mat_analiz
.pdfЧастное решение в этом случае будет иметь вид:
y2 = xk (Qs (x) cosνx − Rs (x)sinνx) |
(16) |
где Qs (x) и Rs (x) полиномы степени s = max{n, m}. |
|
Пример 5. Найти общее решение уравнения: |
|
y′′+ 4y′ =15cos 3x −30sin 3x |
(17) |
Решение. Найдем сначала общее решение соответствующего однородного
уравнения |
y′′+ 4y′ = 0 : |
|
λ2 + 4λ = 0 ; λ1 = 0 , λ2 = −4 |
|
у1 = С1 +С2е−4x |
Составим контрольное число µ +νi = 0 + 3i = 3i и сравним его с корнями характеристического уравнения. Контрольное число не совпадает ни с одним из корней, поэтому в формуле (15) полагаем к=0 и будем искать частное решение неоднородного уравнения (17) в виде:
y2 = Аcos3x + Вsin 3x
Найдем y2′ , y2′′ и подставим в уравнение (17):
y2′ = −3Аsin 3x + 3Вcos 3x y2′′ = −9 Аcos3x −9Вsin 3x
(−9Аcos 3x −9Вsin 3x ) + 4(−3A sin 3x + 3B cos 3x )=15 cos 3x −30 sin 3x
Раскроем скобки и перегруппируем, собрав члены, содержащие cos 3x и
sin 3x :
(−9A +12B )cos 3x + (−3B −12A)sin 3x =15 cos 3x −30 sin 3x
Приравняв коэффициенты при cos 3x и sin 3x в левой и правой частях равенства, получим:
cos 3x : −9A +12B =15 sin 3x : −9B −12A = −30
Решая систему, получаем A=1, B=2,
Тогда y2 = cos 3x + 2 sin 3x
Следовательно, общее решение уравнения (17):
y = C1 +C 2e−4x + cos 3x + 2sin 3x
309
Замечание. Если необходимо найти частное решение неоднородного ЛДУ, удовлетворяющее начальным условиям, то поступают следующим образом: находят общее решение неоднородного ЛДУ, а затем с использованием начальных условий составляют систему уравнений относительно постоянных С1 и С2, участвующих в записи общего решения.
Решив эту систему, находят конкретные значения С1 и С2.
Задания для самостоятельной работы
Найти общие решения уравнений:
1. |
y′′+ 7y′+12y = 24x 2 +16x −15 ; |
|
|
2. |
y′′+ 3y′ = 9x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
y′′− 2y′+ y = ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
y′′− 2y′+ y = (6x 2 − 4)ex ; |
||||||||||
5. |
y′′+ 4y′+ 4y = 2sin 2x +3cos 2x ; |
6. |
y′′+ 9y = cos 3x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . y = C1e−3x +C 2e−4x + 2x 2 − x −1; |
2 . y = C1 +C 2e3x + |
3 |
x 2 |
− x ; |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
y = (C1 +C 2 x )e |
x |
|
1 |
x |
2 |
e |
x |
; |
|
|
4 . y = e |
x |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
; |
||
|
+ |
|
|
|
|
|
C1 +C 2 x |
− 2x |
|
+ |
|
|
x |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 . |
y = e−2x (C1 + xC 2 )− |
1 |
cos 2x + |
3 |
sin 2x ; |
6 . y = C1 cos 3x +C 2 sin 3x + |
1 |
x sin 3x . |
|||||||||||||||
4 |
8 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
310
Лабораторная работа №1
Задание 1. Найти пределы:
1. lim |
(x −1)(x 2 −3); |
x →∞ |
x 3 + 4x +5 |
3.lim (n −1)8 +(n +1)8 ;
n→∞ (n +1)8 +(n + 2)8
5. |
lim |
|
(x +1)(x 5 +1) |
|
; |
|
|
|
|
|
|||
|
x →∞ |
|
(x 2 + 4)2 (x +3)3 |
|||
7. |
lim |
1+8 +15 +K+(7n −6); |
||||
|
n→∞ |
|
|
n3 |
|
|
9. |
lim |
|
x + |
x + x |
; |
|
|
x →∞ |
3 |
x |
|
|
Задание 2. Найти пределы:
Пределы
2. lim |
|
3 n6 +1 |
; |
|
n2 + 4 + n)2 |
||
n→∞ ( |
|
4.lim (x + 4)8 −(x +3)7 ;
x→∞ (x +1)6 −(x + 2)8
6. lim n ( n +1 −1);
n→∞ n3 +3n +1
8. lim |
(n +1)! + n! |
; |
|
|
|||
n→∞ |
(n +3)! |
|
|
10. lim |
4 x 5 + 2 − 3 x 2 +1 . |
x →∞ 5 x 4 + 2 + 3 x +1
1. |
lim |
|
x 3 − x 2 − x +1 |
|
; |
2. |
lim |
|
|
x 2 −5x + 6 |
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x →1 x |
4 + 2x 3 − x 2 − 2x |
|
x →2 x 3 − 2x 2 − x + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
lim x |
x − x + |
x −1 |
; |
|
4. |
lim |
5x 4 −6x 3 +1; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x →1 |
|
x x − x |
|
|
|
x →1 |
|
x 2 −2x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
lim 1− |
1+ x 2 |
; |
|
|
6. |
lim |
x 3 +8 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x →0 x 2 +9 −3 |
|
|
|
|
x →−2 |
x + 6 − |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
lim |
|
x + |
x 3 |
; |
|
|
8. |
lim |
|
3 − |
|
5 + x |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
x →0 |
5 − x − 5 + x |
|
|
|
x →4 |
1− 5 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9. |
3 |
x −1 |
; |
|
|
|
|
10. lim arcsin |
