|
|
1 |
|
|
|
2) (1; 1); |
|
|
|
1 |
|
|
|
1) |
1; |
|
|
; |
|
3) |
1; − |
|
|
|
. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3. |
Проверить подстановкой, что дифференциальные уравнения 1) y′′+ 4y = 0 и |
|
2) y′′′−9y′ = 0 |
имеют |
соответственно |
общие |
решения: |
|
1) y = C1 cos 2x +C 2 sin 2x и 2) y = C1 +C 2 e3x |
+C3e−3x . |
|
|
|
4. |
Дано общее решение y = C1 sin 2x +C 2 cos 2x дифференциального уравнения |
|
y′′+ 4y = 0 . Какое частное решение получается при C1 |
= 2 , C 2 = 3 ? При ка- |
|
ких |
значениях параметров |
C1 , |
|
|
C 2 |
|
|
|
|
получаются |
частные |
решения: |
|
1) y = sin 2x |
и 2) y = cos 2x ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Показать, |
что |
функция y = C1e3x + |
|
1 |
x + |
1 |
является |
решением |
уравнения |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
y′′− 4y′+ 3y = x −1 . Является ли это решение общим?
Ответы: 1. Первое уравнение – дифференциальное уравнение 1-го порядка, второе – 2-го порядка,
|
третье – 1-ого порядка, причем неизвестная функция обозначена через |
|
r = r(ϕ), а ее первая производная через |
dr |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
четвертое – уравнение 3-его порядка, |
|
|
|
|
|
пятое – первого порядка, получено из уравнения |
2st |
ds |
= (1 +t 2 ) |
умножением |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
обеих частей уравнения на dt , где неизвестная функция обозначена через
s = s(t ), а ее первая производная |
ds |
. |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
2. Уравнения интегральных кривых: |
1) y = |
x 3 |
; |
2) y = x 3 ; |
|
3) y = − |
x 3 |
. |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
4. y = 2sin 2x + 3cos 2x - частное решение.
1)при C1 =1 , C 2 = 0 .
2)при C1 = 0 , C 2 =1.
5. Это решение не является общим, так как содержит только одну произвольную постоянную С1 , а порядок уравнения равен 2.
§2. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям
1. Размножение бактерий
Опытным путем установлено, что при определенных условиях скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. Так как сами бактерии очень малы, а их количество велико, то можно считать, что масса бактерий с течением времени меняется непрерывно. Скорость прироста массы бактерий называется скоростью размножения.
Обозначим через x = x (t ) массу всех бактерий в момент времени t, тогда
dxdt будет скоростью размножения этих бактерий. Так как скорость размно-
жения пропорциональна количеству бактерий, то существует |
постоянная |
k > 0 такая, что |
|
|
|
dx |
= kx . |
(1) |
|
dt |
|
|
|
По условию х и dxdt неотрицательные, поэтому коэффициент k тоже не-
отрицательный, при k = 0 задача не имеет смысла, так как никакого размножения не происходит.
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением размножения и является простейшим примером дифференциального уравнения.
Легко проверить, что любая функция вида
x = Ce kt , (2)
где С – некоторая постоянная является решением уравнения (1). Действительно:
dxdt = dtd (Ce kt )= C dtd ekt = Cke kt = k (Ce kt )= kx .
Можно доказать, что все решения уравнения (1) задаются формулой (2), поэтому функция (2) является общим решением уравнения (1).
Если мы знаем значение коэффициента k, который зависит от вида бактерий и от внешних условий, и массу m0 бактерий в некоторый момент вре-
мени t0 , то есть заданы начальные условия x (t0 )= m0 , то по формуле (2) мы можем получить массу бактерий в любой момент времени t.
Действительно, если x (t0 )= m0 , то
m0 = Ce kt 0 , C = m0 e−kt 0 ,
и, следовательно, подставляя найденное значение С в формулу (2) получим: x (t )= m0 e−kt 0 ekt = m0 ek (t −t0 ) –
частное решение уравнения (1) удовлетворяющее заданным начальным условиям.
2. Радиоактивный распад
Из экспериментов известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству вещества. Таким образом, если через x = x (t ) обозначить массу вещества, еще не распавшегося к момен-
|
ту времени t, то скорость распада |
dx |
удовлетворяет следующему уравнению: |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= −kx (t ), |
|
(1) |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
где k – некоторая положительная постоянная. |
|
|
|
В уравнении (1) поставлен знак минус, так как x (t )> 0 , а |
dx |
< 0 . |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением радиоактив- |
|
ного распада. |
|
|
|
|
Можно показать, что любая функция вида |
|
|
|
|
x = Ce −kt , |
|
(2) |
где С – некоторая постоянная, является решением уравнения (1) и других решений это уравнение не имеет. Следовательно, формула (2) задает общее решение уравнения (1).
Коэффициент k определяется видом радиоактивного вещества. Постоянную С можно найти из начального условия в некоторый момент времени t0 . Действительно, пусть x (t0 )= m0 .
Тогда из (2) при t = t0 получаем
C = m0 ekt 0 .
