mat_analiz
.pdf
|
Решение. Ряд |
∞ |
|
|
есть сумма всех натуральных |
|||||||||
|
∑n =1 + 2 +3 +L+ n +L |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чисел. Ясно, что lim Sn = ∞ . Действительно, Sn |
=1 |
+ 2 + K + n = |
n(n +1) |
, здесь Sn - |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
сумма n правых членов арифметической последовательности. |
|
|
||||||||||||
lim Sn |
= lim |
n(n +1) |
= ∞ , а это означает, что данный ряд расходится. |
|||||||||||
|
||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 25. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑aqn−1 |
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
−1 = a + aq + aq2 +K+ aqn−1 +K называют рядом гео- |
||||||||
|
Решение. Ряд ∑aq n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
метрической прогрессии, где a - первый её член, |
q - знаменатель. Параметры |
|||||||||||||
ряда (14) a и q могут иметь различные значения. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если a = 0 , то ряд (14) имеет вид 0 + 0 +K+ 0 +K, |
S |
n |
= 0 + 0 +K+ 0 = 0 и |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
lim Sn |
= lim 0 = 0 . Ряд (14) сходится и его сумма |
S = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если q = 0 , то ряд (14) имеет вид a + 0 + 0 +K+ 0 +K, |
S |
n |
= a + 0 +K+ 0 = a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
и lim Sn = lim a = a . Ряд (14) сходится и его сумма |
|
S = a . |
|
|
|
|
|
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будем считать, что a ≠ 0 и q ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Если q =1 , то ряд (14) имеет вид a + a +K+ a +K, |
Sn |
= a + a +K+ a = na и |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
lim Sn |
= lim na = ∞ . Ряд (14) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
q = −1, то |
ряд |
(14) имеет вид |
|
a − a + a − a +K+ (−1)n−1 a +K и |
||||||||
Sn = a − a + a − a +K+ (−1)n−1 a = |
a, если n нечётное, |
. |
lim Sn не |
|
существует. Ряд |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, если n чётное |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рассмотрим теперь вопрос сходимости ряда (14) при |
a ≠ 0 и q ≠ 0 , |
||||||||||||
q ≠ ±1 . В этом случае частичная сумма Sn ряда (14) имеет вид |
|
|
S n |
= a + aq + aq 2 +K+ aq n−1 = |
a (1 − q n ). |
|
|
1 −q |
77
Учитывая свойства показательных функций, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
a (1 − qn ) |
|
a |
, |
если |
|
q |
|
<1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− q |
||||||||||||||||
|
|
|
|
lim Sn = lim |
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 − q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, если |
|
q |
>1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Таким образом, ряд геометрической прогрессии (14) сходится только |
|||||||||||||||||||||||
при |
|
q |
|
<1 и его сумма равна |
|
|
a |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
− q |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∑aqn−1 = |
|
, если |
|
q |
<1 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 − q |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Определение 21. |
Пусть ряд |
∞ |
|
|
сходится и S его сумма, S n – n -ая |
||||||||||||||||||
|
|
∑an |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
частичная сумма. Разность rn = S − Sn |
называют n − ым остатком данного ряда. |
Остаток ряда, также является рядом:
∞
rn = S − Sn = (a1 + a2 +L+ an + an+1 + an+2 +L)− (a1 + a2 +L+ an )= an+1 + an+2 +L= ∑ak
k =n+1
Основные свойства числовых рядов.
1)Сходимость или расходимость ряда не изменится, если добавить или отбросить конечное число его членов.
2)Ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.
3)Если ряд сходится, то его члены можно группировать в порядке их следования. Полученный ряд сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.
∞ |
сходится и |
S - его сумма, то ряд |
∞ |
|
4) Если ряд ∑an |
∑c an , где c - число |
|||
n=1 |
|
|
n=1 |
|
действительное, тоже сходится и его сумма равна c S. |
|
|
||
∞ |
сходится и |
|
∞ |
сходится и S b его |
5) Если ряд ∑an |
S a его сумма, и ряд ∑bn |
|||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
∞ |
±bn ) сходятся и их суммы равны Sa ± Sb соответственно. |
|||
сумма, то ряды ∑(an |
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
∞ |
∞ |
|
6) Если один из рядов ∑an и ∑bn расходится, то |
∑(an ±bn ) расходится. |
|||
|
n=1 |
n=1 |
n=1 |
|
78
∞ |
∞ |
∞ |
7) Если оба ряда ∑an |
и ∑bn |
расходятся, то ряды ∑(an ± bn ) могут ока- |
n=1 |
n=1 |
n=1 |
заться как сходящимися, так и расходящимися.
