mat_analiz
.pdf
|
|
1 n |
(11) |
|||
lim 1 |
+ |
|
|
= e |
||
n |
||||||
n→∞ |
|
|
|
|
Число e не является рациональным. Вычислено приближенное значение числа e : e ≈ 2,718281828459045 , но чаще используют приближенное e ≈ 2,72 . Число e играет особую роль в математике. Логарифмы по основа-
нию e называют натуральными и обозначают
loge x = ln x .
Формулу 11 называют «замечательным» пределом.
4. Бесконечно малые последовательности. Теоремы о пределах последовательностей
Определение 16. а) последовательность {an +bn } называют суммой ,
последовательность {an −bn } разностью последовательностей {αn }, {bn };
б) |
последовательность |
{an bn } называют произведением последова- |
|||
тельностей {an }, {bn }; |
|
|
|
|
|
в) |
последовательность |
|
an |
|
называют частным последовательностей |
|
|||||
|
|
bn |
|
||
{an }, {bn }, |
если bn ≠ 0, n N . |
|
|
|
|
Определение 17. Сходящаяся последовательность {αn } называется
бесконечно малой, если ее предел равен нулю:
limαn = 0 .
n→∞
Приведем некоторые свойства бесконечно малых последовательностей. Пусть последовательности бесконечно малые и с - константа, тогда последовательности {αn +β n }, {αn − βn },{αn βn }, {cαn } также бесконечно малые.
Теорема 6. (о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей). Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности {bn } есть последовательность {αnbn } бес-
конечно малая:
67
limαnbn = 0 .
n→∞
Теорема 7. а) Если сходящая последовательность {an } имеет предел a ,
то ее общий член представим в виде an = a +αn , где {αn }- бесконечно малая последовательность.
б) Если общий член последовательности {an } представим в виде an = a +αn , где a - число и {αn }- бесконечно малая последовательность, то по-
следовательность, {an } является сходящейся |
и число |
a есть |
ее предел |
a = lim an . |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
Доказательство: а) Пусть a = lim an . |
Докажем, |
что an |
= a +αn , где |
n→∞ |
|
|
|
{αn }-бесконечно малая последовательность. |
|
|
|
Так как a = lim an , то по определению предела для любого числа ε > 0
n→∞
найдется номер N (ε) такой, что для всех членов последовательности {an } с
номерами n > N (ε) выполняется неравенство an − a < ε . Обозначим αn = an − a ,
тогда αn < ε для всех n > N (ε), откуда следует, что limαn = 0 , то есть {αn } бес-
n→∞
конечно малая последовательность. Таким образом, an = a +αn , что и требова-
лось доказать.
б) Пусть теперь справедливо представление an = a +αn , где {αn } беско-
нечно малая последовательность. Покажем, что a = lim an .
n→∞
В силу предположения имеем αn = an − a . Так как {αn } бесконечно малая последовательность, то limαn = 0 и для любого числа ε > 0 найдется номер
N (ε) такой, что выполняется неравенство |
|
αn |
|
< ε для всех n > N (ε). |
||||
|
|
|||||||
Так как αn = an − a , то неравенство |
|
an − a |
|
< ε |
|
справедливо для всех n > N (ε). А |
||
|
|
|
это означает, что a = lim an . Что и требовалось доказать.
n→∞
Теорема 8 (о пределах суммы, произведения и частного последовательностей).
Если последовательности {an } и {bn } сходятся, то:
68
а) |
lim(an ± bn )= lim an ± lim bn ; |
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|||
б) |
lim an |
bn = lim an lim bn ; |
|
||||||
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|||
в) |
|
an |
|
lim a |
n |
при bn ≠ 0, n N и lim bn ≠ 0 . |
|
||
lim |
= |
n→∞ |
|
||||||
|
lim b |
|
|
|
|||||
|
n→∞ b |
|
n |
|
n→∞ |
|
|||
|
|
n |
|
n→∞ |
|
|
|
||
Следствие. Если число c константа, то lim c an = c lim an . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n→∞ |
Доказательство теоремы опирается на утверждения теорем 7, 8 и свойства бесконечно малых последовательностей. Предлагаем читателю провести его самостоятельно.
