Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

mat_analiz

.pdf
Скачиваний:
164
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
2.98 Mб
Скачать
☆

Пример 14. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу

фигуры, ограниченной координатными осями и кривой y = cos x , 0 ≤ x ≤

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(см. рис. 22).

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

–π/2

 

 

0

π/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 22

 

Решение. На отрезке 0;

π

 

функция y = cos x обращается как

 

 

 

2

 

 

 

 

 

x = arccos y . Тогда

V = π ∫1 (arccos y)2 dy .

0

Для вычисления полученного интеграла применим формулу интегри-

рования

по

частям,

полагая

u = (arccos y)2 ,

dv = dy .

Тогда

v = y; du = −2 arccos y

 

1

 

dy . Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 − y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = π ∫1 (arccos y)2 dy =y(arccos y)2 1

+ 2∫1 arccos y

 

y

dy =2∫1 arccos y

y

dy .

 

0

 

 

 

0

0

 

1 − y 2

 

0

 

1 − y 2

 

В последнем интеграле вновь применим формулу интегрирования по

частям,

полагая u = arccos y,

dv =

y

dy . Тогда du = −

1

dy,

v = − 1 − y 2 .

 

 

 

 

 

 

1 − y 2

 

 

 

 

 

1 − y 2

 

 

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = 2∫1 arccos y

y

2

dy = − 2 1 − y 2 arccos y

10

− 2∫1

dy = 2 π

− 2 =π − 2 .

 

 

0

 

1 − y

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

4.Вычисление длины дуги кривой

a)Пусть кривая задана на плоскости в прямоугольных координатах уравнением y = f (x ) и пусть на отрезке [a; b] функция f (x ) и ее производная не-

прерывны. Тогда длина дуги АВ этой кривой, где A(a; f (a)), B(b; f (b)) (см.

рис. 23) вычисляется по формуле

257

y

 

 

 

 

 

 

 

y=f(x)

B

 

 

 

 

 

 

b

 

 

dx .

(16)

 

A

l = ∫

′

2

 

1 + (f (x ))

 

 

 

a

 

 

 

 

0

a

b x

 

 

 

 

Рис. 23

б) Если уравнение кривой задано в параметрической форме:

x =ϕ(t ),y =ψ(t ),

причем для дуги АВ: α ≤t ≤ β , а ϕ(t ) и ψ(t ) - непрерывно дифференцируемы на отрезке [α; β], то длина дуги вычисляется по формуле

 

 

β

(ϕ′(t ))2 +(ψ′(t ))2 dt .

 

 

 

(17)

 

 

l = ∫

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

в) Если кривая задана в полярных координатах:

ρ = ρ(ϕ), причем для

дуги АВ: ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 , а функция ρ(ϕ) непрерывно дифференцируема, то длина

дуги АВ выражается формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ2

(ρ′(ϕ))2 +(ρ(ϕ))2 dϕ .

 

 

 

(18)

 

 

l = ∫

 

 

 

 

 

ϕ1

 

 

 

 

 

 

 

Пример 15. Найти длину дуги полукубической параболы y 2 = x 3

от точ-

ки (0;0) до точки (4;8).

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Полукубическая парабола

y 2 = x 3

симметрична

относи-

тельно оси Ох (см. рис. 24).

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

Точки (0;0) и (4;8) лежат на верхней ветви

8

 

 

y=x3/2

параболы, которая описывается уравнением

 

 

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

y = x

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

0

4

x

Тогда y′ = 3 x

 

, и по формуле (16) получаем

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l = ∫4

1+ 9 x dx .

 

 

y=–x3/2

 

 

0

4

 

–8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 24

258

Сделаем замену переменной: t =1+ 94 x . Тогда dx = 94 dt и при изменении

х от 0 до 4 переменная t изменяется от 1 до 10. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

10

 

t 4 dt =

8

3

 

10

 

8 (10 10 −1).

 

 

 

 

 

 

 

l = ∫

 

t

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

9

27

 

 

 

1

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 16. Вычислить длину одной арки циклоиды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = a(t −sin t ),

 

0

≤t ≤ 2π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = a(1−cost ),

 

 

 

 

 

Решение. Применяя формулу (17), имеем

 

 

 

 

 

2π

a

2

2

+ a

2

sin

2

2π

 

 

 

 

 

 

2π

t

dt = −4acos

t

2π

l = ∫

 

(1−cost )

 

 

tdt = a ∫

2 −2costdt = 2a ∫sin

2

2

=8a.

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

Пример 17. Вычислить длину кардиоиды ρ = 2a(1+ cosϕ) (см. рис. 17).

Решение. По формуле (18) получаем

 

 

 

 

 

l = 2π∫

 

4a2 (1+cosϕ)2 + 4a2 sin 2 ϕdϕ = 4aπ∫

 

2 + 2cosϕdϕ =8aπ∫cos

ϕ dϕ =16a .