Исследовать ряды на сходимость (расходимость), вычисляя частичные суммы и их пределы, как правило, затруднительно, поэтому используют некоторые признаки, по которым можно делать выводы о сходимости или расходимости рассматриваемого ряда. Приведем некоторые из них:
∞
1) Необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑an сходится,
n=1
то его общий член an стремится к нулю при n → ∞.
Следствие. Если an не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится.
Однако из того, что общий член ряда стремится к нулю при n → ∞, ещё не следует сходимость ряда.
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
Например, общий член гармонического ряда ∑ |
1 |
=1 + |
+ |
+L+ |
+L |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n=1 n |
2 |
3 |
|
n |
|||||
an = |
1 |
стремится к нулю при n → ∞, но ряд расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Замечание. Гармонический ряд есть частный случай так называемых |
|||||||||||
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обобщенно гармонических рядов ∑ |
, , где p - число, которые при p |
>1 схо- |
|||||||||||
p |
|||||||||||||
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
дятся, при p ≤1 расходятся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то последовательность его частичных сумм {Sn } ог-
раничена.
Следствие. Если последовательность частичных сумм {Sn } ряда неог-
раниченна, то ряд расходится.
Однако из ограниченности последовательности {Sn } не следует сходи-
мость ряда. Например, ряд геометрической прогрессии (14) при q = −1 расхо-
дится, |
хотя и имеет ограниченную последовательность частичных сумм |
||||||
|
Sn |
|
≤ |
|
a |
|
(см. пример 25). |
|
|
|
|
79
3) Необходимый и достаточный признак сходимости ряда.
Если ряд сходится, то его n -ый остаток rn стремится к нулю при n → ∞, и если n -ый остаток rn ряда стремится к нулю при n → ∞, то ряд сходится.
4) Достаточный признак сходимости положительного ряда [при-
знак Даламбера [Д’Аламбер Жан Лерон (16.11.1717-29.10.1783) – французский математик].
∞
Если для ряда ∑an с положительными членами (an > 0, n N ) суще-
n=1
ствует предел lim an+1 = q , то при q <1 ряд сходится,
n→∞ an
Если lim an+1
n→∞ an
при q >1 ряд расходится,
при q =1 вопрос о сходимости (или расходимости)
ряда остаётся открытым, для решения этого вопроса требуются дополнительные исследования.
= ∞ , то ряд расходится.
Теорема 13. (об абсолютной сходимости ряда). Если сходится абсо-
∞ ∞
лютный ряд ∑ an , то сходится и знакопеременный ряд ∑an .
n=1 |
n=1 |
Замечание. Если сходится абсолютный ряд знакопеременного ряда, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.
80
Приведенный признак (теорема 13) является лишь достаточным, поэтому, если абсолютный ряд расходится, то вопрос о сходимости или расходимости знакопеременного ряда остаётся открытым, в этом случае требуется дополнительные исследования.
6)Необходимый и достаточный признак сходимости знакочере-
дующегося ряда (признак Лейбница) [Лейбниц Готфрид Виль-
гельм (01. 07. 1646 – 14. 11. 1716) - немецкий математик].
Ряд называется знакочередующимся, если каждые два соседних члена ряда имеют значения различных знаков.
Теорема 14 (признак Лейбница – признак сходимости знакочередующегося ряда).
Если общий член знакочередующегося ряда стремится к нулю при n → ∞ и его абсолютная величина убывает, то ряд сходится.
