Найти асимптоты графика функции: а)вертикальные, б)невертикальные.

5.Найти интервалы монотонности и точки экстремумов.

6.Найти интервалы выпуклости вверх и вниз и точки перегиба графика функции.

7.Построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Вслучае необходимости следует найти ещё несколько точек, принадлежащих графику функции.

Пример 55. Исследовать функции и построить их графики:

1 В случаях четной (нечетной) функции исследование можно проводить на половине области определения функции и затем достраивать график функции, используя свойство симметрии относительно оси ординат (начала координат). Если функция периодическая, то исследование можно проводить на промежутке длиной в один период и достраивать график влево и вправо, используя параллельный перенос.

195

Решение. а) y = 4x3 − x4 .

1.Область определения функции: (− ∞; + ∞).

2.Исследуем на четность и нечетность: y(− x)= 4(− x)3 − (− x)4 = −4x3 − x4 .

y(− x)≠ y(x), y(− x)≠ −y(x). Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Найдём точки пересечения с осями координат:

Сосью Oy : x = 0 , тогда y = 0 .

Сосью Ox : y = 0 , тогда 4x3 − x4 = 0, x3 (4 − x)= 0, x = 0, x = 4 .

Точки пересечения с осью Oy и Ox (0;0) и (4;0).

4.а) Вертикальных асимптот график функции не имеет, т.к. функция всюду непрерывна.

б) Найдем невертикальные асимптоты графика функции, имеющие общий вид y = kx + b :

Значит, при x → +∞ асимптоты (правосторонней) график функции не имеет. Аналогично при x → −∞ можно показать, что левосторонней асимптоты график функции также не имеет. Значит, невертикальных асимптот график функции не имеет.

5.Найдем интервалы монотонности и точки экстремума.

y′ =12x 2 − 4x 3 = 4x 2 (3 − x ).

y′ = 0 при x = 0 , x = 3 - критические точки. Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки:

При x (− ∞;3) график функции возрастает, при x (3;+∞) убывает, при x = 3 функция имеет максимум и

y(3)= 27 .

6.Найдём интервалы выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.

196