2 + x 2 |
− |
2 |
. |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x 2 −1 |
||||||||||||||||
|
x →11−4 |
x |
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задание 3. Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
x |
3 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
lim |
|
|
− x ; |
|
|
|
lim |
|
− |
|
|
|
; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
−1 |
|
2x +1 |
|
|
|
|||||
|
x →∞ x +1 |
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
lim ( x 2 +6x +5 − x ); |
4. |
lim ( x 2 +5x − x ); |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x →+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
lim arctg( |
|
x 2 + 2x − x ); |
6. |
lim |
ln(x 2 −1)−ln(x 2 +1); |
|
||||||||||||||||||
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →+∞ |
|
|
e2x +3 |
|
|
|
311
7. lim arccos(x ( |
x 2 +1 − x )); |
8. lim (sin x +1 −sin x ). |
x →+∞ |
|
x →+∞ |
Задание 4. Найти пределы, используя замечательные пределы:
1. |
lim |
|
|
2arctg(2x −1); |
2. |
lim 1− |
|
cos x |
; |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
1−2x |
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
||||
|
x → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
lim |
|
1−cos x |
; |
|
|
4. |
lim 1−cos2 x |
; |
|
|
||||||||||
|
x →0 |
|
|
4x |
|
|
|
|
x →0 1+ x 2 −1 |
||||||||||||
5. |
lim |
1− x 2 |
; |
|
|
|
6. |
lim |
cos 2x −cos3x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x →1 sinπx |
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
||||||
7. |
lim |
|
|
arctg(x + 4) |
; |
|
8. |
lim |
1− |
|
x |
; |
|
|
|
||||||
|
|
x 2 +5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x →−4 |
|
|
|
|
x →1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 x |
|
|
|
|||||
9. |
lim |
|
|
x 2 −2 − |
2 |
; |
10. lim |
tgx −sin x |
. |
||||||||||||
|
x →2 |
|
|
sin 2 (x −2) |
|
|
|
x →0 |
|
|
x 3 |
|
|
|
Задание 5. Найти пределы, используя замечательные пределы:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x 2 +1 − x 2 +7 |
||||||
1. |
lim(1+tg |
x )2x ; |
2. |
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
− x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
4. lim(cos x )x |
2 |
|
; |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
−3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x →2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3x −1 |
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
x 2 +1 |
|
x 4 +1 |
||||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
6. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
x →∞ x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 + 5x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
Задание 6. Найти пределы, используя замечательные пределы:
1. |
lim ex −1 −1; |
|
|
|
2. |
lim |
esin 2x −esin x |
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x →1 |
x −1 |
|
|
|
|
x →0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
lim |
ex 2 + x 2 sin x −1 |
; |
4. |
lim ex − |
1+3x ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x →0 |
x 2 |
|
|
|
|
x →0 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1+ex − |
2 |
|
|
|
|
|
ex |
−1 |
|
|
x 3 |
|
||||
5. |
lim |
|
|
; |
|
6. |
lim arctg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
x →0 |
x |
|
|
|
|
x →0 |
|
x |
|
x |
+1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
312
Лабораторная работа №2
Числовые ряды
I. Даны ряды геометрических прогрессий. Определить первый член и знаменатель каждой из них, вычислить сумму ряда, если он сходится:
∞ |
5 |
|
|
|
|
∞ |
|
5 |
|
|
|
∞ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1) ∑ |
; |
|
|
|
2) ∑(−1)n |
; |
|
3) ∑ |
; |
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|||||||||||
n=1 |
3 |
|
|
|
|
n=1 |
|
3 |
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
3n |
|
∞ |
n+1 |
|
2n |
∞ |
|
|
n |
|
2n |
||||||
4) ∑(−1) |
|
|
; |
5) ∑(−1) |
|
|
|
|
; |
6) ∑(−1) |
|
|
|
|
. |
|||||
2 |
3 |
n |
|
3 |
n |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
II. Даны числовые ряды. Вычислить три первых члена каждого из них. Исследовать ряды на сходимость, используя необходимые и достаточные признаки.
