Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mat_analiz

.pdf

Скачиваний:

163

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

прямой y = x (см. рис. 29б).

а)		б)	πy y=arcsin x
πy	y=arcsin x		πy y=arcsin x
2		π	2	y=sin x
		π	1	y=sin x
–1		− 2 –1	1
–1		− 2 –1		0 1 π
0		1 x		0 1 π	x
				2
	π			–1π
−	2	y= x		− 2
		Рис. 29
б) Функция арккосинус		y = arccos x .

Арккосинусом числа x называют угол y выраженный в радианах, принадлежащий отрезку [0; π], косинус которого равен x , то есть cos y = x . Обла-

стью определения арккосинуса является отрезок [−1; 1], областью значений – отрезок [0; π]. Арккосинус является обратной функцией к косинусу, заданно-

му на отрезке [0; π] (см. рис. 30).

а)								б)
y=arccos x y								y=arccos x y
		π						π
	π							1		y=x
	2							1
											π
–1	0			1			x	–1	0	1	x
								–1		y=cos x
										y=cos x
							Рис. 30
в) Функция арктангенс y = arctg x .
Арктангенсом числа			x		называют угол				y	выраженный в радианах,
принадлежащий интервалу				−	π	,	π		которого		равен x , то есть
принадлежащий интервалу				−	2	,	2	, тангенс	которого		равен x , то есть
					2		2

tg y = x .

Функция арктангенс определена для всех действительных чисел, множество

значений арктангенса Y = − π2 , π2 . Функция обладает свойством нечётности и возрастает с ростом аргумента, является ограниченной arctg x < π2 (см. рис. 31а). Арктангенс является обратной функцией к тангенсу, заданному на

промежутке

−

(см. рис. 31б).

а)

y y=arctg x

б)

y y=tg x

y=x

−

y=arctg x

0	x	0		π	x
−	π	−	π	2
−	2	−	2
	2		2

Рис. 31

г) Функция арккотангенс y = arcctg x . Арккотангенсом числа x назы-

вают угол y , выраженный в радианах и принадлежащий интервалу (0; π ), ко-

тангенс которого равен		x ,	то есть	ctg y = x .
Область определения арккотангенса есть множество всех действитель-
ных чисел, множество значений Y = (0; π ).					Арккотангенс является обратной
функцией котангенсу, заданному на промежутке (0; π ) (см. рис. 32).
а)	y			б)	y
	π				π y=ctg x		y=x
							y=x
	π	y=arcctg x			π	y=arcctg x
	2				2	y=arcctg x
	2				2
		0	x			0 π	π x
						2

Рис. 32

8. Сложные элементарные функции.

Примеры элементарных функций.

а) Многочлены n-ой степени представляют собой алгебраическую сумму константы и степенных функций с натуральными показателями степени от первой до n-ой включительно, умноженных на некоторые числовые коэффициенты. Многочлен n-ой степени имеет вид

y = axn + a	n−1	xn−1	+ L + a x + a			,
				1	0
где n N, a0 , a1 ,. . ., an - действительные числа,				причем an ≠ 0 . Многочлены

любой степени определены на множестве всех действительных чисел. Многочлены часто называют целыми рациональными функциями.

б) Дробно-рациональные функции. Функции, в которых над аргументом x производится сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень, называют дробно-рациональными функциями.

Они представимы в виде отношения многочленов

y =

xn + a

n−1

xn−1

+ K + a x + a

b xm +b

xm−1

+ K +b x +b

m−1

Например: y =

3x + 4

, y =

. Дробно-рациональные функции

x2 + x −1

x3 −1

определены для всех действительных чисел, которые не обращают знаменатель в ноль, то есть для всех чисел, кроме корней знаменателя.

в) Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических действий и суперпозиций элементарных функций, так же является элементарной

функцией. Например: y = sin log3 x, y = 4x2 + 2−x , y = x + tg x1 4 , y = 5e−3 x , 3x2 + 2 x

y = 4sin (12x −1).