∞ |
удовлетворяет условиям теоремы Лейб- |
Следствие. Если ряд ∑an |
|
n=1 |
|
ница, то абсолютная величина остатка ряда rn меньше абсолютной величи-
ны его первого члена:
|
rn |
|
= |
|
S − Sn |
|
< |
|
an+1 |
|
. |
|
|
(15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Из неравенства (15) следует Sn − |
|
an+1 |
|
|
< S < Sn + |
|
an+1 |
|
, что можно запи- |
|||||||||
|
|
|
|
|
сать иначе S = Sn ± an+1 . Следовательно, можно приближенно найти сумму ряда, вычисляя его n − ую частичную сумму S ≈ Sn , абсолютная погреш-
ность такого приближения не превышает значения an+1 , то есть абсолют-
ной величины первого отбрасываемого члена ряда.
Примеры 26. Используя признак Даламбера, выяснить сходимость
или расходимость положительных рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) ∑n +n 4 ; |
б) ∑5 n − 2 |
; |
в) ∑ n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∞ |
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2 |
n=1 3 +1 |
|
|
|
n=1 |
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∞ |
n + 4 |
|
|
|
|
n + 4 |
|
|
(n + |
1)+ 4 |
|
n + 5 |
||||||
Решение. а) Ряд ∑ |
|
|
|
|
имеет an |
= |
|
|
и an+1 |
= |
|
|
= |
|
|
. |
|||||
|
2 |
n |
2 |
n |
2 |
n+1 |
2 |
n+1 |
|||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n+1 |
|
= lim |
|
n + 5 |
|
n + 4 |
= lim |
(n + 5)2n |
= lim |
1 |
+ |
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
Таким |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
an |
|
2n+1 |
2n |
|
|
|
2n+1 (n + |
4) |
|
|
|
n + 4 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, |
|
|
lim |
an+1 |
|
= |
1 |
. |
|
Обозначим q = |
1 |
. |
Так как |
q = |
|
1 |
<1, то по признаку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
an |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Даламбера ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
− 2 |
|
|
|
|
n+1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
б) Ряд ∑ |
5 |
|
имеет an = |
5 |
|
и |
an+1 = |
5 |
. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
+1 |
|
|
3 |
n |
+1 |
|
n+1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n+1 − 2 5n − 2 |
|
|
|
|
|
(5n+1 − 2)(3n +1) |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
− |
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
an |
|
|
|
|
n→∞ |
|
3n+1 +1 3n |
+1 |
|
|
|
n→∞ (3n+1 +1)(5n − 2) |
n→∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
3 |
|
|
|
1 + |
|
|
|
5 |
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
5n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
= |
; |
|
|
q = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 3 |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Так как q = |
|
5 |
> |
|
1 , то по признаку Даламбера следует, что ряд расходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
имеем an |
|
|
|
|
|
n |
|
|
и an+1 = |
|
|
|
n +1 |
|
|
|
. Вычислим |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
в) Ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 4 |
|
|
|
|
(n +1)2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
an+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1) n 2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
(n +1)2 + 4 |
n2 + 4 |
|
|
(n +1)2 + 4 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, |
|
q =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
+ |
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить вопрос о сходимости данного ряда по признаку Даламбера не уда-
лось. Найдём |
lim an = lim |
n |
= lim |
n |
= lim |
1 |
|
=1 |
. Так как об- |
||
|
4 |
4 |
|||||||||
|
n→∞ |
n→∞ n2 + 4 |
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
1 + |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
n2 |
|
|
щий член an не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится по следст-
вию к необходимому признаку сходимости ряда. Пример 27. Исследовать на сходимость ряды:
82
|
|
а) ∑(−1n) |
|
|
|
; б) ∑(−1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
∞ |
|
n+1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n=1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. а) Данный ряд ∑ |
|
|
является знакопеременным. Его |
||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
абсолютный ряд имеет вид |
∑ |
1 |
. |
|
Воспользуемся признаком Даламбера |
||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для выяснения сходимости абсолютного ряда: an |
= |
1 |
|
|
и |
an+1 = |
1 |
, |
|||||||||||||||||||
4n |
4n+1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
an+1 |
= lim |
1 |
|
: |
|
1 |
|
= lim |
4n |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
4n+1 |
|
|
4n |
|
4n+1 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n→∞ an |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Так как q = |
1 |
<1, то абсолютный ряд сходится. По теореме 13 и данный |
|||||
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
знакопеременный ряд сходится. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
б) Абсолютный ряд ряда ∑ |
|
является гармоническим рядом |
|||
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
1 |
и он расходится. Сделать в этом случае вывод о сходимости данного |
|||||
|
|||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
знакопеременного ряда нельзя, требуются дополнительные исследования. Заметим, что данный ряд является знакочередующимся, и его общий член
an = |
(−1)n+1 |
|
удовлетворяет |
условиям теоремы Лейбница |
|
14, а |
именно, |
|||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim an = lim |
|
|
= 0 и |
|
an+1 |
< |
an |
для всех n N , так как |
|
|
|
|
|
< |
|
. |
||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
|
n +1 |
|
|
n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, ряд ∑ |
|
сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(− |
1) |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 28. Найти приближенно сумму ряда ∑ |
|
|
, заменив |
||||||||||||||||
|
(n −1)! 10 |
n−1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
ее 4-ой частичной суммой, и оценить погрешность полученного приближения.
