mat_analiz

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(1 + cosϕ)2 dϕ =2a2

(1 + 2 cosϕ + cos2 ϕ)dϕ =

.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции, надо получить для нее первообразную и найти разность значений этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Замечание 2. Разность F (b)− F (a) принято обозначать F (x ) a , поэтому

формулу Ньютона-Лейбница можно записать

∫b f (x )dx = F (x ) ba = F (b)− F (a).

Пример 4.

	2					x	4	2		2			4	4					1		3
	2						4	2					4	4
а) ∫x			3 dx =						=						−	1	= 4	−		= 3		.
а) ∫x			3 dx =						=						−		= 4	−		= 3		.
	1			4				1		4				4				4			4
	1							1
б)	∫1		dx		= arctgx							10			= arctg1			− arctg0 =					π	− 0 =			π .
			dx																				π
				2
	0	1 + x																					4				4
	π
в)	∫2 cos xdx = sin x										π						π −sin			π =			1		1	.
											π2			= sin							1 −			=


	π									6							2			6			2		2
	6

§6. Замена переменной и интегрирование по частям

вопределенном интеграле

1.Метод замены переменной (подстановки)

Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a; b] и пусть

1)функция x = ϕ(t ) монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производ-

ную, когда t меняется от α до β ;

2)a = ϕ(α) и b = ϕ(β);

тогда имеет место следующее правило замены переменной в определенном интеграле:

b	β
∫ f (x )dx = ∫ f (ϕ(t ))ϕ (t )dt .
a		′
	α

Сравнивая последнюю формулу с формулой 8 (§4, глава III), делаем заключение, что подстановка в определенном интеграле производится так же, как в неопределенном интеграле, с тем отличием, что в определенном интеграле изменяются и пределы интегрирования.

247

Пример 5. Вычислить

e	x (1 +dxln 2 x ).
∫1

Решение. Введем новую переменную z = ln x . Если x меняется от 1 до е, то z меняется от 0 до 1. Отсюда

∫1

= ∫1

d (ln x )

= ∫0

= arctgz

= arctg1 − arctg0 = π4 .

x (1 + ln 2 x )

1 + ln 2 x

1 + z 2

Пример 6. Вычислить

− x 2 dx .

∫ R 2

Решение. Положим x = R sin t . Изменению переменной х от 0 до R со-

ответствует изменение переменной t

от 0 до π

. На отрезке 0;

функция

x = R sin t непрерывна, монотонна и имеет непрерывную производную. Получаем

		π		π
R		2		2
∫	R 2	− x 2 dx = ∫	R 2	− R 2 sin 2 t cos tdt = R ∫cos2 tdt =
0		0		0

=R ∫2 (1 +

2 0

cos 2t )dt =	R		1
		t +		sin 2t
	2	t +	2	sin 2t
	2		2

= πR4 2 .

Заметим, что выше этот интеграл был вычислен исходя из его геометрического смысла.

Справедливы следующие полезные формулы: 1. Если f (x ) - нечетная функция, то

∫a f (x )dx = 0 .

−a

2.Если f (x ) - четная функция, то

∫a f (x )dx = 2∫a f (x )dx .

−a 0

248

3.Если f (x ) - периодическая функция с периодом Т, то для любого числа а справедливо равенство

a+∫T	f (x )dx = T∫ f (x )dx .
a	0
2. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть функции u(x ) и v(x ) заданы на отрезке [a; b] и имеют на нем не-
′	′
прерывные производные u (x ) и v (x ).
Тогда справедлива формула
∫b udv = uv		ba − ∫b vdu .	(5)


a		a

Это и есть формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Все сказанное ранее по поводу применения формулы интегрирования по частям в неопределенном интеграле, относится также и к формуле (5).

Пример 7. Вычислить

														∫2	xe 2x dx .
														0
Решение.			Положим u = x ,											dv = e2x dx . Тогда du = dx																						,		v =					1	e2x . Приме-
Решение.			Положим u = x ,											dv = e2x dx . Тогда du = dx																						,		v =				2		e2x . Приме-
																																										2
няя формулу (5), имеем
2		2x		1 2x					2	1	2	2x			4				1			2x		2		4				e4					1			3e4						1		.
									2															2

∫xe dx =					xe				−		∫e dx = e −									e														−		=						+

																									= e −
0			2						0	2	0								4					0						4					4		4							4
0			2						0	2	0								4					0						4					4		4							4
Пример 8. Вычислить
														∫e x ln xdx .
														1
Решение.			Пусть u = ln x ,											dv = xdx . Тогда du =																	1			dx ,		v =				x 2				. Получаем
Решение.			Пусть u = ln x ,											dv = xdx . Тогда du =																		x		dx ,		v =								. Получаем
																																x									2
	e					x	2			e		1	e			e		2			1				e		e		2		1		(e2 −1)						e		2	+1			.
	e						2			e			e					2							e				2												2
	∫x ln xdx =							ln x			−		∫xdx =						−				x 2		=					−							=
	∫x ln xdx =							ln x			−	2	∫xdx =						−	4			x 2		=					−	4						=
	1				2					1		2	1				2			4					1			2			4											4
	1									1			1												1

249

Задания для самостоятельной работы

Вычислить следующие определенные интегралы:

а) ∫

;

б) ∫

−

dx ;

в) ∫

;

4 − x

sin

г) ∫2 cos3 x sin xdx ;

д) ∫2

x sin xdx ;

е)

∫1 ln(x +1)dx .

