mat_analiz
.pdfЗадача 5. Рассматривается реакция инверсии сахара5. Известно, что количество сахара, инвертирующегося в единицу времени, пропорционально его количеству. Найти закон инверсии сахара и по известному начальному количеству найти количество сахара в растворе по истечении времени t.
Решение. Пусть а – начальное количество сахара в растворе, х – количество сахара, которое инвертируется к моменту времени t. Представим сформулированное свойство инверсии сахара в дифференциальной форме.
Зафиксируем некоторый момент времени t и дадим ему приращение ∆t. За это время инвертируется ∆х сахара. Тогда по свойству инверсии сахара, имеем: ∆x=k(a-x)∆t (k– константа скорости реакции) или
dx=k(a-x)dt. (1)
Это выражение – искомый дифференциальный закон инверсии сахара. Решая дифференциальное уравнение (1), разделим переменные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
=kdt, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a − x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
=k |
∫dt , |
||||
|
a − x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
– ln|a – x| = kt-ln с или ln |
|
a − x |
|
− ln c = −kt , |
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
а− х |
|
|
= −kt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
а − х |
=е-kt, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
а-х=с е-kt, |
||||||||||
|
|
|
|
|
х=а- с е-kt. |
|||||||||||
Имеем начальные условия: при t=0 |
х=0: |
|||||||||||||||
0=а-се0, отсюда с=а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, зависимость количества инвертируемого сахара от времени имеет вид:
х=а – ае-kt или х=а(1- е-kt).
5 Инверсия сахара – это гидролиз сахарозы, сопровождающийся изменением направления вращения плоскости поляризованного луча света под воздействием раствора сахара.
339
Ответ: dx=k(a-x)dt; х=а(1- е-kt).
Рассмотренная задача инверсии сахара – это пример реакции первого порядка. Порядок химической реакции равен сумме степеней концентраций, входящих в кинетическое уравнение. Скорость такой реакции – это скорость, с которой изменяются концентрации веществ, участвующих в реакции. Концентрация или действующая масса реагирующего вещества – это количество моль этого вещества в единице объема. По закону действующих масс скорость реакции пропорциональна действующим массам в данный момент.
Если а – начальная концентрация вещества А, х – количество моль на литр, прореагировавших за время t от начала реакции, то скорость реак-
цииdxdt , а действующая масса к этому моменту а-х.
Закон действующих масс выразится дифференциальным уравнением реакции первого порядка:
dxdt =к(а-х), где к – константа скорости (коэффициент пропорциональности),
зависящий от рода и условий химического процесса. Возможно найти решение этого уравнения и коэффициент пропорциональности к.
Найдем общее решение этого уравнения:
dx =kdt, a − x
∫adx− x =k ∫dt ,
–ln|a – x| = kt-ln с или ln с – ln|а-х|=кt,
ln |
|
с |
= kt | |
(2) |
|
|
а− х |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
а −с х =еkt,
а-х=с е-kt, х=а- с е-kt.
Имеем начальные условия: при t=0 х=0:
0=а-се0, отсюда с=а.
340
Подставим это значение в решение уравнения (2): ln а −а х =кt,
к= 1t ln а −а х .
Аналогично можно составить и решить в общем виде дифференциальные уравнения химических реакций второго и третьего порядка.
Задача 6. Скорость распада радия пропорциональна его наличному количеству. Половина его первоначального количества распадается в течение 1600 лет. Какой процент данного количества а радия распадается в течение
100 лет?
Решение. Имеет место реакция первого порядка. Дифференциальное уравнение реакции:
dxdt =к(а-х).
Его решение: х=а(1- е-kt) (при условии х=0, t=0).
Дополнительные условия: х= а2 , t=1600:
|
а |
=а(1-е-1600к), |
|
1 |
=1- е-1600к, е-1600к= |
1 |
, ln е-1600к=ln0,5, 1600к=ln2, |
|
2 |
2 |
2 |
||||
1600к≈0,6931, |
к≈0,0004. |
Значит, х=а(1- е-0,0004t). При t=100: х=а(1- е-0,04)≈а(1-0,961)=0,039а, т.е. через
100лет распадется только 4% радия. Ответ: 4%.