Теорема 9. (о предельном переходе в неравенстве).
Пусть {an } и {bn } сходящиеся последовательности, и пусть an ≤ bn для
всех номеров n N , тогда справедливо неравенство lim an ≤ lim bn .
n→∞ n→∞
Следствие: Если сходящаяся последовательность {an } имеет предел a и
её члены таковы, что справедливо соотношение A ≤ an ≤ B, n N , то A ≤ a ≤ B .
Теорема 10. (о сжатой переменной).
Пусть даны три последовательности {an }, {bn } и {zn }, члены которых
связаны соотношением an ≤ zn ≤ bn , n N . |
Если последовательности {an } и |
||
{bn } сходятся к одному и тому же числу |
a : lim an = lim bn = a , |
то последова- |
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
тельность {zn } сходится и её предел тоже равен числу a : lim zn |
= a . |
||
|
|
n→∞ |
|
Теорема 11. Отбрасывание или замена конечного числа членов последовательности какими-нибудь числами не влияет на её сходимость, причём в случае сходимости последовательности не влияет и на величину предела.
|
|
5 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
Пример 20. Найти следующие пределы: а) lim 4 |
+ |
|
|
; б) lim |
|
4 |
+ |
|
; |
n |
|
n |
|||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ n |
|
|
|
в) lim |
2−n + 3 |
; |
г) |
|
|||
n→∞ |
7 −3−n |
|
Решение: а) Так как lim 4 = 4
n→∞
lim 3n + 5 .
n→∞ 2 −5n
и lim 5 = 0 , то в силу теоремы 8а (о пре-
n→∞ n
деле суммы последовательностей) имеем |
|
+ |
5 |
= lim 4 |
+ lim |
5 |
= 4 + 0 = 4 . |
|
lim 4 |
|
|
|
|||||
n |
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
n→∞ n |
|
69
б) Используя полученный результат и теорему 8б (о пределе произведения последовательностей), получим:
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
4 + |
|
|
|
= lim |
|
|
lim 4 |
+ |
|
|
|
= 0 4 = 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ n |
|
n |
|
n→∞ n |
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||
в) Найти lim |
|
2−n |
+ 3 |
. По свойствам показательных функций имеем: |
|||||||||||||||||||||
|
7 −3−n |
||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim 2−n = 0 и |
lim 3−n |
= 0 , тогда |
|
|
lim(2−n + 3)= 3 и |
|
|
|
lim(7 −3−n )= 7 . Следовательно, |
||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|||||
по теореме 8в (о пределе частного последовательностей), получим: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−n |
+ 3 |
|
|
|
lim 2−n |
+ 3 |
|
|
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
= |
n→∞ |
|
|
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 7 −3−n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
7 −3−n |
|
|
7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Теперь рассмотрим предел lim |
3n + 5 |
|
. Применить теорему 8 невоз- |
||||||||||||||||||||||
2 −5n |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
можно, так как в числителе и знаменателе находятся члены расходящихся, а следовательно, не имеющих пределов последовательностей
an = 3n + 5, n N и bn = 2 −5n, n N .
Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела, следующим образом:
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
n |
3 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3n + 5 |
|
n |
|
3 − n |
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
= |
. |
|||||||
2 −5n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
||||||||
|
|
n |
|
|
−5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученной дроби в числителе и знаменателе находятся общие
члены сходящихся |
последовательностей 3 |
− |
5 |
|
и |
|
2 |
−5 |
, причем предел |
n |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
последовательности, |
стоящей в знаменатели |
|
|
не |
равен нулю |
2 |
|
≠ 0 . Можно применить утверждение теоремы 8 |
|||||||||||||||||
lim |
− 5 = −5 |
||||||||||||||||||
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 3 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
lim |
3n +5 |
= lim |
3 − n |
= |
n→∞ |
|
n |
|
= − |
3 |
. |
||||||
|
|
2 −5n |
|
2 |
|
|
|
|
5 |
||||||||||
|
|
n→∞ |
n→∞ |
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
−5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
70
6. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями
Определение 18. Последовательность {an } называют бесконечно большой, если для любого положительного сколь угодно большого числа
M , найдется номер |
N (M ), зависящий от M , такой, что для всех членов |
||||
последовательности |
{an } с номерами |
n > N (M ) справедливо неравенство |
|||
|
an |
|
> M , и пишут an |
→ ∞ или lim an = ∞ . |
В этом случае говорят, что после- |
|
|
||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
довательность стремится в бесконечность или последовательность имеет
бесконечный |
предел. Например, |
последовательности: an = n3 , n N , |
bn = −n3 , n N |
и cn = (−1)n n3 , n N |
являются бесконечно большими. Дей- |
ствительно, |
|
с ростом номера n значения членов последовательности {an } |
|||||||||||||||||||||||||
неограниченно растут. |
|
Какое бы число |
M > 0 , сколь угодно большое, |
ни |
|||||||||||||||||||||||
взять, |
неравенство |
|
an |
|
= |
|
n3 |
|
> M будет выполняться для всех |
n > [3 M ]+1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
[3 M ] |
- |
целая |
|
часть числа |
3 M |
и |
N(M )= [3 M ]+1. |
А так |
как |
|||||||||||||||||
|
an |
|
= |
|
bn |
|
= |
|
cn |
|
, |
то утверждение справедливо и для последовательностей {bn } |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
и |
|
|
{cn }. |
|
Можно |
|
записать |
an → +∞, |
bn → −∞, cn → ∞, |
так |
как |
||||||||||||||||
an |
> 0, bn < 0 |
|
n N. |
Заметим, что бесконечно большая последовательность |
является неограниченной. Обратное утверждение в общем случае неверно, то есть не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность {an }, где an = n3 (1 + (−1)n+1 ), неог-
раниченная, но не является бесконечно большой:
an |
|
|
3 |
, |
если |
n |
нечётное. |
= 2n |
|
||||||
|
|
0, |
если |
n |
чётное |
Члены с нечетными номерами неограниченно растут с увеличением номеров, а члены с чётными номерами равны нулю. Поэтому, какое бы число M > 0 ни взять, найти номер N(M ) такой, чтобы выполнялось нера-
венство an > M для всех n > N (M ), невозможно.
71
Теорема 12 (о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей).
а) Если последовательность {an } бесконечно большая, то последова-
тельность обратная ей 1 бесконечно малая.
⎩an
б) Если последовательность {bn }, bn ≠ 0, n N бесконечно малая, то
последовательность обратная ей 1 бесконечно большая.
⎩bn
Доказательство: проведем его для случая а. Так как последовательность {an } бесконечно большая, то для любого M > 0 найдется номер
N(M ) такой, что справедливо неравенство an > M для всех n > N (M ).
Положим, что ε |
= |
1 |
|
. Тогда верно следующее: |
|
|||||||||||||||
M |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
1 |
|
< |
1 |
= ε, n > N (M ). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
an |
|
an |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||||
Так как M = |
1 |
, |
то номер |
N (M ) |
можно считать зависящим от ε , и |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вместо неравенства n > N (M ) писать неравенство n > N (ε). |
|
|||||||||||||||||||
В силу произвольного выбора числа M > 0 произвольным является и |
||||||||||||||||||||
число ε . Таким образом, |
по любому ε > 0 найдется номер N (ε) |
такой, что |
||||||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
|
1 |
|
< ε, n > N (ε), следовательно lim |
1 |
= 0 . А это |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
an |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ an |
|
означает, что последовательность 1 бесконечно малая. Теорема доказа-
⎩an
на.
Справедливы следующие утверждения:
1) Сумма двух бесконечно больших последовательностей, имеющих, начиная с некоторого номера, члены одного знака, есть бесконечно большая последовательность, причём
а) если an → +∞ и bn → +∞ , то an +bn → +∞,
72
б) если an → −∞ и |
bn → −∞ , то an +bn |
→ −∞. |
2) Произведение |
двух бесконечно |
больших последовательностей |
есть последовательность бесконечно большая: если an → ∞ и bn → ∞ , то an bn → ∞.