г)	Функция абсолютная	величина числа	x : y =	x	x	при	x ≥ 0	,
					=
					− x	при	x < 0

также является элементарной		функцией. Ее	можно представить в				виде
y = x =	x2 . График этой функции приведен на рис. 33 а).

Замечание. Класс элементарных функций наиболее изучен и чаще всего встречается в приложениях математики. Однако решение многих как теоретических так и практических задач математики приводят к рассмотрению функций не являющихся элементарными. Изучению таких функций посвящены специальные разделы математики. Приведем лишь два примера:

	−1		при	x < 0,
знак числа x :		0	при	x = 0,
	y = sgn x =
		1	при	x > 0;

целая часть числа	x : y = [ x ].
Словесное задание последней функции приведено в §2 данной главы.
На рис. 33 б) и в)	приведены графики названных функций.

y	y=\|x\|			y	y=sgn x
	y=\|x\|				y=sgn x
1				1
–1 0	1		x	0	x
					–1
а)				б)
		y
	y=[x]	2
	y=[x]
		1
–2	–1	0	1	2	x
		0	1	2	x
			–1

–2

в) Рис. 33

Задания для самостоятельной работы

В заданиях 1-11 постройте на одном рисунке графики указанных функций и сравните их:

y = x 2 ,

y =

x 2 ,

y = 2x 2 ;

y = x,

y = x2 ,

y = x3 ;

y =

y = −

;

y =

;

y = 2 x ,

y = 3x ;

y = 2 x ,

y =

;

2 x

y = log2 x,

y = lg x ;

a1 , a2 , a3 , .K, an , K

8.	y = log2 x,	y = log 1		x;
			2
9.	y = sin x,	y = 3sin x,				y =	1	sin x;
9.	y = sin x,	y = 3sin x,				y =	3	sin x;
							3
10.	y = sin x,	y = sin 2x,				y = sin			1	x;
10.	y = sin x,	y = sin 2x,				y = sin			2	x;
									2
11.	y = sin x,			+	π	,					π
11.	y = sin x,	y = sin x		+	4	,		y = sin x −			2	.
					4						2

§4. Предел числовой последовательности. Числовые ряды

1. Понятие числовой последовательности

Пусть A некоторое счётное числовое множество и an - его элементы:

an A, n N .

Определение 8. Числовой последовательностью называют счётное множество действительных чисел, занумерованных всеми натуральными числами и расположенных в порядке возрастания номеров:

(1)

Число a1 - называют первым членом, a2 - вторым, … , an - n-ым (или общим)

членом последовательности, число n – номер члена последовательности. Все множество членов последовательности обозначается {an }. После-

довательность {an } является заданной, если указано правило, при помощи ко-

торого по номеру n можно найти значение любого члена последовательности, то есть если задана функция f (n):

an = f (n), n N K	(2)
Формулу (2) называют формулой общего члена последовательности.
Таким образом, числовой последовательностью можно назвать множе-
ство всех значений функции натурального аргумента: an = f (n),	n N.
Например: а) для арифметической прогрессии {an } общий член задается
формулой
an = a1 + d (n −1), n N K,	(3)

где a1 - первый член, d - разность прогрессии;

б) формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид

a	n	= a qn−1	, n N K,	(4)
	n	1

где a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии.

Напомним, что сумма n первых членов: а) арифметической прогрессии

вычисляется по формуле Sn =		a1 + an		n или Sn =			2a1 + d (n −1)	n ;
	2
						2
б) геометрической прогрессии вычисляется по формуле
	Sn =		a1 (1 − q n )		,	q ≠1 .

			1 − q

Иногда последовательность задают, указывая несколько ее первых членов иправило, котороепозволяетвычислить общийчленчерезпредыдущиечлены.

Правило в этом случае называют рекуррентным соотношением, а способ задания последовательности рекуррентным.

an = an−1 q

Примером рекуррентного соотношения может служить формула для общего члена геометрической прогрессии. Действительно, ес-

ли известны значения a1 и	q , то все остальные члены можно вычислить:
a2 = a1 q, a3 = a2 q, K, an	= an−1 q . Для арифметической прогрессии рекур-
рентное соотношение иное, а именно: an = an−1 + d .
Последовательность можно задать словесным описанием ее членов. В
качестве примеров приведем следующие описания:

а) геометрическая прогрессия есть последовательность чисел, в которой отношение любых последовательных чисел («последующее» деленное на «предыдущее») есть величина постоянная, называемая знаменателем прогрессии;

б) арифметическая прогрессия есть последовательность чисел, в которой разность любых двух последовательных чисел («последующее» минус «предыдущее») есть величина постоянная, называемая разностью прогрессии.

Члены последовательности {an } можно изобразить точками на число-

вой оси. На рис. 34 изображены пять членов последовательности an =					1	, n N
					n	, n N
					n
на оси Oy :
	a5 a4 a3	a2	a1
	a5 a4 a3	a2		y
0	1 5 1 4 1 3	1 2	1	y
0	1 5 1 4 1 3	1 2	1

Рис. 34 На рис. 35 представлен другой способ изображения последовательно-

сти {an }, который основан на построении графика функции y = f (n), опреде-

ляющей общий член последовательности an = f (n), то есть на построении множества точек плоскости M n с координатами (n; an ).

y = an = 1n

								x
0	1	2	3	4	5	6	7

Рис. 35

2. Монотонные и ограниченные последовательности

Определение 9 Последовательность {an } называют убывающей, если значения ее членов уменьшаются с увеличением их номеров:

a1 > a2 > a3 >K> an >K.
Можно записать так:
an > an+1 для всех n N	(5)
Последовательность, изображенная на рис. 34 и рис. 35, является убы-
вающей.
Определение 10. Последовательность {an } называют	возрастающей,
если значения ее членов возрастают с увеличением их номеров:
a1 < a2 < a3 <K< an <K.
Таким образом:
an < an+1 для всех n N	(6)

Если в формулах (5) и (6) заменить строгое неравенство нестрогим, то последовательности называются невозрастающей и неубывающей соответственно. Последовательности неубывающие, убывающие, невозрастающие, возрастающие называют монотонными. Последовательность, все члены

которой принимают одно и то же значение называют постоянной последовательностью an = c, n N , где c некоторое число.

Определение 11. Последовательность {an } называют ограниченной,

если существует такое положительное число K , что для всех n N справед-

ливо неравенство

≤ K .

В противном случае последовательность называют неограниченной.

Например,

последовательность an = sin

πn

, n N является

ограничен-

ной, так как

sin

πn

≤1 для всех n N ;

нашлось число K =1,

такое что

≤1,

n N .

Последовательность bn = n2 +

n N является неограничен-

ной, так как

n2 +

> n2

для всех n , а

растет неограниченно с рос-

том n .

Замечание 1.

Можно говорить о последовательности {an } ограничен-

ной снизу, если

m ≤ an ,

n N , m - число, или ограниченной сверху,

если

an ≤ M ,

n N ,

M -число.

Замечание 2.

Если

последовательность {an } ограниченна, то она огра-

ничена и сверху и снизу одновременно. Действительно, так как

≤ K ,

то− K ≤ an ≤ K ,

n N и, следовательно m = −K , M = K .

Замечание 3. Если

последовательность

{an } ограниченна и снизу и

сверху

одновременно,

то

она

ограничена.

Действительно,

так

как

m ≤ an ≤ M , n N ,

то справедливо

неравенство:

≤ K , где K

равно

наи-

большему из чисел

Замечание 4.

Если последовательность {an } ограничена (

≤ K , n N )

то все ее члены находятся на отрезке [− K ; K ] числовой оси.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2016530.94 Кб91latina.doc
#
24.04.20192.01 Mб52Leblanc_Lupin_M.doc
#
20.04.2019154.82 Кб77Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390.14 Кб248lexicologie.doc
#
10.02.20154.22 Mб643Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20152.98 Mб163mat_analiz.pdf
#
25.09.20191.02 Mб53mat_logika.doc
#
10.02.2015273.41 Кб64METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
14.11.2019274.43 Кб46METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
23.08.201959.08 Кб4metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx
#
10.02.201562.65 Кб22metodika_obuchenia_istorii.docx