mat_analiz

ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов факультетов физики, химии,

биологии, географии, технологии и предпринимательства.

Во второй части содержится материал, относящийся к разделу математического анализа и дифференциальных уравнений. В нем изложены: теория пределов числовых последовательностей и функций, производная функции, исследование функций и построение графиков, неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения, дифференциальные уравнения и методы их решения.

Вкаждой главе приводится теоретический материал, основные формулы, используемые для решения задач; подробно разобранные примеры; наборы задач для самостоятельной работы. В пособии имеются приложения с комплектами задач для проведения проверочных, контрольных работ и выдачи индивидуальных заданий.

При самостоятельной работе с данным пособием перед тем, как приступить к решению задач, рекомендуется внимательно прочитать теоретические сведения параграфа и рассмотреть разобранные там примеры.

Вучебном пособии не приводятся доказательства некоторых теоретических положений. При необходимости ознакомления с ними рекомендуем обратиться к литературе:

1. И. И. Баврин. Курс высшей математики. – М., 1992. 2. В.С. Шипачев. Высшая математика. – М., 1996.

3. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. – М., 1986. 4. В.Г. Скатецкий. Математическое моделирование физико-

химических процессов. – Минск, 1980.

5. К.К. Пономарев. Составление дифференциальных уравнений. –

Минск, 1980.

3

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

§1. Простейшиепонятия теории множеств. Числовые множества

1.Множества. Элементы множества. Подмножества

Вматематике первичными понятиями являются понятия множества, элемента множества и понятие принадлежности элемента множеству. Множество представляет собой совокупность некоторых предметов, объединенных по какому-нибудь признаку. Например, множество вузов города, множество студентов данного вуза, множество рек континента, множество растений в гербарии, множество натуральных чисел и т.д. Предметы, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Множества, как правило, обозначают заглавными буквами: A, B, ... X , Y, ... , а элементы мно-

жеств прописными буквами: a, b, ... x, y, ... . Если a является элементом мно-

жества A , то есть a принадлежит множеству A , то пишут a A. Например,

множество всех натуральных чисел, как правило, обозначают буквой N , запись n N означает, что число n принадлежит множеству натуральных чисел. Можно сказать иначе: число n есть натуральное число.

Множество задают или перечислением всех его элементов, или указанием того признака, по которому образуется множество, то есть указывается такое свойство элементов, по которому можно установить принадлежит ли данный элемент множеству или нет. Это свойство называют характеристическим свойством множества.

Например, а) множество A состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Множество A задано перечислением всех его элементов. В этом случае используют запись {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, указывая в фигурных скобках все элементы множества;

б) множество B – множество всех чётных чисел. Числа в этом случае не перечисляются, а указывается характеристическое свойство множества - свойство чётности чисел, принадлежащих множеству.

4

Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут A = B .

Множество A называют подмножеством множества B , если каждый элемент множества A принадлежит множеству B . В этом случае говорят, что

между ними установлено взаимно однозначное соответствие. Последнее означает, что каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B и обратно, каждому элементу множества B соответствует единственный элемент множества A . Например, множество всех натуральных чисел N и множество всех чётных положительных чисел H эквивалентны N ~ H . Действительно, каждому натуральному числу n (n N )

можно поставить в соответствие единственное чётное положительное число m (m H ), а, именно, m = 2 n . И обратно, каждому положительному чётному числу m (m H ) можно поставить в соответствие единственное натуральное

число n (n N ), а, именно: n = m2 .

5

Множество A называют счётным, если его элементы можно какимнибудь образом пронумеровать, и несчётным в противном случае. Счётное множество эквивалентно множеству натуральных чисел N или какомунибудь его подмножеству. Всякое конечное множество является счётным. Множества всех натуральных, чётных, целых чисел являются счётными, хотя и бесконечны. Примерами несчётных множеств могут служить множество всех точек прямой и множество всех точек какого-либо её отрезка.

2. Действия над множествами

Пересечением двух множеств A и B называют множество, состоящее

Два множества A и B называют непересекающимися множествами, если их пересечение A ∩ B является пустым множеством. Например, множества A и B в рассмотренном примере под буквой «в», или множества чётных и нечётных чисел т. д.

