mat_analiz

Определение 1. Абсолютной величиной, или модулем, действитель-

валентно тому, что a = 0 . Для любых действительных чисел a и b справедливы следующие соотношения:

ограничивающим множество X снизу.

Множество, не являющиеся множеством ограниченным снизу, называют множеством неограниченным снизу. Термин «множество неограниченное снизу» означает, что каково бы ни было отрицательное, сколь угодно большое по абсолютной величине число a , в данном множестве обязательно найдется еще меньшее число x (x < a).

Если множество X ограничено снизу числом m , и число m принадлежит множеству X (m X ), то число m называют наименьшим или мини-

мальным числом множества X : m = min X . Если в множестве есть наимень-

шее число, то оно единственно.

Пример 3. а) множество чисел X = {1; 3; 8; 17} ограничено снизу числом

1, причем это число 1 является наименьшим;

11

б) множество X – множество всех неотрицательных чисел x (то есть чисел, удовлетворяющих неравенству x ≥ 0 ) тоже является ограниченным снизу и его наименьшим значением является число 0 ;

в) множество Y – множество всех положительных чисел y (то есть чи-

сел, удовлетворяющих неравенству y > 0 ) тоже является ограниченным снизу

числом 0 , но множество Y не имеет наименьшего, так как число 0 не принадлежит Y. При этом число 0 является наибольшим из всех чисел, ограничивающих множество Y снизу, а элементы y множества Y в силу свойств

плотности и непрерывности действительных чисел могут быть сколь угодно близки к числу 0 , оставаясь больше его;

г) множество D – множество всех отрицательных чисел неограниченно снизу, так как какое бы отрицательное число ни взять, найдется еще меньше число.

Определение 3. Подмножество X множества всех действительных чи-

вающим множество X сверху.

Множество, не являющееся множеством ограниченным сверху, называют множеством неограниченным сверху. Термин «множество неограниченное сверху» означает, что каково бы ни было сколь угодно большое положительное число b , в данном множестве обязательно найдется еще большее число.

Если множество X ограничено сверху числом M и M X , то число M

называют наибольшим или максимальным числом множества X : M = max X . Если есть в множестве наибольшее число, то оно единствен-

ное.

Определение 4. Множество, ограниченное и снизу и сверху, называется ограниченным множеством.

12

Другими словами, множество X R ограничено, если существуют числа a , b (a R , b R) такие, что для каждого x X справедливо неравенство:

a ≤ x ≤ b.

Множество, не являющееся ограниченным, называют неограничен-

ным.

Пример 4. а) множество X = {1; 3; 8; 17} ограничено, так как для

всякого x X справедливо 1 ≤ x ≤17 , причем оно имеет и наименьшее значение m =1 и наибольшее M =17 ;

б) множество Y - множество положительных чисел, являясь ограниченным снизу, неограниченно сверху, (0 < y < +∞);

в) множество Z - множество всех целых чисел неограниченно как снизу, так и сверху (− ∞ < z < +∞).

Ясно, что чисел ограничивающих множество снизу (сверху) может быть много.

Определение 5. Наибольшее число среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X R , называется нижней гранью (или инфимумом)

множества X и обозначается через inf X или infx {xX} (инфимум - от латин-

ского слова infimum – наименьший).

Например, для множества Y - множества всех положительных чисел нижней гранью является число 0, а для множества всех натуральных чисел N нижней гранью является число 1, оно является и наименьшим.

Определение 6. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество (X R), называется верхней гранью (или супремумом) мно-

слова supremum – наибольший).

Например, для множества всех отрицательных чисел число 0 является верхней гранью.

13

Если в множестве существует наименьшее (наибольшее) число, то оно является нижней (верхней) гранью этого множества. Приведем теорему без доказательства.

Теорема 1. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Множество всех действительных чисел x , удовлетворяющих двойному неравенству a < x < b , называют открытым промежутком или интервалом и обозначают (a ; b).

Множество всех действительных чисел x , удовлетворяющих двойному неравенству a ≤ x ≤ b , называют закрытым промежутком или отрезком и обозначают [a; b].

Пример 5. Примеры числовых множеств:

Множества, приведенные под номерами 1 и 2, называют полуоткрытыми промежутками, множества под номерами 3, 4, 5, 6, 7 называют неограниченными промежутками, причем множество под номером 7 есть множество всех действительных чисел R.

Определение 7. Множество всех действительных чисел x , удовлетво-

ряющих двойному неравенству a −ε < x < a +ε , где ε > 0 , называют ε - окре-

14

Числовое множество X называют симметричным относительно на-

чала координат, если этому множеству вместе с числом x принадлежит и ему противоположное число (− x), то есть, если x X , то и (− x) X .

Примерами таких множеств являются множества под номерами 7, 8, 9, а так же множество всех рациональных чисел Q и множество и т.д.

4. Комплексные числа

При решении алгебраических уравнений встречаются ситуации, когда уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел. Например, квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицательный.

Расширением понятия числа является понятие комплексного числа. Введено число i, которое считают решением квадратного уравнения

то есть считают справедливым равенство i2 +1 = 0 или i2 = −1. Это число i называют мнимой единицей.

Число b i , где b- действительное число, называют мнимым или чисто мнимым числом и считают его произведением действительного числа b и мнимой единицы i.

Комплексными числами называют выражения вида a +b i , где a и b -

действительные числа, i – мнимая единица.

Число a называют действительной (вещественной) частью, а число b –

ствительной частью и является действительным числом (a + 0i = a), таким об-

разом множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел.

Числа

15

Определения действий над комплексными числами и правила этих действий установлены таким образом, чтобы они согласовывались с правилами действий над действительными числами. Так действия сложения и умножения комплексных чисел, как и действительных чисел, обладают свойствами:

1) переместительным (коммуникативным)

z1 + z2 = z2 + z1 , z1 z2 = z2 z1 ;

16

Легко убедиться, что модуль комплексного числа удовлетворяет таким же соотношением, какие были приведены для абсолютной величины действительного числа в пункте 3 данного параграфа.

Между комплексными числами и точками плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие и получить геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Введем на плоскости прямоугольную декартовую систему координат.

Im

ку плоскости M с абсциссой равной a и ординатой равной b : M (a ; b). Ясно,

что каждой точке координатной плоскости M (a ; b) соответствует комплекс-

ное число z = a + b i . Координатную плоскость в этом случае называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс называют действительной осью Re, ось ординат – мнимой Im. (см. рис. 5)

17