mat_analiz

Определение 33. Функция f (x) называется непрерывной в точке

определению 32. Это означает, что lim f (x )= f (x 0 ).

x →x 0

В силу теоремы 18а можно записать, что f (x)= f (x0 )+α(x), где α(x)-

бесконечно малая величина при x → x0 .Отсюда α(x)= f (x)− f (x0 )= ∆f .

Следовательно, функция f (x) непрерывна в точке x0 по определению 33.

непрерывных в точке x0 , то есть функции непрерывные в этой точке.

108

Свойство 2. Произведение двух функций f (x) g(x) непрерывных в точке x0 , является функцией непрерывной в этой точке.

f (x)

Свойство 3. Отношение двух функций g(x), непрерывных в точке x0 ,

является функцией непрерывной в этой точке, если значение функции g(x),

стоящей в знаменателе, отлично от нуля: g(x0 )≠ 0.

Свойство 4. Все простейшие элементарные функции непрерывны в каждой точке области определения.

Свойство 5. Если функция z = g(x ) непрерывна в точке x0 и z0 = g(x0 ),

а функция y = f (z) непрерывна в точке z0 , то сложная функция y = f (g(x))

непрерывна в точке x0 .

В этом случае можно записать

Замечание. Справедливость перечисленных свойств основывается на теоремах о пределах функций и определении непрерывности, в чем убедиться предлагаем читателю самостоятельно.

Пример 40. а) функции sin x ± x2 , x2 sin x, sin x2 непрерывны в каждой точке числовой оси по свойствам 1, 2 и 5 соответственно. б) функция sinx2 x

по свойству 3 непрерывна во всех точках числовой оси, кроме точки x = 0 . в)

функция sin 1x по свойству 5 непрерывна во всех точках числовой оси, кроме

числовой оси, кроме точки x = 0 , а функция y = sin z непрерывна при любом значении аргумента z .

109

3. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке

Если функция f (x) непрерывна в каждой точке интервала (a; b), то ее называют непрерывной на этом интервале. Если функция f (x) непрерывна на интервале (a; b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b, то ее называют непрерывной на отрезке [a; b].

Приведем без доказательства ряд важных теорем о функциях, непрерывных на отрезке.

Теорема 27. (об ограниченности функций, непрерывных на отрезке)

Всякая функция непрерывная на отрезке [a; b], ограничена на нем.

Теорема 29. (теорема о промежуточном значении функции,

непрерывной на отрезке). Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и принимает в каких-то точках значения А и В. Для определенности будем считать, что А<B. Пусть число C такое, что

Тогда внутри отрезка [a; b] существует хотя бы одна точка x0 в которой функция принимает значение равное C : f (x 0 )= C , x 0 (a; b).

Эта теорема означает, что множество значений функции есть отрезок [m, M ], гдечисла m и M еенаименьшееинаибольшеезначениянаотрезке [a; b].

110

Теорема 30. (Теорема Коши)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и имеет на концах отрезка значения разных знаков : f (a) f (b)< 0. Тогда внутри отрезка существует хотя бы одна точка c (a; b), в которой значение функции

определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) функция g(x) обратная к функции f (x).

Теорему 30 (теорему Коши) используют для нахождения корней уравнения f (x)= 0. Если удается установить, что на отрезке [a; b] функция f (x) непрерывна и f (a) f (b)< 0. , то внутри отрезка существует хотя бы один корень c уравнения f (x)= 0. : c (a; b) и f (c)= 0. Теорема дает возможность

установить интервал, в котором заключен корень.

Существует ряд методов, позволяющих уточнить сведения о корне, например, метод деления отрезка пополам.

интервале (− 2;1) существует по крайней мере один корень c : f (c)= 0.

Вкачестве приближенного значения корня c можно взять любое число

x1 , x1 (− 2; −1).

111

Пусть x1 = −1,5 , тогда c = x1 ± 0,5 , так как x1 делит отрезок [− 2;−1]

пополам, и абсолютная погрешность полученного приближения не превосходит 0,5: с− x ≤ 0,5

Можно уточнить приближенное значение корня следующим образом.

заключаем, что корень c находится между –1,25 и –1: c (−1,25; −1). Теперь можно применить теорему Коши к отрезку [-1,25; -1] и так далее. В случае необходимости процесс продолжают до получения приближения корня с требуемой точностью.

4. Точки разрыва функции и их классификация

Пусть функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности. Как уже отмечалось в пункте 1 данного параграфа, точкой разрыва функции называют точку x0 , в которой предел функции не существует или его значение не совпадает со значением функции в этой точке.

