mat_analiz

Решение. Данный интеграл легко вычисляется, если применять свойство 5), принимая за u(x) функцию u = 3x . Имеем

∫cos(3x ) 3dx = ∫cos(3x )d (3x )= sin 3x +C .

Пример 5. Вычислить ∫e5x +1dx .

Решение. Аналогичным образом получим

∫e5x +1dx = ∫e5x +1 15 d (5x +1)= 15 ∫e5x +1d (5x +1)= 15 e5x +1 +C .

Пример 6. Вычислить ∫xdx+ 3 .

Решение. Вновь используем свойство 5), полагая u = x + 3 . Получим

∫xdx+ 3 = ∫d (xx++33) = ln x + 3 +C .

Пример 7. Вычислить ∫cos3 x sin xdx .

Решение. Пусть u = cos x . Тогда

∫cos3 x sin xdx = −∫cos3 xd (cos x )= − cos4 x +C . 4

Преобразования, которые проводятся в примерах 3 – 6, называются подведением функции (в каждом примере – своей !) под знак дифференциала, а интегрирование с применением свойств 3) – 5) называется непосредственным.

Задания для самостоятельной работы

1. Проверить справедливость равенств:

2. Найти интегралы:

217

3.Используя метод подведения функции под знак дифференциала, вычислить:

Ответы: 1. а) верно; б) не верно; в) верно; г) не верно.

§ 4. Метод замены переменной (подстановки)

Теорема 3. Пусть для вычисления неопределенного интеграла ∫ f (x )dx

где ϕ(t) – непрерывная, строго монотонная и имеющая непрерывную произ-

водную функция. Тогда имеет место равенство

(мы, по сути, получим свойство 5) предыдущего параграфа).

218

Замечание 3. После интегрирования с помощью замены переменной следует вернуться к «старой» переменной на основании равенств (7) или (9).

Пример 8. Найти ∫sin(4 − 7x )dx .

Решение. Введем новую переменную по формуле t = 4 − 7x (замена

Вернемся к переменной х:

∫sin(4 − 7x )dx = 17 cos(4 −7x )+C .

Замечание 4. Данный интеграл, как и некоторые рассмотренные ниже, можно вычислить непосредственно, подводя под знак дифференциала соответствующую функцию. Действительно, имеем

219

Замечание 5. При вычислении неопределенных интегралов полезно иметь ввиду следующие два правила, которые легко получить с помощью метода подстановки:

220

§ 5. Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть u(x ) и v(x ) - две непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

Формула (15) называется формулой интегрирования по частям. Теорема легко доказывается на основании известного соотношения:

(uv)′ = u′v + uv′.

Тогда

uv′ = (uv)′ − u′v .

Учитывая, что

∫(uv)′dx = uv +C ,

окончательно получаем

∫uv′dx = uv − ∫u′vdx .

Теорема доказана.

Пример 14. Найти ∫x cos xdx .

Решение. Положим u = x , v′ = cos x , тогда du = dx , v = sin x . Заметим, что для нахождения v(x ) нам достаточно найти какую-нибудь

одну из первообразных. Удобно считать C = 0 .

Далее, применяя к данному интегралу формулу (15), получим

∫x cos xdx = x sin x − ∫sin xdx = x sin x + cos x +C .

221

Замечание 6.

1. Применение метода интегрирования по частям будет успешным, если ин-

теграл ∫u′vdx в правой части формулы (15) окажется «проще» интеграла

∫uv′dx . При этом подынтегральная функция того интеграла, к которому применяется метод, разбивается на два сомножителя: u и v′ так, чтобы первый при дифференцировании по возможности «упрощался», а второй без труда интегрировался.

2.Иногда в одном и том же примере интегрирование по частям приходится применять последовательно несколько раз.

3.Метод интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем метод подстановки. Однако есть целые классы интегралов, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям. Приведем ряд часто встречающихся интегралов, которые находятся этим

методом:

а) Интегралы вида:

∫Pn (x )eax dx ; ∫Pn (x )sin axdx ; ∫Pn (x )cos axdx ,

где Pn (x ) - многочлен степени n, a – постоянное число. В этом случае пола-

гают u = Pn (x ) и применяют метод n раз.

б) Интегралы вида:

∫Pn (x )ln xdx ; ∫Pn (x )arcsin xdx ; ∫Pn (x )arccos xdx ; ∫Pn (x )arctgxdx ; ∫Pn (x )arcctgxdx ,

где Pn (x ) указанный многочлен. В качестве u(x ) выбирают трансцендентную функцию, а v′ = Pn (x ).

в) Интегралы вида

∫eax sin bxdx ; ∫eax cos bxdx .

Здесь после двукратного применения метода приходим к уравнению, в котором в качестве неизвестного выступает вычисляемый интеграл.

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 15. Вычислить интеграл ∫ln xdx .

222

Пример 17. Вычислить ∫e2x cos xdx .

Решение. Применим формулу (15), принимая u = e2x , v′ = cos x . Тогда u′ = 2e2x , v = sin x . Имеем

∫e2x cos xdx = e2x sin x − 2∫e2x sin xdx .

Повторно применим метод интегрирования по частям: u = e2x , v′ = sin x ; u′ = 2e2x , v = −cos x , тогда

e2x sin x − 2∫e2x sin xdx = e2x sin x + 2e2x cos x − 4∫e2 x cos xdx .

Обозначая исходный интеграл I = ∫e2x cos xdx , мы получили уравнение

I = e2x (sin x + 2 cos x )− 4I .

Решая данное уравнение относительно искомого интеграла I, получим окончательный результат

I = 15 e2x (sin x + 2 cos x ).

Задания для самостоятельной работы

Методом интегрирования по частям найти интегралы.

223

Замечание 7. Выше было отмечено, что всякая непрерывная на некотором промежутке функция имеет на этом промежутке первообразную. В частности, все элементарные функции интегрируемы на промежутках, на которых они определены. Однако не всякая первообразная от элементарной функции может быть выражена через элементарные функции.

Например, никакой из рассмотренных выше приемов не позволяет найти интеграл

∫xtgxdx

(хотя первообразная существует, так как функция xtgx непрерывна, напри-

Каждый интеграл, не выражающийся через элементарные функции («не берущийся» в элементарных функциях), является новой (и притом не элементарной) функцией.

Таким образом, интегральное исчисление является источником целого ряда новых функций, для которых, если в этом есть необходимость, вводятся специальные обозначения, изучаются их свойства и составляются таблицы их значений. В частности, такие новые функции были порождены следующими «неберущимися» интегралами:

(«интеграл вероятности»);

∫sin(x 2 )dx и ∫cos(x 2 )dx («интегралы Френеля»);

∫sinx x dx и ∫cosx x dx («интегральные синус и косинус»);

224

∫lndxx («интегральный логарифм»)

и многие другие.

§ 6. Интегрирование рациональных функций

Одним из классов элементарных функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, является класс рациональных функций (или рациональных дробей).

Напомним, что рациональной функцией называется функция вида

где b0 ,Kbm , a0 ,Kan - постоянные коэффициенты. Таким образом, выражение

(16) представляет собой отношение двух многочленов. Поставим задачу интегрирования рациональной дроби (16).

Для ее решения нам потребуются некоторые сведения о рациональных дробях. Приведем их.

Дробь называется правильной, если степень ее числителя ниже степени ее знаменателя (m < n), в противном случае (m ≥ n) дробь называется не-

правильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Например,

225

Поскольку интегрирование целого многочлена не представляет никаких трудностей, то задача интегрирования произвольной рациональной дроби (1) сводится к задаче интегрирования правильной рациональной дроби.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Определение. Правильные рациональные дроби вида

называются простейшими дробями I, II, III, IV типов соответственно. Теорема 5. Всякая правильная рациональная дробь может быть пред-

ставлена в виде суммы простейших дробей.

Рассмотрим пример разложения правильной дроби на простейшие.

Пусть задана правильная дробь QPmn ((xx)), знаменатель которой имеет вид

Pn (x )= (x − a)(x − b)3 (x 2 + px + q),

где a, b, p, q – действительные числа и D = p2 − 4q < 0 . Тогда правильную дробь QPmn ((xx)) можно представить в виде суммы простейших дробей:

соответствуют дроби I и II типов, а квадратному трехчлену x 2 + px + q – про-

стейшая дробь III типа.

226