mat_analiz
.pdfПример 9. Вычислить производную функции y = x .
|
|
Решение. |
Поскольку |
|
|
|
1 |
, то по формуле (II) при α = |
1 |
находим |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x = x |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 |
′ |
|
1 |
|
1 |
−1 |
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
′ |
= ( x ) |
|
2 |
|
= |
|
x |
2 |
|
= |
|
x |
|
2 |
|
= |
|
|
. Итак, |
( x ) = |
|
. |
|
|
||
|
= x |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
x |
|
|
Производные, полученные в примерах 8 и 9, часто встречаются на практике. Поэтому их полезно запомнить.
|
|
|
Пример 10. |
Дана функция f (x)= |
1 |
|
. Найти |
f |
′ |
′ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(−1), |
f (8). |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Решение. |
|
Учитывая, |
|
что |
|
= x− |
|
, |
|
применяем |
формулу (II) при |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
− |
2 |
−1 |
|
|
2 |
|
− |
5 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
′ |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
α = − 3 . |
Имеем |
f |
(x )= − 3 |
x |
|
= − 3 x |
|
|
= − |
3x 3 x 2 |
|
, |
откуда при x = −1 и при |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
(−1)= − |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
x = 8 получаем соответственно |
f |
3 (−1) 3 (−1)2 |
= 3 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
′ |
|
|
|
1 |
|
||
f |
(8)= − |
3 8 3 82 |
= − 48 . Таким образом, |
f |
(−1)= 3 , f |
(8)= − 48 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Задания для самостоятельной работы
1.Пользуясь таблицей производных основных элементарных функций, найти производные следующих функций:
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = 5 ; |
б) |
y = x3 ; |
в) |
y = |
|
|
; г) y = log2 x ; д) |
y = 6 |
x ; е) y = ln 2 ; |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) |
y = |
1 |
; |
з) y = sin |
|
|
π |
; и) |
y = 4 x3 ; к) |
y = log1 |
x ; |
л) |
y = e5 . |
||||||||
x4 |
12 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
2. |
Дана функция |
f (x )= 4 |
x |
|
f ′(0); |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
. Найти: а) |
б) f |
′ |
|
. |
||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
|
′ |
|
|
|
|
|||
3. |
Дана функция |
|
f (x)= 5 |
x . Найти f |
(1)+ f |
(−1). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4.При каких значениях аргумента производная функции y = 3 x равна 13 ?
127
|
|
Ответы: 1. |
а) y′ = 0 ; |
|
б) |
y′ = 3x |
2 |
; |
в) |
y′ |
= |
|
1 |
x |
ln |
1 |
; г) |
y′ = |
1 |
log2 e |
или |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
7 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′ = |
|
1 |
|
; д) |
y′ = |
1 |
|
; е) |
y′ = 0 ; ж) |
|
y′ |
= − |
4 |
|
|
; з) |
|
y′ = 0 ; и) |
y′ = |
3 |
; |
|||||||||||||
x ln 2 |
6 6 x5 |
|
|
x5 |
|
|
4 4 x |
|||||||||||||||||||||||||||
к) y′ = |
|
1 |
log 1 e |
или |
y′ = − |
|
1 |
|
; |
л) |
y′ = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. а) 2 ln 2 ; б) 4 ln 2 . 3. − |
|
2 |
. 4. x =1 и x = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. О непрерывности дифференцируемой функции
Рассмотрим связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке. Пусть функция y = f (x) в точке x0 дифферен-
цируема. Это означает, что существует конечный предел lim |
∆ y |
= f ′(x0 ). То- |
||
|
|
∆x→0 |
∆ x |
|
гда согласно свойству пределов можем записать |
|
|
|
|
∆y = f ′(x0 )+α (∆x), где |
lim α(∆x)= 0 . |
|
|
|
∆x |
∆x→0 |
|
|
|
Отсюда получаем, что ∆y = f ′(x0 ) ∆x +α (∆x) ∆x и |
lim ∆y = 0 . |
Последнее ра- |
||
|
|
∆x→0 |
|
|
венство означает непрерывность функции y = f (x) |
в точке x0 . |
|
|
Таким образом, из дифференцируемости функции в точке следует непрерывность ее в этой точке. Отметим, что обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, однако не иметь производной в этой точке.