Задача 7. В реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натра первоначальные концентрации уксусноэтилового эфира и гидроксида натра равны соответственно а=0,01 и b=0,002. Спустя 23мин концентрация уксусноэтилового эфира уменьшилась на 10%. В какое время она уменьшится на 15%?
Решение. Реакции омыления уксусноэтилового эфира гидроксидом натра - реакция второго порядка. Пусть х моль уксусноэтилового эфира прореагировало к моменту t (мин). Значит, и гидроксида натра прореагировало
341
столько же моль (каждая моль первого вещества соединяется с моль второго вещества и поэтому число прореагировавших моль обоих веществ одинако-
во). В момент t скорость реакции равна dxdt . Концентрация реагирующих ве-
ществ (действующая масса) равна а-х и b-х соответственно. По закону действующих масс дифференциальное уравнение химической реакции второго порядка имеет вид:
dxdt =k(а-х)(b-х).
Разделим переменные:
dt = dx . k(a − x)(b − x)
Для решения применим метод интегрирования рациональных функций:
t = |
1 |
∫ |
|
dx |
|
= |
1 |
∫ |
Adx |
+ |
1 |
∫ |
Bdx |
= |
1 |
(ln(a − x) −ln(b − x) − ln C)= |
|||
|
(a − x)(b − x) |
|
|
|
|
k(a −b) |
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
k a − x k b − x |
|
|
||||||||||||
= |
|
1 |
|
ln |
|
a − x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
k(a −b) |
C |
(b − x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения величины С используем начальные условия: при t=0 х=0.
0= |
1 |
ln |
a |
, отсюда C = |
a |
. |
k(a −b) |
Cb |
|
||||
|
|
|
b |
Подставляя найденное значение С в общее решение (3), получим частное ре-
шение: t = |
1 |
ln |
b(a − x) |
. |
(4) |
k(a −b) |
|
||||
|
|
a(b − x) |
|
Константу скорости реакции k найдем из дополнительных условий: при t=23мин x = 0,1 a = 0,1 0,01 = 0,001.
23 = |
|
1 |
ln |
0,002(0,01 − 0,001) |
= |
1000 |
ln1,8 ≈ |
1000 0,588 |
= |
588 |
= |
147 |
||
k(0,01 − 0,002) |
0,01(0,002 − 0,001) |
|
8k |
8k |
|
2k |
||||||||
|
|
|
|
8k |
|
|
|
|||||||
k= |
147 |
≈ 3,19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим числовые значения в решение (4): x = 0,15 a = 0,15 0,01 = 0,0015
t = |
1 |
ln |
0,002(0,01 |
− 0,0015) |
= |
1000 |
ln 3,4 ≈ 47,9(мин) |
|
3,19(0,01 − 0,002) |
0,01(0,002 |
− 0,0015) |
8 3,19 |
|||||
|
|
|
|
342
Примерно через 48 мин количество уксусноэтилового эфира уменьшится на 15%.
Решение: 48мин.
Рассмотрим дифференциальное уравнение изменения численности популяции. Пусть n(t) – число индивидуумов популяции в момент t. Для исследования функции n(t) допустима ее замена непрерывной дифференцируемой функцией у(t), имеющей в каждый момент времени t ту же целую часть, что и разрывная функция n(t). В простейшем случае предполагается, что скорость
ddtу изменения численности популяции пропорциональна ее наличному коли-
честву. Тогда дифференциальное уравнение изменения численности популя-
ции имеет вид: ddtу = (к1 − к2 ) у , где к1 – коэффициент, характеризующий рож-
даемость (к1>0), к2 – коэффициент смертности индивидуумов популяции(к2>0).
Решим полученное уравнение при начальной численности популяции
у0 и исследуем решение. Разделим переменные и интегрируем: |
dу |
= (к1 − к2 )dt, |
|||||||
у |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln y = (к1 − к2 )t + ln c. |
При |
t=0 имеем ln y0 = ln c , то есть |
у0=с. Значит, |
||||||
|
y |
|
(к −к |
)t |
. |
|
|
||
ln |
|
= (к1 − к2 )t, y = y0 e |
1 2 |
|
|
|
|||
y0 |
|
|
|
Исследуем полученное решение (модель Мальтуса). При к1>к2 популяция растет неограниченно, так как e(к1 −к2 )t → + ∞ при t → + ∞. При к1=к2 получаем неустойчивое равновесное состояние у=у0. При к1 <к2 численность популяции стремится к нулю.
