mat_analiz
.pdfИндивидуальная работа №1 Пределы.
Указание. Перед выполнением заданий параметры a и b , входящие в условия задач, следует заменить их числовыми значениями, которые определяют по номеру N варианта индивидуального задания . Значение параметра a равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N. Например, если N=23, то a = 2 и b = 3; если N=10, то a =1 и
b = 0 ; если N=3, то a = 0 и b = 3. |
|
|
|
|
|||||||||||
Задание 1. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа |
∞ ): |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
а) |
lim |
|
|
|
(a +1)x b+3 + bx b+2 +1 |
; |
|
|
|||||||
|
|
(b |
+ 3)x b+3 + (a +1)b + a |
|
|
||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
||||||||||
б) |
lim |
|
|
ax b+4 + x b+3 + 2 |
; |
|
|
|
|
||||||
(b |
+ 4)x b+2 + ax b |
+b |
|
|
|
|
|||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
lim |
|
|
(a + 5)x a+1 + bx a + 3 |
|
. |
|
|
|||||||
|
(b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x →∞ |
+1)x a+b+2 + bx + a + b |
|
|
|||||||||||
Задание 2. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа |
0 ): |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
а) |
lim |
|
|
x 2 −(a +1)2 |
|
|
; |
|
|||||||
|
|
2 +(b −a +1)x −(ab + |
2a +b + 2) |
|
|||||||||||
|
x →a+1 x |
|
|
||||||||||||
б) |
lim |
|
|
x −a −1 |
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
a +1 − 2a +2 −x |
|
|
|
|
|||||||||
|
x →a+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
в) |
lim |
3 1 + (b +1)x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(2 + a)x 2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Найти пределы (раскрыть неопределенности типа ∞ − ∞):
а) lim |
|
1 |
|
|
|
|
a +b +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
−2 |
2 |
2 |
; |
||
x →a+b+1 |
x −a −b −1 |
|
x |
|
−(a +b +1) |
|
б) |
|
x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
lim |
|
|
− |
|
|
; |
|||
|
|
|
(b +1)x −1 |
||||||
|
x →∞ (a + 2)x 2 |
+1 |
|
||||||
в) lim (3 |
x 3 +(a +1)−3 x 3 −b −1); |
||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
+b − x 2 ). |
|
||
г) |
lim ( |
x 4 +(a +1)x 2 |
|
||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
319
Задание 4. Найти пределы, используя первый замечательный предел и его следствия:
а) |
lim |
(a +3)sin 7x |
|
; |
б) |
lim |
4tg(a +1)x |
; |
|
|
||
sin x |
|
|
|
|||||||||
|
x →0 |
|
|
x →0 |
|
sin 2x |
|
|||||
в) |
lim |
(b +3)sin x |
; |
|
г) |
lim |
|
sin(x −a −3) |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x →0 |
x + ax 2 |
|
|
x →a+3 (b +1)(x 2 −(a +3)2 ) |
|
||||||
д) |
lim arcsin (b −a +1)x ; |
е) |
lim 1−cos(a + 2)x . |
|
||||||||
|
x →0 |
x 3 + x |
|
|
x →0 |
|
(b +1)x 2 |
|
Задание 5. Найти пределы, используя второй замечательный предел:
а) |
|
2x +1 |
(a+1)x 2 |
б) |
|
x 2 |
+1 x 2 +bx +1 |
|||||||
lim |
|
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
x →∞ x −1 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x →∞ |
|
+ b |
|
||||||||
г) |
lim (1 + x ) |
a+3 |
; |
д) |
lim (1+ln x ) |
b+1 |
; |
|||||||
x |
ln x |
|
||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a +1 |
x |
|
|||
в) |
|
b+2 |
|
|||||
lim 1+ |
|
|
|
|
; |
|||
x |
|
|||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
4x +1 |
(a+b+1)x |
|||||
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
4x −1 |
|
|
||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
Задание 6. Найти пределы, ного предела:
а) |
lim |
ln(1+(a + 4)x ) |
; |
|||
|
(b +3)x |
|||||
|
x →0 |
|
|
|||
в) |
lim |
|
ln(1+sin x ) |
; |
||
|
|
|
|
|||
|
x →0 x + ax 2 + bx 3 |
|
||||
д) |
lim |
|
e(a+1)x −1 |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
x →0 |
|
3(1 + b)x |
|
используя следствия второго замечатель-
б) |
lim |
|
ln(1+ x ) |
; |
|
|
|
|
x +(b + a)x |
|
|
||||
|
x →0 2 |
|
|
|
|||
г) |
lim |
e x −a−2 −1 |
|
|
; |
||
(b +1)(x − a − |
2) |
||||||
|
x →a+2 |
|
320
Индивидуальная работа №2
В заданиях I-III параметры a и b определяются по номеру N варианта, а именно, значение параметра а равно числу десятков номера N, а значение параметра b равно числу единиц номера N.
Задание I. Найти производные следующих функций:
1. |
y = |
5 x b+5 −3x b+3 + 2x a+b −(a + b) x |
; |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
y = |
|
a +b +1 4 x b+2 |
− a +b +1; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
3 x b+1 |
|
|
|
|
|
|||
3. |
y = (2 x b+1 −eb+1 ) ((b + 2)x +logb+2 x ); |
|
|
|
|
||||||||
4. |
y = |
|
(a +b +1) sin x + x a+b+1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a +b ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = |
x a+2 arctgx |
+ |
(b + 3)x |
+ arcsin x |
|
, x 0 = 0 . |
|
|
|
|
||
a + b + 2 |
(a + b + 2) cos x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Задание II. Найти производные следующих функций: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = (a +b +1) earctg |
x 2 |
|
1. |
y = ((b + 2) x b+2 −(b +3) x b+3 +(a +b + 2)2 )a+b+2 ; |
2. |
|
; |
|||||||||
a+b+1 |
|||||||||||||
3. |
y = ln x 3 +(b +1) x + a +1, x 0 = 0; |
|
4. y = (x + a +b)3 cos2 ((b +1) x + a) ; |
||||||||||
5. |
y = (b −4)2 +arcsin2 (b +1− x ) , x 0 = b +1; |
6. |
y = sin a+b ln 3 (b + 2)x + a. |
||||||||||
|
|
|
a +1+ 2 eb+1−x |
|
|
|
|
|
|
|
Задание III. Используя правило Лопиталя, найти пределы:
1. |
lim |
|
ln(x 2 −b2 +1) |
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x →b x 2 +(5 −b)x −5b |
|
|
|
||||||||||||
3. |
lim |
((a + b)2 − x 2 ) |
ctg |
πx |
; |
|||||||||||
a + b |
||||||||||||||||
|
x →(a+b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
|
2(a+b) |
; |
|
|
|
|
|
||||
lim(cos x ) |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x tg |
x |
|
|
|
|
|||||
7. |
|
2 |
|
|
a+b |
. |
|
|
|
|||||||
lim sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x →0 |
|
|
+ b |
|
|
|
|
|
|
2. |
lim |
(5 − a)2 + x a+2 + x b+1 |
; |
|
||||||||||
|
|
(b + 2) ln x |
|
|
|
|
||||||||
|
x →+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
|
3(b + 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
lim |
|
|
|
|
− |
|
|
|
; |
|||||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
− (b + 2) |
|
|
x |
− |
(b + 2) |
|
|||||
|
x →(b+2) x |
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
lim ((a + 2) + (b + 2)x ) |
|
a+4 |
|
|
|||||||||
x |
|
; |
|
|
||||||||||
|
x →+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
321
Индивидуальная работа №3
Задание I. Найти асимптоты следующих кривых:
а) у = |
b +1 |
; |
||
х+ а +b +1 |
|
|||
б) у = |
(b +1)х |
; |
||
х+ а + b +1 |
||||
|
|
|||
в) у = |
(b +1)х2 |
. |
||
1 + a +b + х |
||||
|
|
|||
Задание II. Найти промежутки монотонности и экстремумы следующих |
||||
функций: |
|
|||
а) у = х3 −(b − 2a)х2 −bх + a ; |
б) у = х4 + (b − 2a)х2 −bx + a ;
в) у = (b + 2a)x ln х.