§4. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и
частного дифференцируемых функций
Пусть u = u(x), v = v (x) - функции аргумента x .
Теорема 1. Если в точке x0 существуют производные функций u = u(x)
иv = v(x). , то в этой точке
1)существует и производная суммы u +v , при этом
(u + v)′(x0 )= u′(x0 )+ v′(x0 );
128
2) существует производная разности u − v, при этом
(u − v)′(x0 )= u′(x0 )− v′(x0 );
3) существует производная произведения u v, при этом
(u v)′(x0 )= u′(x0 ) v(x0 )+ u(x0 ) v′(x0 );
в частности, если c = const , то
(c u)′(x0 )= c u′(x0 );
|
4) при v(x0 )≠ 0 существует производная частного |
u |
, при этом |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
) v(x |
|
)− u(x |
|
′ |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
)= |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
v2 (x 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Доказательство. Докажем 1). |
Пусть y = u + v. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Дадим аргументу x |
|
в точке x0 приращение ∆x ≠ 0 ( ∆x |
выбирается про- |
||||||||||||||||||||||||||
извольно, но так, |
чтобы точка x0 |
+ ∆x |
|
принадлежала области определения |
||||||||||||||||||||||||||
рассматриваемых функций). |
В результате этого функции |
u |
и |
v получат |
||||||||||||||||||||||||||
приращения соответственно |
|
∆u = u (x0 + ∆x)−u (x0 ) |
и |
|
∆v = v (x0 |
+ ∆x)−v (x0 ). А |
||||||||||||||||||||||||
следовательно, функция y = u + v также получит приращение ∆y , |
причем |
|||||||||||||||||||||||||||||
∆y = [u (x0 + ∆x)+ v (x0 + ∆x)]−[u (x0 )+ v (x0 )]= [u (x0 + ∆x)−u (x0 )]+[v (x0 + ∆x)− v (x0 )]= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∆u + ∆v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
∆y = ∆u + ∆v . |
Разделив обе части последнего равенства на |
||||||||||||||||||||||||||||
∆x , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆y = |
∆u |
+ |
∆v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
∆x |
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть теперь ∆x стремится к нулю. |
Поскольку по условию теоремы в |
||||||||||||||||||||||||||||
точке x0 существуют производные функций u и v , то существуют |
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
∆u = u′(x0 ) и |
lim |
∆v = v′(x0 ), |
|
а, следовательно, правая часть равенства (1) |
|||||||||||||||||||||||||
∆x→0 |
∆x |
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
при ∆x → 0 имеет предел, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∆u |
+ |
∆v |
|
lim |
∆u |
+ lim |
∆v |
= u′(x0 )+ v′(x0 ). |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
lim |
∆x |
∆x |
= |
|
|
|
∆x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x→0 ∆x |
|
∆x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
А тогда существует предел и левой части равенства (1), то есть lim ∆y ,
∆x→0 ∆x
и этот предел равен u′(x0 )+ v′(x0 ). Таким образом, учитывая, что
lim ∆y = y′(x 0 ), получаем:
∆x →0 ∆x
y′(x0 )= u′(x0 )+ v′(x0 ), или (u + v)′ (x0 )= u′(x0 )+ v′(x0 ).
Утверждения 2), 3) и 4) теоремы 1 можно доказать аналогично, используя при этом определение производной, свойства пределов, а также связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Кратко правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного дифференцируемых функций можно сформулировать так:
Правило 1 (правило дифференцирования суммы двух дифференцируемых функций).
Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных слагаемых функций, то есть
(u + v)′ = u′+ v′.
Замечание 4. Правило 1 распространяется на случай суммы любого конечного числа функций.
Правило 2 (правило дифференцирования разности двух дифференцируемых функций).
Производная разности двух дифференцируемых функций равна разности производных этих функций, то есть
(u −v)′ = u′−v′.
Правило 3 (правило дифференцирования произведения двух дифференцируемых функций).
Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй сомножитель и первого сомножителя на производную второго сомножителя, то есть
(u v)′ = u′v + uv′.