Задача 8. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, а в течение 3ч их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 ч?
343
Решение. Пусть х – количество бактерий, имеющихся в данный мо-
мент. Скорость их размножения: dxdt . По условию дифференциальное уравне-
ние задачи:
dxdt =кх, где к – коэффициент пропорциональности (константа скорости) меж-
ду скоростью размножения бактерий и их числом.
Разделим переменные: dxx = кdt, интегрируем ln x = kt +
ln c или х=секt.
Начальные условия: при t=0 х=100
100=се0, с=100. Значит, х=100екt. Найдем коэффициент к. По условию задачи
при t=3 |
х=200: |
|
|
|
||||
200=100е3к, |
е3к=2, 3к=ln2, |
к= |
ln 2 |
. |
||||
3 |
||||||||
х=100 е |
ln 2 |
t |
, отсюда x =100 2 |
t |
- искомая зависимость количества бактерий от |
|||
|
3 |
|
||||||
3 |
времени. Чтобы найти во сколько раз увеличилось количество бактерий в течение 9ч, найдем значение х при t=0 и t=9:
х(0)=100·20=100, х(9)=100·23=800.
Значит, в течение 9ч количество бактерий увеличилось в 8 раз.
t
Ответ: х= 100· 23 , в 8 раз.
Задания для самостоятельной работы
1.Найти величину центрального угла кругового сектора, чтобы из него можно было изготовить конусообразный фильтр с максимальным объемом.
2.Реакция второго порядка по веществу В и первого порядка по веществу А, происходит со скоростью равной v=к(а0-х)(b0+х)2, где а0 и b0 начальные концентрации веществ А и В соответственно, к – константа скорости, зависящая от условий реакции. Найти значение х, когда скорость реакции максимальна.
344
3.Пусть в реакции окисления оксида азота(II) кислородом содержатся компоненты, не принимающие участия в химической реакции. Найти отношение концентрации кислорода к концентрации оксида азота(II), когда скорость окисления максимальна.
4.Составить уравнение кинетики для автокаталитической реакции при условии, что реакция по исходному веществу А второго порядка, а по продукту реакции В(катализатора) – первого. Найти условие, при котором скорость образования вещества В будет максимальной.
5.Две стадии последовательной реакции А→В→С, каждая из которых первого порядка с одинаковыми константами к, имеют кинетические уравне-
ния dxdt =-кх и ddtу =-к(х-у), где х(0)=1,у(0)=0. Найти максимальную концен-
трацию промежуточного вещества В и момент времени, когда эта концентрация будет максимальной.
6.В сосуд, наполненный 5л раствора, содержащего 1,5кг растворенного сахара, в каждый час поступает 1л воды. Также из сосуда в каждый час вытекает 0,5л раствора (концентрация сахара поддерживается постоянной). Найти массу сахара, которая будет содержаться в сосуде через 12часов.
7.Резервуар наполнен 75 л воды, содержащей 3кг растворенного вещества. Приток воды в резервуар составляет 4л в минуту, а расход смеси из резервуара 2л в минуту. Концентрация поддерживается постоянной посредством перемешивания. Найти массу вещества, которая будет содержаться в резервуаре через 25 мин.
8.Скорость растворения вещества пропорциональна наличной концентрации х нерастворенного вещества и разности концентрации насыщенного раствора и концентрации раствора в данный момент6. Подвергая 10 моль соли действию 90л воды, обнаружили, что в течение часа растворилась половина этого количества. Считая концентрацию насыщенного раствора
6 Концентрацией раствора в данный момент называется отношение количества растворенного вещества к объему V растворителя.
345
соли равной 13 , найти количество растворенной соли в течение часа, если за это время было влито 180л воды.
9.Сосуд объемом 40л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает каждую секунду 0,2л азота, который непрерывно размешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде
будет 99% азота?
10.В резервуар, содержащий 10кг соли на 100л смеси, каждую минуту поступает 30л воды и вытекает 20л смеси. Определить, какая масса соли останется в резервуаре через t мин, если смесь мгновенно перемешивается.
11.Сосуд емкостью 100л наполнен раствором, содержащим 10кг растворенной соли. В одну минуту в него втекает 3л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же емкости, первоначально наполненный водой, из которой избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах будет одинаково?
12.Через сосуд емкостью а л, наполненный водным раствором некоторой соли, непрерывно протекает жидкость. В единицу времени втекает b л воды и вытекает такое же количество раствора. Найти закон изменения содержания соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд.
13.Колония микроорганизмов обитает в идеально (или искусственно созданных) условиях, располагает неограниченными ресурсами питания и не подавляется никаким другим видом. В силу естественных процессов размножения (путем самооплодотворения) и гибели число живых организмов колонии меняется с течением времени: прирост пропорционален количеству взрослых членов. Найти закон изменения общего количества живых организмов в колонии.
14.По известному закону инверсии сахара и его начальному количеству а и коэффициенту скорости процесса к найти время, за которое количество сахара уменьшится вдвое.
346
15.В воде растворяется бензойная кислота. Спустя 10мин после начала растворения концентрация раствора составляет 6%. Найти концентрацию раствора спустя 30мин, считая скорость растворения пропорциональной разности концентраций насыщенного и существующего в данный момент растворов.
16.В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна наличному его количеству х. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Во сколько раз оно увеличится через 3ч?
17.При разложении с постоянной скоростью 1кг СаСО3(мел) его масса стала 0,4кг через 20 мин. Через какое время масса СаСО3 станет равной 0,1кг?
18.В воде с температурой 20° в течение 10мин тело охлаждается от 100° до 60°. Во сколько времени тело охладится до 30°, если по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур тела и охлаждающей среды?
19.Если при постоянной температуре скорость растворения твердого тела М в жидкости пропорциональна количеству этого вещества, еще могущего раствориться до полного насыщения жидкости, то какова зависимость количества х растворившегося вещества от времени t?
20.Радиоактивный элемент А распадается наполовину, образуя радиоактивный элемент В, в течение 26,7мин. Найти время распада 0,2 первоначального количества А.
21.Некоторое количество радиоактивного вещества распадается по закону распада с константой к. Найти время, в течение которого количество вещества уменьшится вдвое и среднюю продолжительность существования атома этого вещества.
22.Вещество А превращается в вещество В. Спустя 1ч после начала реакции осталось 44,8г вещества А, а после 3ч вещества А осталось 11,2г. Опреде-
347
лить первоначальную массу вещества А и время, когда останется 641 часть
этого вещества.
23.Под действием постоянного излучения в газовой среде происходит процесс ионизации, при котором за 1сек образуется q положительных и q отрицательных ионов в данном объеме газа. Положительные и отрицательные ионы снова соединяются между собой и количество их убывает. Из общего количества п положительных ионов в каждую секунду соединяется часть, пропорциональная квадрату их количества. Коэффициент пропорциональности k зависит от природы и состояния газа. Найти зависимость количества ионов от времени t.
24.Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму круга, пропорциональна окружности листа и количеству солнечного света, падающего на него. Последнее пропорционально площади листа и косинусу угла между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти зависимость между площадью листа и временем t, если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600см2, а в 18 часов того же дня – 2500см2. Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6 часов утра и в 18 часов равен 90°, а в полдень - 0°.
25.Определить константу скорости реакции второго порядка при различных концентрациях а и b веществ А и В.
26.Определить константу скорости реакции второго порядка при равных концентрациях веществ А и В.
27.Определить константу скорости реакции третьего порядка при разных концентрациях а, b, c веществ А, B, C.
28.Определить константу скорости реакции третьего порядка при двух равных концентрациях а≠ b, а=с веществ А, В, С.
29.Определить константу скорости реакции третьего порядка при равных концентрациях а=b=c веществ А, B, C.
348