∞ |
5n n−1; |
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
||||
1) ∑ |
|
|
|
|
2) ∑ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
3) ∑ |
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
n2n |
|
|
|||||||||||||||||
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
2003 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
(n +1)! |
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
πn + 2 |
|
|
||||||||||
4) ∑ |
|
; |
|
|
5) ∑ |
|
|
; |
|
|
6) ∑ |
|
sin |
; |
|
||||||||||||||||
2003n +1 |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
2n |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
|
n 3n −1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
n |
2 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
n |
+1 |
1 |
|
|
|||||||
7) ∑ (−1) |
|
|
|
|
; |
|
8) ∑ |
|
(− |
1) |
|
|
|
|
|
; |
9) ∑ |
(−1) |
|
|
|
; |
|||||||||
|
3n + 2 |
|
|
|
|
3n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2n +3 |
||||||||
∞ |
|
n+1 2n +100 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
|
1 |
|
|
(−1)n+1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) ∑ |
(−1) |
|
|
|
; |
11) ∑ |
|
2 |
+ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|||||||||
5n |
+ 4 |
|
|
n |
12) ∑ |
|
|
|
n |
|
. |
||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
313
|
Лабораторная работа №3 |
||||
|
Производная |
|
|
||
Задание I. Найти производные следующих функций: |
|||||
1. y = x 3 −3x 2 +3x + 4; |
2. S = |
1 |
+ |
1 |
+1 −1; |
|
2t 2 |
||||
|
|
4t 4 |
t |
3. y = x 4 + 2tg x; 6
5. y = x1 −log3 x +ln 2;
7. y = 2 +3 x −cos x;
10. y = x3 ex ;
13. y =10x (1+sin x );
16. y = x 2 3x tg x;
19. |
y = |
ex |
|
; |
|
x 3 +1 |
|
||||
|
|
|
|
||
22. |
y = |
4 x −4 |
; |
||
|
|
4 x |
+ |
4 |
|
|
4. |
y = |
|
1 |
|
−4arctg x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6. y = 3 3 x −6 6 x −2x − 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||
8. y = 6 |
|
|
− arcsin x ; |
9. y = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
; |
||||||||
6 |
|
4 |
|
|
x |
x 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
11. |
y = 2x ctg x; |
|
12. |
y = (x 2 + 2) log2 x; |
||||||||||||||||||
14. |
y = 3 |
x (ln x −ex ); |
15. |
x = t cost +sin t; |
||||||||||||||||||
17. |
y = |
sin x |
; |
|
|
|
18. |
y = |
x −5 |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +5 |
|
|
|
|
||||
20. |
y = |
2 +cos x |
; |
|
21. |
y = |
arctgx |
; |
|
|
||||||||||||
2 −cos x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 +1 |
|
||||||||||||
23. |
y = |
x 3 e x |
; |
|
|
24. |
y = |
|
|
x sin x |
|
; |
||||||||||
x 2 + 2 |
|
|
|
|
x +sin x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание II. Найти значения производных заданных функций в указанных точках.
1. |
S = 2(t +cost ), t0 = 0; |
2. y = 3x − ln x , |
x 0 =1; |
|
|
|||||||||
3. |
y = x (2x −3x ), x 0 = 0; |
4. |
y = x 4 tg x , x 0 |
= π |
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5. |
y = |
x 3 + 2x 2 −1 |
|
, x 0 = −2; |
6. |
y = |
x 2 + 4 |
, x 0 = 4. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ex |
|
|
|
|
|
3 − x |
|
|
|
|
||
|
|
Задание III. Найти производные следующих функций: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
1. |
y = (x 2 +1) ; |
2. y = 4 −2x 4 ; |
3. |
y = 3 1−3x ; |
4. |
y = |
|
; |
||||||
(4x +1)3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. |
y = |
1 |
; |
|
6. y = cos8x; |
7. |
y = sin 4 x; |
8. x = arcsint 2 ; |
||||||
|
|
5 2 − x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
y = |
1 |
; |
|
10. y = arctg(4 −3x ); |
11. y = ln cos x; |
12. S = 4 sin t ; |
|
||||||
|
|
ctg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
314
13. y = e8x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
14. y = log2 (x 2 +9); |
|
|
15. y = sin5 (2 −x 2 ); |
|
|
|||||||||||||||||||||||
16. y = 3 cos e− |
3 |
|
|
|
|
17. y = |
|
2x 2 −1 ; |
|
|
18. y = arctg |
1 |
|
1+e2x ; |
|
|||||||||||||||||||||
x |
; |
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
19. |
4 |
arccos |
x ; |
|
|
|
20. y = ln arcsin ctg 2 |
π |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y = (5 − x 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
−2x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
3 |
|
3 |
|
22. y = |
1 |
|
|
|
sin |
tg (5+4x ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = ln sin 3x − |
|
+ |
2 |
|
2 −sin |
|
x ; |
|
|
|
e |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Задание IV. Найти производные заданных функций в указанных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
y = 4 sin |
x |
, |
|
x 0 =π; |
|
|
|
|
|
2. |
y = 3 10 −3x , |
x 0 = 2; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
y = cos5 x , |
|
x 0 |
= |
π ; |
|
|
|
|
|
4. |
y = 4 ln tg |
x |
, |
x 0 |
= |
π |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
|
|
x |
πx |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
x +1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y = 4 e |
4 |
sin |
, |
x 0 =1; |
|
|
|
|
y = |
|
x 0 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Задание V. Найти производные второго порядка следующих функций: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. y = arctg x; |
|
|
|
|
|
2. |
y = 4 ex 3 ; |
|
|
3. |
y = 3 |
|
x 3 +1; |
|
4. |
|
y = sin 2 (2x −3); |
|||||||||||||||||||
5. x = ln sin t ; |
|
|
|
|
|
6. |
y = x 2 cos x; |
7. |
y = |
e2x |
|
; |
|
|
|
8. |
|
y = |
|
x 3 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2(x +1)2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание VI.
1. Найти уравнение касательной, проведенной к графику функции y = x5+x4 в точке (1; 1).
2. В каких точках графика функции |
y = x e |
− |
x2 |
касательные к нему |
|
2 |
|||||
|
параллельны оси Ox ?
3. Составить уравнение касательной к кривой y = x3 + 3x2 + 8 в точке ее пересечения с параболой y = 3x2 .
315
4. Функция задана параметрически уравнениями: x = cos3 t, y = sin3 t.
Составить уравнение касательной, проведенной к графику этой функции в
точке, для которой t = π . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
5. |
Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону |
|||||||
S = 2et + 3e−t , где S - путь в метрах, t - |
время в секундах. Найти скорость и |
|||||||
ускорение движения в момент времени t = 2c. |
|
|
|
|||||
6. |
Тело, |
брошенное вертикально вверх |
с |
начальной |
скоростью |
|||
v0 , движется по |
закону S(t)= v0t − |
gt 2 |
|
( S - путь |
в |
метрах, |
t - время в |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
секундах). Через сколько секунд после начала движения скорость тела будет
равна 50 |
м |
, если v0 |
=100 |
м |
? |
(принять g =10 |
м |
). |
|
с |
с |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
с2 |
|||
7. |
Сила |
тока |
I изменяется в зависимости от времени по закону |
||||||
I = 3t 2 + 2t |
( I - |
в амперах, |
t - |
в секундах). Найти скорость изменения силы |
|||||
тока в конце второй секунды. |
|
|
|
Задание VII. Применяется правило Лопиталя, вычислить пределы:
1.lim x 2 −1;
x→1 ln x
4. |
lim |
e3x |
|
; |
|
||
|
|
1 |
|
||||
|
x →+∞ x + |
|
|
||||
7. |
lim |
|
π |
|
|
|
tg 2x; |
|
4 |
− x |
|||||
|
x →π |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
10. lim(ex + x )4 ;
x
x →0
2. |
lim |
3x − 2x |
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
x →0 |
x 2 |
|
|
|
|
||||
5. |
lim |
|
ctg x |
|
|
; |
|
|||
|
ln(x −π ) |
|
||||||||
|
x →π |
|
|
|||||||
8. |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||
lim |
− |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x →4 x −4 ln(x −3) |
11.lim(tg 2 x )sin x ;
x →0
3. lim |
ex −e−x −2x |
; |
|
x 3 (x −2) |
|||
x →0 |
|
6.lim (x 2 +1) 5−x ;
x→+∞
9. |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
lim |
|
|
|
− |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
1 |
−cos x |
sin |
|
; |
|||||
|
x →0 |
|
|
x |
2
12. lim(cos 2x )x 2 .