130
Замечание 5. Правило 3 распространяется на случай произведения любого конечного числа дифференцируемых функций. А именно, производная произведения n функций равна сумме n слагаемых, где каждое i-е слагаемое (i =1,2,L, n) есть произведение производной i-го сомножителя на ос-
тальные функции.
В частности, для произведения трех функций имеем:
(uvf )′ = u′vf + uv′f + uvf ′;
для произведения четырех функций имеем:
(uvfg )′ = u′vfg +uv′fg + uvf ′g +uvfg′.
Правило 4. Постоянный множитель можно вынести за знак производной, то есть
(c u)′ = c u′, где c = const .
Правило 5 (правило дифференцирования частного двух дифференцируемых функций).
Для отыскания производной дроби, числитель и знаменатель которой есть дифференцируемые функции, следует из произведения производной числителя на знаменатель вычесть произведение числителя на производную знаменателя и полученную разность разделить на квадрат знаменателя, то есть
u |
′ |
′ |
′ |
|
||
= |
u v −uv |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||
|
v 2 |
|
||||
v |
|
|
|
(Естественно, рассматриваем производную дроби в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля).
Приведем примеры использования приведенных выше правил дифференцирования.
Пример 11. Найти производную функции y = ln x + cos x .
Решение. Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых. Поэтому, используя правило 1 и табличные формулы (IV*) и (VI), получаем
131
|
′ |
′ |
′ |
′ |
1 |
|
|
y |
= (ln x + cos x) |
= (ln x) + (cos x) = x −sin x . |
|||||
|
|||||||
Пример 12. Найти производную функции |
y = x5 |
−sin x . |
Решение. В данном примере имеем разность двух функций. Воспользуемся правилом 2 и табличными формулами (II) и (V). Имеем
y′ = (x5 −sin x)′ = (x5 )′ − (sin x)′ = 5x 4 − cos x .
Пример 13. Вычислить производную функции y = x7 2x .
Решение. Поскольку заданная функция есть произведение двух сомножителей, то, применяя правило 3 и табличные формулы (II) и (III), находим
|
y′ = (x7 2x )′ = (x7 )′ 2x + x7 (2x )′ = 7x6 2 x + x7 2x ln 2 = x6 2x (7 + x ln 2). |
|
||||||||||||
Пример 14. |
Найти производную функции f (x)= 5 tgx |
в точке x = 0 . |
|
|||||||||||
Решение. Используя правило 4 и табличную формулу (VII), имеем: |
||||||||||||||
|
′ |
′ |
1 |
5 |
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|||
′ |
tgx) = 5(tgx) |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
= 5 cos2 x = cos2 x . При x = 0 получаем: |
f |
|
= 1 |
|
= 5 . |
|||||||||
f (x)= (5 |
(0)= cos2 0 |
|
||||||||||||
Пример 15. |
Вычислить производную функции y = 3 |
x 2 |
10x arctgx + ln 2 . |
Решение. Заданная функция представляет собой сумму двух слагаемых, причем первое слагаемое есть произведение трех функций, а второе слагаемое – постоянная. Поэтому для вычисления производной данной функции применяем правило 1, замечание 5, а также табличные формулы (I), (II), (III) и (XI). В результате получаем:
|
|
|
|
y′ = (3 |
x 2 10x arctgx + ln 2)′ |
= (3 x 2 10x arctgx )′ |
+ (ln 2)′ = |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
′ |
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
(10 |
x |
′ |
|
3 |
|
2 |
|
|
x |
|
|
′ |
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
10 |
arctgx + |
x |
arctgx + |
x |
10 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
(arctgx ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
|
1 |
10x arctgx + 3 |
x 2 10x |
ln10 arctgx + 3 |
|
x 2 10x |
1 |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
x |
2 |
10 |
x 2arctgx |
+ ln10 arctgx |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
+ x 2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 16. Найти производную функции |
|
y = |
|
x3 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
132
Решение. Применяем правило 5, а также табличные формулы (II) и (IV*). Имеем:
|
|
|
|
3 |
|
′ |
3 ′ |
|
|
3 |
′ |
|
3x 2 ln x − x3 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
′ |
x |
|
|
(x ) ln x − x |
|
(ln x) |
|
|
|
|
x |
|
3x ln x − x |
|
|
|
x (3ln x −1) |
. |
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
= |
||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ln |
2 |
x |
|
|
ln |
2 |
x |
|
|
ln |
2 |
x |
|
|
|
ln |
2 |
x |
|||||||||||
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пример 17. Найти производную функции |
y = |
x3 + 5x 2 |
+3 |
. |
|
|
|
|
|
|
x −5
Решение. Для отыскания производной заданной функции воспользуемся прежде всего правилом 5. Получаем:
y′ = (x3 + 5x 2 + 3)′(x −5)− (x3 + 5x 2 + 3) (x −5)′ .