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

2

 

 

Замечание 4. Если пространственная кривая АВ задана параметриче-

скими уравнениями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =ϕ(t ),

y =ψ(t ),

z = λ(t ),

 

 

 

 

 

где α ≤t ≤ β ,

а ϕ(t ),

ψ(t ),

λ(t ) - непрерывно дифференцируемые функции, то

длина этой кривой вычисляется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β

(t )+ψ′ 2 (t )+λ′2 (t )dt .

 

 

 

 

(19)

 

 

 

 

 

 

 

l = ∫ ϕ′ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычисление площади поверхности вращения

 

 

Рассмотрим

поверхность,

 

образованную

 

вращением кривой

y = f (x ),

a ≤ x ≤ b , вокруг оси Ох (см. рис. 25).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

a

b

x

Рис. 25

259

F = F (x ).
v(t )

Предположим, что на отрезке [a; b] функция f (x )неотрицательна и не-

прерывно дифференцируема.

Площадь указанной поверхности вращения вычисляется по формуле

Q = 2π ∫b

f (x ) 1+ f ′ 2(x )dx .

(20)

a

 

 

Пример 18. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги параболы y 2 = 4x , соответствующей изменению x от 0 до 2.

Решение. Имеем y = 2

x ,

y

′

=

1

. Тогда по формуле (20) получим

 

x

2

1

 

2

 

 

 

 

 

3

 

2

 

2

 

8π

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q = 2π ∫2 x 1+

 

dx = 4π ∫

 

x +1dx = 4π(x +1)

2

 

 

 

 

=

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

3

 

 

3

 

 

−1 .

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычисление массы неоднородного стержня

Если плотность неоднородного стержня задается непрерывной функцией ρ = ρ(x ), то, как было показано выше (см. §1, 2), его масса вычисляется по формуле

l

 

m = ∫ρ(x )dx ,

(21)

0

 

где l - длина стержня.

7. Вычисление пути, пройденного неравномерно движущейся материальной точкой за время от t =t1 до t =t2

Если v = v(t ) - функция, задающая скорость материальной точки, причем непрерывна на отрезке [t1; t2 ], то путь, пройденный точкой, вычисляется

по формуле

t2

 

S = ∫v(t )dt .

(22)

t1

 

8. Вычисление работы

Пусть под действием некоторой силы F материальная точка движется по прямой Ох, причем направление силы совпадает с направлением движения. Предположим, что абсолютная величина силы представляет собой непрерывную функцию

260

Тогда работа силы F при перемещении точки из положения х=а в положение х=b вычисляется по формуле

b

 

A = ∫F (x )dx .

(23)

a

 

Пример 19. Пусть даны два электрических заряда e1

и e2 (одного зна-

ка). Заряд e1 помещен в начало отсчета – точку 0. Заряд e2

находился в точке

А на расстоянии а от заряда e1 , а затем в результате отталкивания сместился в точку В, отстоящую от e1 на расстоянии b (см. рис. 26).

e1

e2

 

 

0(0)

A(a)

B(b)

x

Рис. 26

Определить работу силы F (отталкивания) при перемещении заряда e2

из точки А в точку В (заряд e1 закреплен в точке 0).

Решение. Известно, что электрические заряды отталкивают друг друга с силой, абсолютная величина которой вычисляется по формуле

F = k e1r2e2 ,

где e1 и e2 - величины зарядов, r – расстояние между ними, k – постоянный коэффициент. Тогда по формуле (23) имеем

b

e

e

2

 

1

 

b

1

 

1

 

 

 

 

A = ∫k

1

 

dx = −ke1e2

 

 

 

= ke1e2

 

−

 

.

 

2

 

 

 

a

 

x

 

 

 

x

 

 

a

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 20. Если первоначальное количество фермента 1 г через час становится равным 1,2 г, то чему оно будет равно через 5 часов после начала брожения при условии, что скорость прироста фермента пропорциональна его наличному количеству?

Решение. Обозначим Q(t ) количество фермента в момент времени t.

По условию Q(0)=1 г; Q(1)=1,2 г. Нужно найти Q(5). Ясно, что скорость при-

роста фермента (обозначим ее через v(t )) есть производная от количества фермента в момент t:

v(t )=Q′(t ).

261

Так как по условию задачи

v(t )= kQ (t ),

где k -коэффициент пропорциональности, получаем

Q′(t )= kQ (t ).

Тогда

QQ′((tt))= k .

Проинтегрируем последнее равенство в пределах от 0 до T. Получим

 

 

 

 

T

T

 

 

 

 

 

 

 

∫Q′(t )dt = ∫kdt .

 

 

 

 

 

 

 

0 Q(t )

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления интеграла, стоящего в левой части последнего равен-

ства используем формулу (14) главы III. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

Q(t )

 

 

 

T

= kt

 

T .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(T )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, ln

 

 

= kT .

 

 

 

 

Q(T )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда при T =1 получим ln1,2 = k . Тогда ln

 

 

= ln1,2 T .

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим T = 5 и найдем Q(5):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

Q(5)

 

= 5ln1,2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(5)=1,25

≈ 2,49 .