Задание III. Найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций на указанных отрезках:
а) |
у = х4 −(b − 2a)х2 −bx − a на [− 2;3]; |
|||||||||
б) |
у = |
х+ 2b − a |
на [0;5]; |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
х− 2а + b |
|
|
|
|||
в) |
у = |
b +1 |
|
|
|
на [-1;2]. |
||||
а +b +1 + х2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задание IV. Исследовать следующие функции и построить их графики: |
||||||||||
а) |
у = |
|
|
а + b |
; |
|||||
|
|
(2а + b)2 − х2 |
||||||||
б) |
у = |
(a + b)х |
|
|
; |
|||||
х2 −(2а+ b)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
у = |
|
(a +b)х2 |
|
. |
|||||
|
х2 −(2а+ b)2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
322
Индивидуальная работа №4 Неопределенный интеграл
Задание I. Вычислить интегралы:
1. |
∫ |
|
x +1 |
|
|
dx ; |
|
2. |
∫ |
(x +1)(1 + x ) |
dx ; |
3. |
∫ |
2 |
5 x |
5 |
2 x |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
x |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
|
|
x |
|
|
|
|
e |
−x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫e |
|
1 + |
|
|
x |
3 |
dx ; |
5. |
∫sin |
|
|
|
2 |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
6. |
∫ |
1 |
− cos 2x |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|
8. |
∫sin |
x |
cos |
x |
|
|
dx ; |
9. |
∫ |
|
|
3 |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||
|
1 + tg |
2 |
x |
|
|
|
|
2 |
+ 2x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10. |
∫ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx ; |
11. |
∫ |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
12. |
∫ |
|
4 |
|
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
|
2 |
+ 2x |
2 |
9 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
9 |
− x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
14. |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
; |
|
15. |
|
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
2 |
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x + 3 x ) |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Задание II. Применяя метод замены переменной или подведение под |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знак дифференциала, вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫x x2 − 4 dx ; |
2. |
∫ |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
3. |
∫ |
|
|
x4 |
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
(x |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 − x |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
∫ |
|
6x2 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
5. |
∫ |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
dx ; |
6. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
cos |
2 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (1 + x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. |
∫ |
|
|
x |
|
dx |
|
2 |
|
; |
8. |
∫ |
x |
|
|
|
|
2 dx |
2 |
|
|
; |
|
|
9. |
∫ |
|
3e x |
2 x |
dx ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
1 − ln |
x |
|
|
|
|
|
1 − e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10. |
∫ |
|
|
7e x |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
11. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 dx |
|
|
|
; |
12. ∫ |
|
7 dx |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
sin 2 e x |
|
|
|
|
cos2 x |
(tg 2 x − 4) |
(1 + x2 )arctgx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
∫ |
3 arcsin10 x |
dx ; |
14. |
∫ |
sin 3x |
|
|
dx ; |
|
|
15. |
∫ |
|
|
5x |
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 − x |
2 |
|
cos |
2 |
|
3x |
|
|
|
1 − 25 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Задание III. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫x sin xdx ; |
|
|
2. |
∫x ln xdx ; |
|
|
|
|
3. |
∫arctg |
|
|
xdx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫xe x dx ; |
|
|
|
|
|
|
5. |
∫(x2 |
|
|
+1)e x dx ; |
|
|
6. |
∫(3x − 2)e5 x dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
∫(9x + 2) cos 2xdx ; |
8. |
∫x cos2 xdx ; |
|
|
|
9. |
∫arctg 2 xdx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
∫e2 x sin 3xdx ; |
11. |
∫arcsin x dx ; |
|
|
12. ∫(x2 |
+ 6x) sin(x + 3) dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
323
13. |
∫(3x 2 − 2x ) cos(1 −3x )dx ; 14. |
∫e2 x sin 3xdx ; |
15. |
∫(x2 + 4x)e3 x dx . |
ЗаданиеIV. Вычислитьинтегралыотрациональныхфункций:
1. |
∫ |
|
|
x −1 |
|
dx ; |
2. |
|
∫ |
|
|
2x2 + 41x −91 |
|
dx ; |
||||||||||||||||||||
x |
2 |
+ x − |
6 |
|
|
(x |
−1)(x + 3)(x − |
4) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
|
dx ; |
5. |
|
∫ |
|
x4 |
−16x −8 |
dx ; |
|
|
||||||||||||||||
x |
2 |
− 4x + |
3 |
|
|
|
x |
3 |
− 4x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
∫ |
x2 + 4x +14 |
dx ; |
8. |
|
∫ |
|
|
|
2x −5 |
|
|
|
dx ; |
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
(x |
+1)(x − 2) |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
∫ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
11. |
|
∫ |
|
2x2 |
−15x +30 |
dx ; |
|
||||||||||||||
x |
3 |
|
|
2 |
+ x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
(x + 6)(x − 2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13. |
∫ |
|
|
1 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
14. |
|
∫ |
|
x2 + x +13 |
|
dx ; |
|
|||||||||||||||
x |
2 |
+ x |
4 |
|
|
|
|
|
(x |
−1)(x |
2 |
+ |
4) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Задание V. Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫sin |
|
x |
cos xdx ; |
2. |
|
∫sin 2 4xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
∫sin 3 x cos3 xdx ; |
5. |
|
∫ |
|
sin 3 x |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
∫ |
sin 3 x +sin x |
dx ; |
8. |
|
∫ |
|
cos3 x |
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 +sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
sin |
2 |
x |
− 4 sin x cos x + 5 cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
12. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
13. |
|
|
∫ctg 3 xdx ; |
|
|
|||||||||||
4 sin x + 3cos x + 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.∫coscosx x−1dx .