Ответы: а)

;

б) 17

− 4 ln 3 ;

в)

3 −1

;

г)

;

д) 1;

е) 2 ln 2 −1.

§7. Некоторые приложения определенного интеграла 1. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе коорди-

нат.

а) Если на отрезке [a; b] функция f (x )≥ 0 , то, как было показано выше, пло-

щадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ), осью Ох и

прямыми х=а и х=b (рис. 8), равна

S = ∫b f (x )dx .

(6)

y=f(x)

0 a

b x

Рис. 8

б) Если f (x )≤ 0 на [a; b] (см. рис. 9), то, в соответствии с замечанием 1, имеем

y	S = −∫b	f (x )dx .		(7)
y	a
a		b
0			x

y=f(x)

Рис. 9	250

в) Пусть f (x ) конечное число раз меняет знак на отрезке [a; b], то есть кривая y = f (x ) пересекает ось Ох в конечном числе точек (рис. 10).

Тогда для нахождения площади фигуры, ограниченной осью Ох, кривой y = f (x ) и прямыми х=а и х=b, надо разбить отрезок [a; b] на части, в пре-

делах которых f (x ) знака не меняет. Площадь будет равна алгебраической сумме интегралов по частям.

						y=f(x)
		0		+ c d		+
				+ c d		+
			a		–	b	x
				Рис. 10
Например, для фигуры, изображенной на рис. 10, имеем
		с		d		b
		S = ∫ f (x )dx − ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .							(8)
		a		c		d
г) Если	нужно	вычислить	площадь			фигуры,		ограниченной	кривыми
y = f1 (x ),	y = f 2 (x )	и прямыми х=а,			х=b,	причем f1 (x )≤ f 2 (x ) на отрезке [a; b]
(см. рис. 11), то
		b		b		b
		S = ∫ f 2 (x )dx − ∫ f1			(x )dx = ∫[f 2		(x )− f1	(x )]dx .	(9)
		a		a		a
		y			y=f2(x)

y=f1(x)

0 a	b x
	Рис. 11

д) Пусть требуется найти площадь криволинейной трапеции в случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме

x = ϕ(t ),	(10)
	(10)
y =ψ(t ),

251

где t изменяется от α до β , ϕ(α)= a,

t=α

0 a

ψ(β)= b (см. рис. 12).

t=β

b x

Рис. 12

Если уравнения (10) определяют некоторую функцию f (x ), заданную на от-

резке [a; b], то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле (6):

b	b
S = ∫ f (x )dx = ∫ydx .
a	a
Сделаем замену переменной: x = ϕ(t ), dx = ϕ (t )dt, y = f (x )= f (ϕ(t ))=ψ(t ).
	′
Получим
β
S = ∫ψ(t )ϕ′(t )dt .		(11)
α
Рассмотрим примеры вычисления площадей.
Пример 9. Вычислить площадь	фигуры, ограниченной	линиями
y = 0, y = 2x − x 2 , x = 3 .

Решение. Построим сначала фигуру, площадь которой требуется найти. Кривая y = 2x − x 2 является параболой с вершиной (1;1). Данная пара-

бола пересекает ось Ох в точках х=0 и х=2. Искомая фигура изображена на рис. 13.

1	y		y = 2x −x 2
1	y		y = 2x −x 2
0				3	x

		1 2

-3

Рис. 13

Следовательно,

252

2		2			3			2							2		x 3				2					2			x 3			3
2		2			3			2							2		x 3				2					2			x 3			3
																−							−				−					=

S = ∫(2x − x )dx −∫(2x − x )dx = x																	3							x				3
0					2												3				0							3				2
0				8	2																0											2
				8									8					16						8
	=		4 −		−(9	−9)+				4 −					= 8 −							=			.
	=		4 −	3	−(9	−9)+				4 −			3		= 8 −			3				=		3	.
				3									3					3						3
Пример 10.	Вычислить					площадь								фигуры,										ограниченной линиями
y = x 2 + 4x , y = x + 4 .
Решение. Для построения интересующей нас фигуры находим точки
пересечения параболы y = x 2					+ 4x	и прямой y = x + 4 . Решая систему
								= x		2		+ 4x ,
						y		= x				+ 4x ,

								= x		+ 4,
						y		= x		+ 4,
получим x1 =1; x 2	= −4 . Строим параболу и прямую (см. рис. 14).
								y
		y=x2+4x					–2		5
									5