 

 

 

Получили, что через 5 часов

количество фермента

будет

равно

1,25 г ≈ 2,49 г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельной работы

 

 

а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x 2 ,

y = 2 −x 2 .

 

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ρ =

a

 

от ϕ =

π

до

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

 

ϕ = 2π .

в) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной ли-

ниями xy = 4; x =1; x = 4; y = 0

вокруг оси Ох.

г) Найти длину дуги кривой y =

1

(ex +e−x ) между прямыми x = ±1.

 

2

 

262

д) Найти длину дуги кривой x = t 6

,

y = 2 − t 4

между точками пересечения с

6

 

4

 

осями координат.

 

 

 

е) Определить площадь поверхности, образованной вращением окружности x 2 + y 2 = R 2 вокруг оси Ох.

ж) Скорость тела задается формулой v =

1+t м/ сек . Найти путь, пройденный

телом за первые 10 секунд после начала движения.

 

 

 

Ответы: а) 8

;

б) 7a2 ;

в) 12π ;

г) e −

1

;

3

 

4π

 

 

e

 

д) 4

1 ;

е) 4πR 2 ;

ж) ≈ 23,7 м.

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

263

ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ §1. Основные понятия и определения

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную (аргумент) х, искомую функцию y = f (x ) и ее производные различных порядков y′, y′′, K, y (n ) :

F (x , y, y′, y′′,K, y (n ))= 0 (1)

Если искомая функция зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит ее частные производные, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и слово обыкновенные будем опускать.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Например, дифференциальные уравнения

y′−3xy 2 + 4 = 0 t 2 dsdt = 2ts −3

являются уравнениями первого порядка, причем во втором уравнении иско-

мая функция обозначена через s = s(t ), а ее первая производная через dsdt . За-

метим, что в прикладных дисциплинах употребляются и другие обозначения для функции и ее аргумента.

Дифференциальные уравнения

y′′+ y′− y = sin x ,

d 2 s

+

ds

+ 5s = 0

dt 2

dt

 

 

являются уравнениями второго порядка, а уравнение

(y′′′)5 = y′sin x

– третьего порядка и т.д.

264

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется такая функция y = y(x ), которая при подстановке в это уравнение обращает

его в тождество.

Например, функция y = x 2 +Cx , где С – любая постоянная величина,

является решением дифференциального уравнения

′

2

− y = 0 .

(2)

y x − x

 

Действительно:

y′ = (x 2 +Cx )′ = 2x +C , подставляя в уравнение, получаем:

(2x +C )x − x 2 − x 2 −Cx ≡ 0 .

Заметим, что данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как С – произвольная постоянная величина.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение Φ(x , y )= 0 , заданное в неявном виде, называется интегралом

дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется функция y = y(x ,C1 ,C 2 ,K,C n ), зависящая от х и n про-

извольных независимых постоянных С1 , С2 , K, Сn , обращающая это уравне-

ние в тождество при любых значениях постоянных С1 , С2 , K, Сn .

Если общее решение задано в неявном виде выражением Φ(x , y, C1 ,C 2 ,K,C n )= 0 , то оно называется общим интегралом дифференциаль-

ного уравнения n-го порядка.

Определение 5. Частным решением дифференциального уравнения n- ого порядка называется решение y = y(x ,C10 ,C 20 ,K,C n0 ), где С10 , С20 , K, Сn0 - фиксированные числа, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным С1 , С2 , K, Сn .

265

Так y = x 2 +Cx

– общее решение дифференциального уравнения (2), а

y = x 2 + 2x – частное решение.

Если частное

решение задано в неявном виде выражением

Φ(x , y, C10 ,C 20 ,K,C n0 )= 0 , то оно называется частным интегралом дифференци-

ального уравнения.

Геометрически каждому частному решению (частному интегралу) соответствует линия на плоскости – интегральная кривая дифференциального уравнения, а общему решению(общему интегралу) соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Определение 6. Отыскание частного решения дифференциального уравнения n-го порядка (1), удовлетворяющего n начальным условиям вида y(x 0 )= y0 ; y′(x 0 )= y0′; y′′(x 0 )= y0′′;K; y (n−1)(x 0 )= y0(n−1) , называется задачей Ко-

ши.

В начальных условиях задачи Коши задаются значения функции у и ее производных y′, y′′, K, y (n−1) при некотором заданном значении аргумента x = x 0 . По этим начальным условиям определяются значения всех n произ-

вольных постоянных С1 , С2 , K, Сn , входящих в общее решение дифференци-

ального уравнения n-го порядка (1).

Задания для самостоятельной работы

1.Определить порядок дифференциального уравнения:

1)y′ = 2x 3 ;

2)y′′−3y′+ 2y − 4 = 0 ;

3)ddrϕ + r tg ϕ = 0 ;

4)x 2 (y′′′)4 − x (y′)5 +8 = 0 ;

5)2stds = (1 +t 2 )dt .

2.Проверить подстановкой, что функция y = Cx 3 , является решением диффе-

ренциального уравнения 3y − xy′ = 0 . Построить интегральные кривые,

проходящие через точки:

266

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности