mat_analiz

ставляют собой прямые линии, параллельные оси Оу и оси Ох соответственно.

Пример 3. Решить уравнение:

(1 + x )ydx + (1 − y)xdy = 0 .

Решение. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (при dx и при dy стоят произведения функций, каждая из которых зависит либо только от х, либо только от у).

Разделив обе части уравнения на произведение ху, получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя, находим общий интеграл:

ln x + x + ln y − y = C ,

ln xy + x − y = C .

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение:

(xy 2 + x )dx + (y + x 2 y)dy = 0 .

Решение. Вынося соответствующие множители за скобки, данное уравнение можно записать так:

x (y 2 +1)dx + y(1 + x 2 )dy = 0 ,

откуда видно, что это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части последнего уравнения на (y 2 +1)(1 + x 2 )≠ 0 , получим:

Интегрируя это уравнение, находим:

∫1 +xx 2 dx + ∫1 +yy 2 dy = C ,

277

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения: dr − rdϕ = 0 .

В данном уравнении искомая функция обозначена буквой r, а ее аргумент – буквой ϕ . Разделяя переменные, получим:

drr − dϕ = 0 .

Интегрируем:

∫drr − ∫dϕ = C1 ln r −ϕ = C1 ,

ln r −ϕ = lnC , где ln C = C1 , ln r − lnC1 = ϕ ,

ln Cr = ϕ ,

Cr = eϕ ,

r = Ceϕ - общее решение.

Пример 6. Дано уравнение xy′− 2y = 0 . Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = 4 при x = 2 . Постро-

ить найденную интегральную кривую.

278

Решение. Заменяя y′ на dxdy , получим:

xdxdy − 2y = 0 или xdy − 2ydx = 0

Разделяя переменные, получим:

dyy − 2 dxx = 0

Интегрируем:

∫dyy − 2∫dxx = C1

ln y − 2 ln x = ln C , где ln C = C1 ln y = ln C + ln x 2

ln y = ln Cx 2

y = Cx 2 - общее решение.

Графически общее решение y = Cx 2 представляет собой семейство па-

рабол с вершиной в точке О(0;0) и симметричных относительно оси Оу, у которых при С>0 ветви направлены вверх, а при С<0 – вниз.

Теперь найдем частное решение уравнения. Подставляя в общее решение, х=2, у=4, получим 4 = С 22 , откуда С =1.

Подставляя С =1 в общее решение, получим частное решение y = x 2 .

Искомая интегральная кривая изображена на рис. 3.

Рис 3

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения: 1. (x +1)dx + (y − 2)dy = 0 ;

279

2.(x + 3)dx − (y + 3)dy = 0 ;

3.x 2 y′+ y = 0 ;

4.x + xy + y′(y + xy )= 0 ;

5.2st 2 ds = (1 +t 2 )dt .

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям. Построить найденные интегральные кривые.

§4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного уравнения связано с однородными функциями. Определение 1. Функция f (x , y) называется однородной функцией из-

мерения n, если для любого числа k выполняется равенство: f (kx , ky )= k n f (x , y).

Пример 1. Определите, являются ли однородными и какого измерения следующие функции:

функция однородная 1-ого измерения.

280

данная функция однородная 3-его измерения.

функция однородная нулевого измерения.

г) Так как f (kx , ky )= (kx )2 ky +1 = k 3 xy +1 ≠ k n (xy +1) ни для какого n, то данная функция неоднородная.

Можно показать, что всякая однородная функция f (x , y) нулевого из-

мерения представима в виде

т.е. в виде функции, зависящей только от отношения xy , а всякая однородная функция n-го измерения представима в виде:

Действительно, если f (x , y) - однородная функция нулевого измерения,

то

f (x , y)= k 0 f (x , y)= f (kx , ky ).

пришли к равенству (1).

Пусть теперь f (x , y) - однородная функция n –ого измерения, то есть f (kx , ky )= k n f (x , y).

281

Следовательно,

f(x , y)= x nϕ y ,

x

пришли к равенству (2).

Определение 2. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

где P(x , y) и Q(x , y) - однородные функции одного и того же измерения.

Уравнение (3) можно привести к виду

того же измерения, то в силу равенства (2) можно записать:

Полагая, что x n ≠ 0 , делим обе части равенства на x n , и в результате не сложных преобразований получаем:

Решение однородного дифференциального уравнения проводится пу-

тем введения новой переменной z = xy , что позволяет свести это уравнение к

уравнению с разделяющимися переменными.

Действительно, так как y = zx , то y′ = z′x + z , ( x ′ =1), поэтому уравнение

(3) будет иметь вид:

z′x + z = g(z),

282

Проверим, будет ли это дифференциальное уравнение однородным. В данном случае

P(x , y)= −2xy , Q(x , y)= x 2 − y 2 .

Эти функции являются однородными функциями второго измерения. Действительно,

P(kx , ky )= −2(kx )(ky )= −2k 2 xy = k 2 P(x , y),

Q(kx , ky )= (kx )2 − (ky )2 = k 2 (x 2 − y 2 )= k 2Q(x , y).

Преобразуем исходное уравнение к виду:

283

возвращаясь к первоначальной переменной, подставимz = xy

y

y = C (y 2 + x 2 ) - общий интеграл уравнения (4).

Пример 3. Решить уравнение

(x − y)ydx − x 2 dy = 0 .

Убедимся, что это однородное уравнение. Действительно,

P(x , y)= (x − y)y , а

P(kx , ky )= (kx − ky )ky = k 2 (x − y)y = k 2 P(x , y).

Q(x , y)= −x 2 , а

Q(kx , ky )= −(kx )2 = k 2 (− x 2 )= k 2Q(x , y).

Данное уравнение решаем подстановкой z = xy .

Его можно не приводить к виду (4), если учесть, что y = zx , а dy = zdx + xdz .

Получим:

(x − zx )zxdx − x 2 (zdx + xdz )= 0 , x 2 (1 − z)zdx − x 2 (zdx + xdz )= 0 ,

(z/ − z 2 − z/)dx − xdz = 0 , разделим переменные dxx + zdz2 = 0 , интегрируем

284

∫dxx + ∫zdz2 = C1 ,

ln x − 1z = C1 , пусть C1 = ln C ,

ln Cx = 1z ,

возвращаясь к первоначальным переменным, получим ln Cx = xy ,

x

Cx = e y ,

x

x = Ce y - общий интеграл уравнения. Пример 4. Найти частное решение уравнения

Заметим, что данное уравнение уже приведено к виду (4).

Положим z = xy , тогда y = zx , y′ = z′x + z .

Тогда исходное уравнение перепишется: z′x + z = z(1 + ln z).

Приведем его к уравнению с разделяющимися переменными:

dxdz x = z(1 + ln z)−z xdz = ln zdx

lndzz = dxx , интегрируем

∫lndzz = ∫dxx +C1 , положим C1 = ln C , ln(ln z)= ln x + ln C ,

ln z = ln Cx , отсюда z = eCx ,

переходя к исходным переменным, получим общее решение y = xe Cx .

285

−x

Тогда y = xe 2 - частное решение уравнения.

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения:

§5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное (то есть первой степени) относительно функции у и ее первой производной y′. Оно имеет вид:

где p(x ) и q(x ) заданные функции от х (или постоянные). Если q(x )= 0 , то уравнение (1) примет вид y′+ p(x )y = 0 . Оно называется однородным линей-

ным уравнением.

286