					–4


									0
		y=x+4									1						x
											1						x
											–4


							Рис. 14
По формуле (9) получаем
S = ∫1 [(x + 4)− (x 2 + 4x )]dx = ∫1 (− x 2 −3x + 4)dx = −																			x 3				1	−		3x 2				1	+ 4x		1−4 = 20	5	.
																							1							1


−4					−4															3			−4			2				−4	6
−4					−4															3			−4			2				−4
Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
			x = a cost, y = b sin t ,													t [0; 2π].
Решение. Эллипс симметричен относительно																												координатных осей
(см. рис. 15),

		y
	b	t=π/2
–a		t=0
–a	0	a x

–b

Рис. 15

поэтому искомая площадь S равна S = 4S1 , где S1 - площадь той части эл-

липса, которая лежит в первом координатном углу. Здесь х изменяется от 0 до а, следовательно, t изменяется от

π2 до 0. Тогда

253

	0		0
S = 4S1 = 4 ∫b sin ta(−sin t )dt = −4ab ∫sin 2 tdt =
	π		π
	2		2
0		1			0
0		1			0
= −2ab ∫	(1 − cos 2t )dt = −2ab t −		sin 2t			= πab .
= −2ab ∫	(1 − cos 2t )dt = −2ab t −	2	sin 2t		π	= πab .
π		2			π
π				2
2				2
2

2. Вычисление площади фигуры в полярной системе координат

При вычислении площади в полярной системе координат простейшей фигурой является криволинейный сектор с вершиной в полюсе, ограниченный кривой ρ = ρ(ϕ) и лучами ϕ =α, ϕ = β (см. рис. 16).

Предположим, что ρ(ϕ) - непрерывная при α ≤ ϕ ≤ β функция.

ρ=ρ(ϕ)

Рис. 16

Известно, что площадь такого сектора выражается интегралом

	1	β	(ϕ)dϕ .	(12)
S =		∫ρ2
	2
		α

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

ρ = 2a(1 + cosϕ).

Решение. Кардиоида изображена на рис. 17.

Рис. 17

По формуле (12) получаем

254

	2	2π			1		1		2	3		2π	2	π .

= 2a		∫	1	+ 2 cosϕ +		+		cos 2ϕ dϕ =2a			ϕ		= 6a
					2		2			2
		0										0

3.Вычисление объемов тел

a)Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Пусть рассматривается некоторое тело Т, расположенное между парал-

лельными плоскостями x=a и x=b (см. рис. 18).

		S(x)
a	x	b	x

Рис. 18

Проведем плоскость, параллельную упомянутым плоскостям и пересекающую ось Ох в точке х. Предположим, что известна площадь фигуры, яв-

ляющейся сечением тела Т этой плоскостью, S = S (x ), причем	функция
S (x )непрерывна на отрезке [a; b].
Тогда объем тела Т выражается определенным интегралом
V = ∫b S (x )dx .	(13)
a

b)Вычисление объема тела вращения.

Пусть фигура, ограниченная		линиями x = a, x = b, y = 0,	y = f (x ),
вращается вокруг оси Ох ( см. рис. 19). Предположим, что функция			f (x ) не-
прерывна и неотрицательна на отрезке [a; b].
y
	y=f(x)

0 a	x
		b x
	Рис. 19

255

Рассмотрим получающееся при этом тело вращения Т. В данном случае произвольное сечение тела Т плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, есть круг радиуса f (x ). Следовательно, площадь этого сечения S = π[f (x )]2 . Тогда на основании формулы (13) получим

	b
V = π ∫[f (x )]2 dx .					(14)
	a
Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной осями Ох и Оу и кривой			y = cos x , 0 ≤ x ≤	π	(см. рис. 20).
	y			2
1	y
1
0		π/2	x
		π/2

–1 Рис. 20

	π				π						π
	2			π	2	π		1					π 2
		2									2
Решение:	V = π ∫cos		xdx =		∫(1 + cos 2x )dx =	x +			sin 2x			=		.

Замечание 3.	0			2	0	2		2			0		4

	Если фигура,		ограниченная линиями				y = a ,			y = b ,			x = 0 ,

x = f (y) (см. рис. 21), вращается вокруг оси Оу, то объем тела вращения вы-

числяется по формуле

V = π ∫b	x 2 dy = π ∫b	f 2 (y)dy .	(15)
a	a

x=f(y)

Рис. 21

256

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3626 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2016530.94 Кб91latina.doc
#
24.04.20192.01 Mб52Leblanc_Lupin_M.doc
#
20.04.2019154.82 Кб77Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390.14 Кб248lexicologie.doc
#
10.02.20154.22 Mб644Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20152.98 Mб164mat_analiz.pdf
#
25.09.20191.02 Mб53mat_logika.doc
#
10.02.2015273.41 Кб64METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
14.11.2019274.43 Кб46METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
23.08.201959.08 Кб4metodich_ukaz_k_kurs_rabotam_osn_biznesa.docx
#
10.02.201562.65 Кб22metodika_obuchenia_istorii.docx