Следовательно, решение
удовлетворяет заданным начальным условиям и является частным решением уравнения (1).
На практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется так называемым периодом полураспада, т.е. временем, за которое распадается половина имеющегося вещества. Если обозначить период полураспада через Т и выразить k через T , то в результате не сложных преобразований
|
t −t |
решение (3) примет вид x = m0 2− |
0 |
. |
|
|
T |
В частности, если t0 = 0 , то x = m0 2− |
t |
|
. |
T |
Замечание. Многие процессы образования или распада вещества удов- |
летворяют следующему условию: скорость изменения количества вещества пропорциональна некоторой функции от имеющегося количества вещества в рассматриваемый момент времени.
Если обозначить через x = x (t ) количество вещества в момент времени t, то рассматриваемый процесс будет описываться уравнением:
x ′(t )= kf (x ),
где f (x ) - некоторая функция характеризующая данный процесс, а k – коэф-
фициент пропорциональности. Коэффициент k – может быть постоянным, то есть не зависеть от времени t, а может и зависеть от t.
Например, в уравнении размножения бактерий коэффициент k – не будет постоянным, если условия размножения (температура, освещение и т.д.) меняются во время эксперимента.
Таким образом, в общем случае имеем уравнение:
x ′(t )= k (t )f (x ).
Уравнения такого вида будут рассматриваться в §3.
270
3. Математическая модель демографического процесса
Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности k1 и k 2
соответственно.
Обозначим через y = y(t ) - число жителей региона в момент времени t.
Прирост населения ∆y за время ∆t равен разности между числом ро-
дившихся и умерших за это время, т.е.
∆y = k1 y∆t − k 2 y∆t
или |
∆y |
= ky , где k = k1 − k 2 . |
|
|
∆t |
|
|
Переходя к пределу при ∆t → 0 , получаем уравнение |
|
|
|
y′ = ky . |
|
|
Общим решением этого уравнения будет функция |
|
|
|
y = Ce kt , |
(1) |
где С – произвольная постоянная, которую можно определить исходя из начальных условий – численности населения в начальный момент времени. Функция (1) является математической моделью демографического процесса, то есть задает закон изменения численности населения с течением времени.
4. Уравнение движения точки
Рассмотрим движение точки М массой m по прямой l под действием силы F.
Если на l выбрать некоторую точку О и направление слева направо, то
положение точки М на прямой l |
в момент времени t будет характеризоваться |
координатой x = x (t ). |
|
|
|
ℓ |
|
M |
x |
|
0 |
x(t) |
Как известно, |
первая производная |
′ |
x (t ) является скоростью точки М, |
вторая производная |
′′ |
|
x (t ) - ускорением точки М в момент времени t. В силу |
второго закона Ньютона справедливо следующее уравнение:
Это уравнение называется уравнением движения точки М.
Сила F может зависеть от времени t, от положения точки x и от скоро-
сти |
′ |
|
x (t ), то есть в общем случае уравнение (1) примет вид: |
|
|
mx ′′ = F (t, x , x ′). |
(2) |
Заметим, что уравнение (2) является дифференциальным уравнением второго порядка, так как содержит производную второго порядка.
Как известно из физики, для однозначного описания движения точки, кроме уравнения движения, необходимо знать положение и скорость точки в некоторый момент времени t0 :
x (t0 )= x 0 , x ′(t0 )= v0 . |
(3) |
Условия (3) являются начальными условиями для уравнения (2), а задачей Коши будет задача отыскания частного решения уравнения (2) удовлетворяющего начальным условиям (3).
5. Уравнение гармонических колебаний
Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка
x ′′+ω2 x = 0 , |
(1) |
где ω - некоторое положительное число. |
|
Непосредственной подстановкой проверяется, что функция |
|
x = A cos(ωt +α), |
(2) |
где А и α - произвольные постоянные, является решением уравнения (1). Можно показать, что других решений уравнение (1) не имеет. Таким образом, формула (2) является общим решением уравнения (1).
Функция (2) при любых заданных A, ω, α описывает гармонический колебательный процесс. Число А называется амплитудой, число α - начальной фазой колебания, положительное число ω - называется частотой колебания.
Уравнение (1) называется уравнением гармонических колебаний.
Заметим, что общее решение (2), как решение дифференциального уравнения второго порядка, содержит две произвольные постоянные: амплитуду А и начальную фазу α , для определения которых (для решения задачи Коши) нужно задать начальные условия вида:
x (t0 )= x 0 , x ′(t0 )= v0 .
§3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Если это уравнение разрешено относительно y′, то это уравнение имеет
вид:
y′ = f (x , y) или dy = f (x , y)dx
Общим решением уравнения (1) будет функция y = y(x ,C ), зависящая от
х и от одной произвольной постоянной, и обращающая это уравнение в тождество. Общий интеграл (общее решение, заданное в неявном виде) для уравнения (1) : Φ(x , y,C )= 0 .