Решение. Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям теоремы Лейбница 14. Обозначим через S его сумму, тогда получим
∞ |
(−1) |
n+1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
S = ∑ |
|
|
=1 − |
+ |
|
− |
|
+ |
|
− |
|
+L. |
|||||||
(n −1)! 10 |
n−1 |
10 |
2! 10 |
2 |
3! 10 |
3 |
4! 10 |
4 |
5! 10 |
5 |
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
Вычислим S4 : S4 =1 −101 + 2 101 2 − 6 101 3 = 0,9048334 . По следствию теоремы Лейбница абсолютная погрешность приближения Sn не превосходит абсо-
лютной величины первого отбрасываемого члена ряда an+1 , в данном слу-
чае |
|
a5 |
|
: |
|
|
|
S − S4 |
|
≤ |
|
a5 |
|
. Так как a5 = |
1 |
|
= 0,000005 , то |
|
S − S4 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4! 104 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S − 0,048334 |
|
≤ 0,000005 . |
|
Таким образом, имеем |
S = 0,9048334 ± 0,000005 или, |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
после округления получим S = 0,90483 ± 0,00001. |
|
|
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы.
1. Вычислить пять первых членов следующих последовательностей {xn }:
1) |
xn = |
(−1)n |
+ |
1 |
+ (−1)n |
; |
2) |
xn =1 |
+ |
n |
cos |
nπ |
; 3) |
xn = |
2n |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
2 |
n +1 |
2 |
n +1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Какие из следующих последовательностей {xn } являются ограничен-
ными, неограниченными, бесконечно малыми, бесконечно большими:
1) xn = |
n |
|
; 2) xn = |
1 |
|
; 3) xn = 2 n ; 4) xn = (−1)n n2 ; 5) xn = n(−1)n . |
|
n +1 |
n ! |
||||||
|
|
|
3. Какие из следующих последовательностей {xn } являются возрастаю-
щими, убывающими или не обладающими ни одним из указанных
свойств? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) xn = |
2n +1 |
; |
|
|
|
|
2) |
xn = |
|
2n −1 |
; |
|
|
|
3) xn = |
2n + (−1)n |
|
; |
|
4) xn |
= tg |
|
π |
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
xn |
= |
3n + (−3)n |
; |
|
6) x1 = |
|
|
2, xn = |
2 + xn−1 |
|
|
при |
|
n ≥ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1) lim |
5n +1 |
; |
|
|
|
|
|
2) lim |
n8 |
+ 4n +1 |
; |
|
|
|
|
3) lim |
2n2 + n −1 |
; |
|
|
|
|
4) lim |
|
3 |
|
n2 |
+ 4n + 5 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − n −3n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n5 + 2n −5 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
+ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n + 7 |
|
|
|
|||||||||||||
5) lim(3 + 2 |
|
|
) 1 + |
|
|
|
|
; |
|
6) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
7) |
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
8) lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
+ |
2 |
|
|
|
|
3n −5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 6n n + 4 |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
; |
|
11) |
|
|
|
|
n |
4 |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9) lim |
|
+1 |
n |
−1 |
; |
|
10) lim |
+1 |
|
n + |
|
|
|
lim |
|
+1 |
n |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
12) lim( |
n2 |
|
+ 2n + 3 − |
|
n2 + n −1 ); 13) lim |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(n +1)!+n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 + |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+L+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2 + 3 +L+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
14) lim |
|
|
|
3 |
9 |
|
3n−1 |
|
; 15) |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 + 3n + n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+L+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
25 |
5n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
16) lim 1 + |
|
|
|
|
|
; |
17) lim 1 |
+ |
|
|
|
; |
|
|
18) lim 1 + |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5. Исследовать на сходимость следующие ряды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) ∑ n + 3 ; 3) ∑n |
+ 5 ; |
|
|
|
4) ∑3 |
n |
(n + 5); 5) ∑(−1) |
n(n+1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) ∑ n |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
n |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n=1 |
3 (n + 4) |
|
|
|
|
|
n=1 |
2n + 7 |
|
|
|
|
|
n=1 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
2n +1 |
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
3n+1 |
|
2 |
n |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
+ 5n +1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6) ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
; 7) ∑(−1)n+1 |
|
; 8) |
|
∑ |
(−1)n |
|
|
|
|
; 9) |
∑(−1)n |
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 5 |
|
|
|
4n + |
1 |
(2n +1)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) ∑(−1)n+3 |
|
n + 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. Найти суммы следующих рядов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(−1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ 3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
2) ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
3) ∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. Найти приближенно сумму ряда |
∑ |
(−1) |
|
|
|
|
, заменив ее 4-ой частичной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммой. Оценить погрешность такого приближения.