(x −5)2
Затем применяем правила 1, 2 и 4 и формулы (II) и (I) таблицы производных. В результате имеем:
|
y′ = |
(3x 2 +10x) (x −5)− (x3 + 5x 2 + 3) 1 |
= |
|
3x3 −15x 2 +10x 2 −50x − x3 −5x 2 −3 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x −5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
2x3 |
−10x2 |
−50x |
−3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −5)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 18. |
Вычислить производную функции |
|
y = |
x cos x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2e x |
|
|
|
||||||
|
Решение. Согласно правилу 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y′ = |
(x cos x)′ (1 + 2e x )− x cos x (1 + 2e x )′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + 2e x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теперь воспользуемся правилами |
3, 1, 4 и табличными формулами (II), (VI), |
||||||||||||||||||||||||||||||
(I), (III*). В итоге получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
+ |
2e |
x |
)− x cos x |
|
′ |
+ 2(e |
x |
′ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(x ) cos x + x |
(cos x ) (1 |
|
|
(1) |
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(1 + 2e x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)− 2x |
|
|
|
|||||||||||
= |
(1 cos x + x (−sin x )) (1 + 2e x )− x cos x 2e x |
= |
(cos x − x sin x ) (1 + 2e x |
e x cos x |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(1 + 2e x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + 2e x )2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пример 19. Найти производную функции y = |
|
|
arcsin x |
|
|
− x 2 tgx . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ln x + ctgx |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Используя правило 2, можем записать
133
|
arcsin x |
′ |
|
2 |
′ |
y′ = |
|
|
− (x |
|
tgx) . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ln x + ctgx |
|
|
|
Применяем теперь правила 5, 3, 1 и табличные формулы (IX), (IV*), (VIII), (II), (VII). Имеем:
y′ = |
(arcsin x )′ (ln x + ctgx )−arcsin x (ln x + ctgx )′ |
− |
(x |
2 )′ tgx + x 2 (tgx )′ |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(ln x + ctgx )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
(ln x + ctgx )− arcsin x |
1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
= |
1 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
(ln x + ctgx )2 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2x tgx + x 2 |
cos2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ln x + ctgx |
|
− |
(sin 2 x − x ) arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
− 2x tgx − |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(ln x + ctgx )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
Замечание 6. Пользуясь правилом 5 и табличными формулами (V) и (VI), можно получить производные функций y = tgx, y = ctgx , то есть вывести формулы (VII) и (VIII) таблицы производных основных элементарных функций. Имеем:
′ |
sin x ′ |
|
(sin x )′ cos x −sin x (cos x )′ |
|
cos x cos x −sin x (−sin x ) |
|
||||||||||||||||
(tgx ) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
cos2 |
x |
|||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
cos2 x + sin 2 |
x |
= |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
cos2 |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
′ |
|
cos x |
′ |
|
(cos x )′ |
sin x − cos x (sin x )′ |
|
|
|
−sin x sin x − cos x cos x |
|
|||||||||||
(ctgx ) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
sin 2 |
x |
||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
sin 2 |
x + cos2 x |
= − |
1 |
|
; |
|
sin 2 x |
sin 2 |
|
|||
|
|
|
x |
Задания для самостоятельной работы
1.Найти производные следующих функций:
а) |
y = 3x 2 − 2x +1; |
б) |
S = |
2t −1 |
|
; в) y = 2 x sin x −3x cos x; |
г) y = |
4 − ln x |
; |
|
2t +1 |
e x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = 3 x arctgx + 3 |
2; |
е) |
y = arcsin x ctgx log5 x; |
|
|
|
2.Найти производные заданных функций в указанных точках:
а) y = (x − 4)(x 3 + x − 4), x = 0; б) y = 4 x + 1 −1, x =1;
3 x 2
134
в) |
|
|
|
16 |
|
|
x |
2 |
|
г) y = |
tgx |
|
|
|
y = e |
x |
|
|
|
|
|
x = π; |
|||||||
|
|
+ |
|
x |
, x = 2; |
|
, |
|||||||
x |
e |
sin x + cos x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y = |
4x ln x |
, |
|
x = 4; |
е) ρ = |
ϕ (1 −sin ϕ) |
, |
ϕ = 0. |
|||||
|
64 |
|
|
1 + eϕ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Дана функция y = 13 x3 − 52 x 2 + 6x. Найти сумму корней производной этой
функции.