3.∫ x2 −5x + 9dx ;
x2 −5x + 6
6.∫ x(x 1+1)2 dx ;
9.∫x 2 − 3x + 4dx ;
x3 + 4x 2
12.∫ x4 −1 x2 dx ;
15. |
∫ |
|
x −8 |
dx . |
|
x |
3 |
+ 4x |
|||
|
|
|
|
3.∫sin 3 x cos5 xdx ;
6. |
∫ |
sin |
3 |
x |
dx ; |
|
|||||
cos |
4 |
|
|||
|
|
|
x |
9.∫cos 2x cos 3xdx ;
11.∫1 + sin1 xdx ;
14. |
∫ |
sin |
4 |
x |
dx ; |
|
|||||
cos |
6 |
|
|||
|
|
|
x |
324
Индивидуальная работа №5 Определенный интеграл
1.Вычислить методом подстановки:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
∫1 |
|
|
|
e x |
|
|
|
dx ; |
2. |
|
∫2 |
esin x cos xdx ; |
|
3. |
|
|
|
∫2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
x + x |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
1 + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
3 |
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 + ln x |
|
|
|||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
5. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
6. |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||
|
x |
6 |
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. ∫7 |
|
|
x5 4 |
|
|
|
dx ; |
8. |
|
∫5 x2 |
|
25 − x2 dx ; |
|
9. |
|
|
|
∫5 |
|
|
x2 |
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
25 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x |
+ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
+ |
|
|||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
4 |
|
|
|
|
|
|
(2x)dx ; |
11. |
4 |
|
|
x2 − 4 |
dx ; |
|
12. |
|
|
9 |
|
|
|
|
x |
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫sin |
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
1 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
dx ; |
14. |
2 |
|
|
|
|
1 + x dx ; |
|
15. |
|
|
ln 5 |
e |
x |
xe |
x |
−1dx . |
||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(1 + x |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
+3 |
||||||||||||||||||
|
2. Вычислить методом интегрирования по частям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
ln |
|
2 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫arctgxdx ; |
2. |
∫ |
|
|
dx ; |
3. |
∫xe−5 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
∫x3e2 x dx ; |
5. |
∫x3ex2 dx ; |
6. |
∫ |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
x ln(1 + x)dx ; |
8. |
∫ln(1 + x 2 )dx ; |
9. |
∫x cos xdx ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
11. |
|
∫arcsin xdx ; |
12. |
∫x ln(x |
2 |
+1)dx ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
∫xarctgxdx ; |
15. |
∫cos ln xdx . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫π cosxsin2 xx dx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
y =1 − ex ; x = 2 ; y = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y = x 2 ; y = 3 − x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
325
3. |
y 2 = x +1; y 2 = 9 − x ; |
4. |
y = arcsin x ; y = |
π ; |
y = −π ; x = 0 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
5. |
y = x 2 ; y = 2 − x 2 ; |
6. |
y = x 2 − 6x +10 ; y = 6x − x 2 ; x = −1; |
||||||||
7. |
x − y + 2 = 0 ; y = 0 ; x = −1; x = 2 ; |
8. |
y = −x 2 + 4 ; y = 0 ; |
|
|
|
|||||
9. |
y 2 = x ; y = 0 ; x =1; x = 4 ; |
10. |
xy = 6 ; |
y = 0 ; |
x =1; |
x = 3 ; |
|||||
11. y = 3sin x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π ; |
12. |
y = tgx ; |
x = 0 ; |
x = |
π |
; |
y = 0 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
13. y = |
1 |
x 3 ; y = 0 ; x = 2 ; x = 3 ; |
14. y = 2−x ; |
y = 0 ; |
x = −1; |
x =1; |
|||||
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15.y = 0 ; x = 0 ; x = 2 ; y = 5−x .