К точкам разрыва функции относят и такую точку x0 , в которой функция неопределена, но определена в ее окрестности.

Различают два вида точек разрыва.

Определение 34. Точку разрыва x0 функции f (x) называют точкой

разрыва первого рода, если функция имеет в этой точке конечные односторонние пределы.

Если функция неопределена в точке x0 , а скачок равен нулю, то точку x0

называют точкой устранимого разрыва. Так как в этом случае

112

односторонние пределы равны, то существует lim f (x), а разрыв происходит

x→x0

из-за того, что функция f (x) неопределена в точке x0 . Разрыв можно устра-

нить, положив f (x0 )= lim f (x). Получится функция непрерывная в точке x0 .

x→x0

Значения функции ϕ(x) равны значениям функции f (x) во всех точках числовой оси, кроме точки x = 0 . Однако функция ϕ(x) не только определена и в точке x = 0 , но и непрерывна в ней.

Определение 35. Точку разрыва функции f (x) называют точкой раз-

рыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не суще-

непрерывна во всех точках числовой оси, кроме точки x = 0 . Вычислим односторонние пределы функции при x → 0 :

113

Определение 36. Функцию f (x) называют кусочно-непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна во всех точках отрезка, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Задания для самостоятельной работы.

1. Функция f (x) определена следующим образом

Является ли она непрерывной в области определения? 2. Пусть функция

При каком выборе числа a функция f (x) будет непрерывной? 3. Пусть функция

При каком наборе чисел a и b функция f (x) непрерывной ? 4. Исследовать непрерывность функции f (x) в точке x0 =1:

114

можно, то каким значением следует доопределить функцию в этой точке?

7. Найдите точки разрыва следующих функций и определите характер разрывов:

8. Доказать, что уравнение x5 − 5x −1 = 0 имеет по крайней мере один корень, заключенный между а) 1 и 2; б) –1 и 0.

Указание: использовать теорему Коши.

9. Доказать, что многочлен нечетной степени f (x)= an xn + an−1 xn−1 +K+ a1 x + a0 имеет по крайней мере один действитель-

ный корень.

10. Используя метод половинного деления, найти приближенное значение того корня уравнения x3 + x =1, который заключен между 0 и 1.

Ответ: 1. да; 2. 12 ; 3. a = 0, b =1; 4. 1) непрерывна; 2) терпит разрыв второго рода; 3) терпит разрыв первого рода; 5. да, f (1)= 23 ; 6. да, f (0)= 0 ;

7. 1) при x = ±3 разрывы второго рода; 2) при x = 0 разрыв первого рода;

3) при x = 0 разрыв первого рода; при x = π2 +πk, k Ζ разрывы второго ро-

да; 10. 0,66 ±0,04.

115

ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ §1. Понятие производной

Многочисленные задачи, например, о скорости и ускорении неравномерного движения, о плотности неоднородного стержня, о силе переменного тока, о скорости химической реакции, о скорости роста популяции, о касательной к кривой и другие приводят к одним и тем же математическим операциям – вычислению пределов отношений определенного вида.

Рассмотрим более подробно две такие задачи.

1. Задача о вычислении скорости движения материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки по прямой, на которой заданы начало отсчета расстояний – точка 0 , положительное направление и единичный отрезок. Пусть зависимость от времени t расстояния S движущейся точки от точки 0 выражается функцией S = f (t), t (t1 , t2 ). Эту функ-

цию называют уравнением (или законом) движения данной материальной точки. Возьмем произвольный момент времени t0 (t1 , t2 ) и поставим задачу о вычислении скорости движения точки в момент времени t0 . Для решения поставленной задачи рассмотрим движение точки в течение промежутка времени от момента t0 до некоторого другого момента t0 + ∆t, где ∆t ≠ 0 и t0 + ∆t (t1 , t2 ). Так как в моменты времени t0 и t0 + ∆t точка находится от на-

чала отсчета на расстоянии соответственно f (t0 ) и f (t0 + ∆t), то путь, прой-

денный точкой за промежуток времени от момента t0 до момента t0 + ∆t , равен f (t0 + ∆t)− f (t0 )= ∆S. Поделив ∆S на ∆t , получаем среднюю скорость Vср.

движения точки за промежуток времени от момента t0 до момента t0 + ∆t, то есть

Если движение неравномерное, то средняя скорость при фиксированном моменте времени t0 будет изменяться при изменении ∆t . Полагая, что

116