4. Доказать, что для функции y = 7 + exx справедливо равенство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
1 |
|
= 7 − y. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|||||||||
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. а) |
y′ = 2 (3x −1); б) |
S ′ = |
4 |
|
; в) |
|
y′ = 2 x (ln 2 sin x + cos x)+ 3x (sin x − ln 3 cos x); |
||||||||||||||||||
(2t + |
1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||
г) y |
′ |
|
|
x ln x − 4x |
−1 |
; д) y |
′ |
arctgx |
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= 33 x 2 |
+ 1 |
+ x 2 ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x e x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
е) y′ = ctgx log5 x − arcsin x log5 x |
+ arcsin x ctgx log5 e . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
2. а) -8; б) − |
5 |
; в) 6 2 e2 + 4; г) -1; д) 16 ln 2 2 +1; е) |
1 |
. |
3. 5. |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§5. Производная обратной функции |
|
||||||||||||||
|
|
|
Теорема 2. Если функция |
y = f (x) определена, непрерывна, строго мо- |
|||||||||||||||||||||
нотонна в некоторой окрестности точки x0 и в точке x0 |
имеет производную |
||||||||||||||||||||||||
f ′(x 0 )≠ 0 , |
то обратная к ней функция |
x = g(y) имеет производную в точке |
|||||||||||||||||||||||
y0 = f (x0 ) |
, при этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g ′(y0 )= |
|
1 |
. |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) |
Доказательство. Поскольку функция y = f (x) определена, непрерыв-
на и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0 , то обратная функция x = g(y) определена, непрерывна и строго монотонна на некотором интервале,
содержащем точку y0 = f (x0 ) (см. теорему 31 главы I).
135
|
Дадим значению y0 аргумента y обратной функции x = g(y) прираще- |
||||||||||||||||
ние ∆y ≠ 0 . Тогда функция |
x = g(y) |
получит приращение ∆x , причем ∆x ≠ 0 . |
|||||||||||||||
При ∆x ≠ 0 и ∆y ≠ 0 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∆x |
= |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пусть ∆y → 0 . Тогда в силу непрерывности функции x = g(y ) в точке y0 |
||||||||||||||||
получаем, что ∆x → 0 . По условию теоремы в точке x0 |
существует производ- |
||||||||||||||||
ная функции y = f (x), то есть существует lim |
∆y |
= f ′(x0 )≠ 0 . Таким образом, |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆x→0 |
∆x |
|
|
|
|
|
существует предел правой части равенства (3) и он равен |
|
1 |
. |
||||||||||||||
|
f ′(x0 ) |
||||||||||||||||
|
А тогда существует предел и левой части этого равенства, то есть |
||||||||||||||||
lim |
∆x |
и этот предел равен |
|
|
1 |
|
|
|
. Учитывая, что |
lim |
∆x = g ′(y0 ), оконча- |
||||||
∆y |
|
f ′(x0 ) |
|||||||||||||||
∆y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
∆y→0 |
∆y |
тельно получаем:
g ′(y0 )= f ′(1x0 ).
Теорема доказана.
Замечание 7. Опуская значение аргумента и используя другое обозначение производной, формулу (2) можно записать так:
x ′y = y1′x .
Результат, полученный в теореме 2, сформулируем кратко, в виде следующего правила: производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции.
Правило дифференцирования обратной функции можно, в частности, использовать для получения производных обратных тригонометрических функций по известным производным функций y = sin x, y = cos x, y = tgx,
y = ctgx , то есть для установления формул IX-XII, приведенных в таблице производных основных элементарных функций. Рассмотрим, например,
136