4.Фигура, ограниченная заданными линиями, вращается вокруг оси Oх. Найти объем полученного тела вращения:
1. |
|
y 2 = 4x ; y = 0 ; y = 4 ; |
2. |
y 2 |
= x ; y = 0 ; x =1; x = 2 ; |
3. |
y 2 |
= 2x ; y = 0 ; x = 2 ; x = 4 ; |
4. |
y 2 |
= 2(x + 2); y = 0 ; x = 0 ; |
5. |
y 2 |
= 4(x − 2); y = 0 ; x = 3 ; x = 6 ; |
6. |
y = x 2 −9 ; y = 0 ; |
|
7. |
x + 2y − 4 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ; |
8. |
x 2 + y 2 = 4 ; y = 0 ; |
9. x − 2y + 6 = 0 ; y = 0 ; x = 0 ; |
10. |
2x −3y − 6 = 0 |
; |
y = 0 ; |
x = 3 ; x = 9 ; |
|||||
11. y 2 = 4x ; x 2 = 4y ; |
|
|
12. |
y 3 = x 2 ; |
y =1 |
; |
|
|
||
13. y = |
1 |
; x = 3 |
; x = |
4 ; |
14. |
y = e x ; |
y = 0 ; |
x = 0 ; |
x =1; |
|
|
x 2 +1 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
15. y = sin −1 x ; |
x = π |
; x = |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:
1.2y = x 2 −1 между точками пересечения с осью Oх;
2.y = 2 x; 0 ≤ x ≤1 ;
3. |
y = ln(sin x ) от x = π |
до x = π |
; |
|
||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
4. |
y =1 − ln(cos x ) |
от x = 0 до x = |
π |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5. |
x = |
t 3 |
, y = t 2 |
+ 2 от t = 0 до t = 3; |
||||
3 −t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
326
6.x = 3cos t , y = 2sin t ;
7. x = 8sin t + 6 cos t , y = 6 sin t −8 cost от t = 0 до t = lnπ ;
8.x = 9(t −sin t ), y = 9(1 − cos t ) (длину дуги одной арки циклоиды);
9.ρ = 5(1 + cosϕ);
10.ρ = 2(1 + sin ϕ);
11. |
ρ = sin 3 |
ϕ |
|
, 0 |
≤ ϕ ≤ |
π |
; |
|
|
3 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
12.ρ = 4 cosϕ ;
13.ρ = 5sin ϕ ;
14.x = 2(cos t +t sin t ), y = 2(sin t −t cos t ), 0 ≤ t ≤ π ;
15. x = |
t 6 |
, |
y = 2 − |
t 4 |
между точками ее пересечения с осями координат. |
|
|
||||
6 |
|
4 |
|
327
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальная работа №6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Задание1.Уравнения с разделяющимися переменными. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Найти общие решения уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. x 2 dy + y 2 dx = 0 ; |
|
2. xy y′ =1 − x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. (xy 2 + x )dx + (x 2 y − y )dy = 0 ; |
4. |
y′ |
+sin x = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
5. dr − rctgϕdϕ = 0 ; |
|
6. |
y′ = y 2 cos x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. (1 + e x )yy′ = e x ; |
|
8. 1 − x 2 y′+ xy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. y sin xdx + cos xdy = 0 ; |
|
10. (1 + x )dy = 2ydx ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. xydx + (x +1)dy = 0 ; |
|
12. x ln xdt −t 2 dx = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx |
|
|
|
t sin t |
|
|
|
|
′ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
13. dt |
|
|
= cos2 x ; |
|
14. y |
= xy − 4 − x + 4y |
|
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
15. |
dx |
|
|
= tx 2 −8 + 2t − 4x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным |
|
||||||||||||
начальным условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
16. 2y |
′ |
x = y |
y(4)=1; |
′ |
= y |
|
|
π |
|
=1 |
; |
||||||
|
|
17. y tgx |
|
|
y |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. xy′ = |
y |
|
y(e)=1; |
|
|
19. (x |
2 |
+ 4)y′−2xy = 0 |
|
y(1)= 5 ; |
||||||||||||||||
ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
20. y |
′ |
= |
|
x 2 +1 |
y |
y(0)=1; |
|
21. yarctgxdx + |
1+ y |
2 |
dy = 0 |
y(0)= 3 ; |
||||||||||||||
|
|
y 3 −3 |
x +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
22.ϕ2 |
+ 2ϕ −2tϕ′ =1 |
ϕ(1)= 0 ; |
|
23. y′+ ytgx = 0 |
|
|
|
|
y(0)=1 ; |
|||||||||||||||||
|
′ |
|
2 |
|
−6)= 2xy |
y(0)= − |
1 |
; |
25. x |
′ |
= 2 |
|
x ln t |
|
|
|
|
x(e)=1 ; |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
24. y (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
26. y′ = (2 y +1)ctgx |
π |
|
|
|
1 |
; |
27. x |
2 |
y′+ y |
2 |
|
|
|
|
|
y(−1)=1; |
||||||||||
y |
|
= |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. ydx + ctgxdy = 0 |
π |
|
= −1 ; |
29. 2(1+e |
x |
)yy′ = e |
x |
|
|
y(0)= 0 ; |
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30. (1+ x 2 )y 3 dx −(y 2 |
−1)x 3 dy = 0 |
|
y(1)= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
328