Частным решением уравнения (1) будет решение y = y(x ,C0 ), получен-
ное из общего при фиксированном значении С. Частный интеграл (частное решение), заданный в неявном виде для уравнения (1): Φ(x , y,C0 )= 0
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка формулируется следующим образом:
Найти частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданным начальным условиям: y = y0 при x = x 0 .
Другими словами: найти интегральную кривую уравнения (1), проходящую через заданную точку M 0 (x 0 , y0 ).
О решении задачи Коши говорит следующая теорема (без доказатель-
ства):
Если в уравнении y′ = f (x , y) функция f (x , y) и ее частная производная
∂∂fy непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей неко-
торую точку M (x 0 , y0 ), то существует единственное решение этого уравне-
нияy = y(x ), удовлетворяющее условию y = y0 при x = x 0 .
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: существует и при том единственная функция y = y(x ), график которой проходит через
точку с координатами x 0 и y0 .
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение первого порядка:
|
y |
′ |
|
|
|
y |
|
(2) |
|
= − x |
|
|
|
Общим решением этого уравнения будет: |
|
|
y = |
C |
|
(3) |
|
x |
|
|
|
|
|
(можно проверить подстановкой). Найдем частное решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим начальным условиям: y0 =1 при x 0 = 2 . (4)
Подставим (4) в (3), получим 1 = С2 , отсюда С = 2 , тогда частное реше-
ние примет вид y = x2 .
Геометрически это означает, что найдена единственная интегральная кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через заданную точку М (2; 1) (см. рис 1).
|
y |
c=–2 |
M(2,1)c=2 |
c=–1 |
c=1 |
0 |
x |
Рис 1
Определение 1. Дифференциальное уравнение вида
P(x )dx +Q(y)dy = 0 , |
(4) |
где Р(х) – заданная функция, зависящая только от х, Q(x) – заданная функция, зависящая только от у, называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Заметим, что в частном случае Р(х) и Q(x) могут быть постоянными величинами.
Например, уравнения
(x 2 +1)dx + e y dy = 0 , x 3 dx + 5dy = 0
являются уравнениями с разделенными переменными, а уравнение xdx − (x + y)dy = 0
не является таковым.
Общим интегралом дифференциального уравнения (4) будет
∫P(x )dx + ∫Q(y)dy = C , |
(5) |
где С – произвольная постоянная, причем формула (5) содержит все решения уравнения (4).
Пример 2. Найти частное решение уравнения xdx + ydy = 0 , удовлетво-
ряющее начальным условиям y0 = 3 при x 0 = 4 .
Решение. Это дифференциальное уравнение является уравнением с разделенными переменными, поэтому воспользуемся формулой (5)
∫xdx + ∫ydy = C ,
интегрируя, получим:
|
x 2 |
+ |
y 2 |
= C или |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x 2 + y 2 = 2C . |
|
Полагая, 2C = R 2 (что можно сделать, так как x 2 + y 2 |
≥ 0 ), общий инте- |
грал запишем в виде |
|
|
|
|
x 2 + y 2 = R 2 . |
(6) |
Геометрически общий интеграл представляет собой |
семейство концен- |
трических окружностей радиусов R с центром в начале координат (см. рис 2).
Теперь найдем частный интеграл, то есть найдем окружность, проходящую через точку М(4; 3).
Подставляя координаты точки М в уравнение (6), находим
42 |
+ 32 = R 2 |
или R 2 = 25 |
Подставим значение R 2 |
в общий интеграл (6), получим искомую ок- |
ружность: x 2 + y 2 = 25 . |
|
y |
|
|
|
|
|
c=5 |
|
|
|
c=4 |
M(4,3) |
|
c=3 |
|
|
|
|
c=2 |
|
|
|
c=1 |
|
|
|
0 |
1 2 3 4 5 |
x |
Рис 2
Определение 2. Дифференциальное уравнение вида
P1 (x )Q1 (y)dx + P2 (x )Q2 (y)dy = 0 , |
(5) |
где P1 (x ), P2 (x ) – функции только от х, а Q1 (y), Q2 (y) – функции только от у, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение (5) делением обеих частей уравнения на произведение Q1 (y)P2 (x ) может быть приведено к уравнению с разделенными переменными:
|
P1 |
(x )Q1 |
(y) |
P2 |
(x )Q2 |
(y) |
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
|
|
|
dy = 0 |
|
|
Q |
(y)P |
(x ) |
Q |
(y)P |
(x ) |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
(x ) |
Q2 |
(y) |
|
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx + |
|
|
|
|
|
|
dy = 0 |
|
|
|
|
P |
|
(x ) |
|
|
Q |
|
(y) |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Общим интегралом уравнения (6), а, следовательно, и (5) будет: |
|
|
|
∫ |
P1 (x ) |
dx + ∫ |
Q2 |
(y) |
dy = С . |
|
|
|
P (x ) |
Q |
(y) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Замечание. При делении на произведение Q1 (y)P2 (x ) можно потерять те решения уравнения (5), которые обращают это произведение в ноль. Если P2 (a)= 0 (или Q1 (b)= 0 ), то функция x = a ( y = b ) также будет решением этого уравнения. Геометрически решения x = a и y = b , если они имеются, пред-