Для наглядности множества часто изображают геометрическими фигурами, так называемыми «кругами Эйлера», при этом слово «круг» весьма условное. Это может быть любая геометрическая фигура.

На рис. 1 изображены множества A и B, штриховкой отмечены их пере-

6

Объединением двух множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов множеств A и B, и только из них, и пишут A B. Если множества A и B имеют общие элементы, то в объединении каждый из этих общих элементов учитывается только один раз.

Рис. 2

Разностью множеств A и B называют множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B , и пишут Например, если A = {1; 3; 5; 6} и B = {1; 5; 7}, то A \ B = {3; 6}. Графическое изобра-

жение разности множеств приведено на рис 3.

Если множество A содержит B (A B), то разность множеств A \ B на-

зывают дополнением множества B до множества A (рис. 3.б). Заметим, что дополнения множества B до различных множеств будут различны.

Рис. 3

7

Например, для множества B = {2; 4} дополнением до множества A , где

A = {1; 2; 3; 4} будет A \ B = {1; 3}; дополнением до множества D , где

D = {2; 4; 5; 6}, будет D \ B = {5; 6}. Если A = {2; 4}, то A \ B = Ø.

Рассмотрим два множества A и B . Множество, состоящее из двух элементов a и b взятых из разных множеств называют парой элементов a и b и пишут {a; b}. Пару элементов {a; b}, в которой первый элемент a всегда вы-

бирается из одного и того же множества A , а второй из другого множества

B , называют упорядоченной парой элементов a и b и пишут (a; b).

Прямым произведением (или декартовым произведением) множеств

A и B называют множество, состоящее из всех упорядоченных пар ментов этих множеств A и B и только из них, и обозначают A× B .

Например, если A = {1; 2; 3; } и B = {3; 4}, то

A× B = {(1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 3); (3; 4)}.

Пусть X множество всех чисел x (x X ) таких, что a ≤ x ≤ b , а Y множе-

ство чисел y (y Y ) таких, что c ≤ y ≤ d. Если множества X и Y изобразить со-

Рис. 4

8

3. Действительные числа. Числовые множества

Множество, элементами которого являются числа, называют числовым множеством. Первые представления о числе приобретены людьми еще в древности, как результат счёта различных предметов. Результатом счёта являются числа один, два, три и так далее. Эти числа называют натуральными. Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, …

продолжается без конца и называется натуральным рядом. Как правило, множество всех натуральных чисел обозначают буквой N : N = {1, 2, 3, ... }.

Множество, состоящее из всех натуральных чисел, чисел противоположных натуральным числам и числа ноль, называют множеством всех целых чисел и обозначают буквой Z : Z = {0; ±1; ± 2; ± 3; ... }. Очевидно, что

ствительных (вещественных) чисел. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R. Очевидно, что R Q Z N .

Основные свойства действительных чисел:

1.множество действительных чисел упорядоченное, то есть для каждых двух различных действительных чисел a и b можно указать, какое из них меньшее;

2.множество действительных чисел всюду плотное, то есть между каж-

дыми двумя действительными числами a и b (a < b) существует еще по

9

крайней мере одно действительное число c (a < c < b), а следовательно, и

бесконечное множество действительных чисел;

3.множество действительных чисел непрерывно, то есть в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, а геометрически это означает, что каждому действительному числу a на числовой прямой соответствует точка, имеющая координату a , и, обратно, каждая точка числовой прямой имеет действительную координату;

4.арифметические действия над действительными числами всегда возможны (кроме деления на нуль) и в результате дают действительное число; также возможны возведение в степень и извлечение корня в множестве действительных чисел, то есть из каждого положительного числа можно извлечь корень любой степени, из каждого отрицательного числа можно извлечь корень нечётной степени, корень любой степени из числа нуль есть нуль; каждое положительное действительное число имеет логарифм при любом положительном основании отличном от единицы.

Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами,

называют иногда «бесконечными числами» в отличие от действительных чисел, которые называют «конечными числами». В дальнейшем под числом будем понимать конечное число.

10