Ответы: 1. 1) |
−1, 1 |
1 |
, − |
1 |
, 1 |
1 |
, − |
1 |
; |
2) 1, |
1 |
, 1, 1 |
4 |
, 1; |
3) |
1, 1 |
1 |
, 2, 3 |
1 |
, 5 |
1 |
. |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
3 |
5 |
3 |
5 |
3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. 1) ограниченная, но не является бесконечно малой; 2) ограниченная, бесконечно малая; 3) неограниченная, бесконечно большая; 4) неограниченная, бесконечно большая; 5) неограниченная, но не является бесконечно большой. 3. 1) убывающая; 2) возрастающая; 3) не является ни убывающей, ни возрастающей; 4) убывающая; 5) не является ни убывающей, ни возрастающей; 6) возрастающая.
4. 1) 5 ; |
2) ∞; |
3) − |
2 |
|
; |
4) 0; |
|
5) 3; |
6) |
1 |
; 7) 0; |
8) ∞; |
9) 0; 10) 1; |
||||
3 |
|
|
6 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11) ∞; |
12) |
1 |
; |
13) 0; |
|
14) 1 |
1 |
; |
15) |
1 |
; |
|
16) e3 ; |
17) ∞; |
18) 1. |
||
2 |
|
5 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
5. 1) сходится; |
2) расходится; 3) сходится; 4) расходится; 5) сходится абсо- |
||||
лютно; |
6) сходится абсолютно; 7) расходится; 8) сходится, но не абсолют- |
||||
но; 9) сходится абсолютно; 10) расходится. |
|||||
6. 1) 5; |
2) |
1 |
; |
3) 4. |
7. 0,80 ± 0,05 . |
|
|||||
|
3 |
|
|
|
§5. Предел функции
1.Определение предела функции в точке
Пусть a некоторое число. Произвольно выбирая бесконечно много чисел из окрестности a , кроме самого a , можно построить последовательность {xn } значений переменной x .
Если последовательность {xn } сходится к a , то есть
рят, что переменная x стремится к a , и пишут x → a .
Определение 22. Пусть функция f (x) определена в некоторой окрест-
ности точки a , кроме, может быть, самой точки a . Число A называют пре- f (x) в точке a (или пределом функции f (x) при x стремя-
щемся к a ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента {xn }, xn ≠ a , сходящейся к a , последовательность соответствующих
значений функции {f (xn )}сходится к числу A , то есть lim f (xn )= A . В этом
n→∞
случае пишут lim f (xn )= A или f (x)→ A при x → a .
x→a
Если хотя бы для двух различных последовательностей {xn(1)}, {xn(2)}, ар-
гумента x сходящихся к a , пределы последовательностей соответствующих значений функций {f (xn(1) )} и {f (xn(2) )}различны, то функция f (x) в точке a предела не имеет.
Если хотя бы для одной последовательности {xn }, сходящейся к а, по-
следовательность {f (xn )} предела не имеет, то функция f (x) в точке a преде-
ла не имеет.
86