x →0
316
Лабораторная работа №4
Неопределенный интеграл
1. Непосредственным интегрированием вычислить интегралы
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
t |
+t |
|
x |
|
+ |
x + 4 |
|
б) ∫ |
|
dt; |
|||
а) ∫ |
3 |
dx; |
|
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
dt; |
|
|
|
г) ∫(2x +1) |
|
|
dx; |
|
|
|
||||||||||||||
1−sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
д) |
∫ |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
е) |
∫1001−lg |
|
|
x dx; |
|
|
|
|||||||||||
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ж) ∫tg 2 x dx; |
|
|
|
|
|
|
|
з) ∫ |
|
|
4 |
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
к) ∫ |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и) ∫ 3 x − 3 |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ 7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2. Вычислить интегралы, применяя метод замены переменной |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
2 ln 2 x + 3 |
|
|
|
|
∫cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
б) |
sin x dx; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) ∫y 3y 2 +1 dy ; |
|
|
|
г) ∫ |
|
tg ϕ +1 |
dϕ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
; |
|
|
|
е) |
∫ ex ex |
|
−1 dx . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
sin 2 (1−3x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3. Методом интегрирования по частям вычислить интегралы |
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
∫x2e−x dx; |
|
|
|
|
б) ∫x ln 2 x dx; |
в) |
∫e−x cos x dx ; |
г) ∫x arctg x dx . |
||||||||||||||||||||||
|
4. Вычислить интегралы от рациональных функций |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
б) ∫ |
2x +3 |
в) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
г) ∫ |
x 5dx |
|||||||||
|
|
|
; |
|
dx ; |
|
; |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
(x −1)(x + 2) |
(x + 2)3 |
x 4 + x 2 |
x 3 +1 |
5. Вычислить интегралы
а) |
∫ctg x dx; |
б) |
∫cos 5 x dx ; |
|
|
|
в) ∫cos 2 3x dx ; |
|
г) |
|||
д) |
∫cos2 x +sin 4 |
x dx; |
е) ∫ |
|
x dx |
; |
ж) ∫x |
2 |
4 − x 2 dx; |
з) |
||
1 |
− |
3 |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 5 −3dxcos x ;
∫ |
x 2dx |
(3 + x 2 )5 . |
317
Лабораторная работа №5
Определенный интеграл
1. Вычислить интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ∫4 |
x − 3 2x dx; |
б) |
−∫1 |
t 4 − |
1 |
dt; |
в) |
4 |
dx |
; |
г) |
0 |
|
x dx |
dx; |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
∫π |
1 + cos 2x |
|
∫1 5 1 |
− x 4 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
x |
|
|
0 1 +t |
|
|
|
|
|
− |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
д) |
∫e |
ln x dx; |
|
е) |
∫0 sin 3 x dx; |
ж) ∫e ln(x +1)dx; |
з) |
∫2 x cos(4x )dx . |
||||||||||||||
|
1 |
x |
|
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) y = x 2 − 2x +3, |
y = 3x −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) астроидой: x = a cos3 t , |
y = asin 3 t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) лемнискатой ρ2 |
= a2 cos 2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной |
|||||||||||||||||||||
линиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
y = sin x |
(0 ≤ x ≤ π ), |
y = 0 , вокруг оси Ox ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
x2 |
− y 2 = 4, |
y = ±2 , вокруг оси Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4. Вычислить длину дуги кривой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
y = |
x2 |
от вершины до точки (3 |
2 3). ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) всей астроиды x = a cos3 t, |
y = a sin 3 t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) первого витка архимедовой спирали ρ = aϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ox дуги кривой |
y = |
x 3 |
от x = −2 до x = 2 . |
|
|||
|
3 |
|
6. Скорость нагревания тела зависит от времени по следующему закону: v = 0,03t + 0,1, где t - время (с), v - скорость (К/c). На сколько градусов на-
греется тело в течение первой минуты?
318