3) Произведение последовательностей бесконечно большой и ограниченной, члены которой не равны нулю, есть бесконечно большая последовательность an → ∞ и 0 < bn < k, n N , где k - некоторая константа, то
an bn → ∞.
Заметим, что разность двух бесконечно больших последовательностей одного знака и сумма бесконечно больших последовательностей различных знаков неопределены, неопределено также и частное двух бесконечно больших последовательностей. В этом случае говорят, что имеются
неопределенности вида ∞ − ∞, |
∞ |
. Частное двух бесконечно малых после- |
|
∞ |
|
довательностей образуют неопределенность вида 00 , а произведение бес-
конечно малой и бесконечно большой последовательностей образуют неопределенность вида 0 ∞ .
Вычисление пределов в этих случаях называют раскрытием неоп-
ределенностей.
Кроме перечисленных неопределенностей есть и другие, например,
1∞ , ∞0 , 00 .
Пример 21. Вычислить следующие пределы:
|
|
n +1 |
|
|
б) lim(n − 3 |
n3 − n2 ); |
|
sin |
πn |
г) lim 3−n (1 + 2n ). |
||||
а) lim |
|
|
; |
в) lim |
|
|
|
3 |
; |
|
||||
|
2 |
n |
2 |
+1 |
||||||||||
n→∞ n |
− n +1 |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
||||
|
Решение. а) К вычислению предела lim |
|
|
n +1 |
теорема 8в о пре- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n2 − n +1 |
|
деле частного не применима, так как в числителе и знаменателе находятся члены бесконечно больших последовательностей, то есть, имеем неопре-
деленность вида ∞∞ . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
73
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 + n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n2 − n +1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
n |
|
− |
1 |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Множитель |
является бесконечно малой величиной, а lim |
|
|
n |
|
|
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
+ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
||||||
Следовательно, по теореме 8 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n +1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
= lim |
lim |
|
|
n |
|
|
= 0 1 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− n +1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ n2 |
|
n→∞ n |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) Под знаком предела в примере |
|
|
lim(n − 3 |
|
|
n3 − n2 )находится разность |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух бесконечно больших величин одного знака, то есть неопределенность вида ∞ −∞. Теорема 8а о пределе разности не применима. Раскроем неопределенность, для чего умножим и разделим выражение на неполный
квадрат суммы n и 3 |
n3 − n2 . |
|
Проведя несложные преобразования, |
полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − |
3 |
n |
3 |
− n |
2 |
|
2 |
+ n |
3 |
n |
3 |
− n |
2 |
3 |
n |
3 |
− n |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
)n |
|
|
|
|
|
+ ( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
− n |
) |
|
|
|
= |
||||||||
|
|
|
|
n2 + n 3 n3 − n2 + (3 n3 − n2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n2 + n 3 n3 − n2 + (3 n3 − n2 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
n3 − n3 + n2 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 , |
так |
|
как |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
n→∞ |
n |
2 |
+ n |
3 |
n |
3 |
− n |
2 |
3 |
n |
3 |
− n |
2 |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ ( |
|
|
) |
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
3 |
1 − |
+ |
|
3 |
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 1 − 1 |
→1. Таким образом, lim(n − 3 |
n3 − n2 )= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
πn |
|
|
|
|
|
в) Рассмотрим дробь, стоящую под знаком предела lim |
|
3 |
. В чис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n2 |
|
|
|
|
|||||
лителе находится величина ограниченная |
|
sin |
πn |
|
≤1, |
|
n N . |
В знаменателе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находится бесконечно большая величина (n2 +1). Запишем дробь иначе
74
sin |
πn |
|
1 |
|
|
πn . |
|
3 |
= |
|
sin |
||||
n2 |
+1 |
n2 +1 |
|||||
|
|
3 |
Множитель n21+1 есть величина бесконечно малая по теореме 12, как вели-
чина обратная бесконечно большой. Тогда по теореме 6 о произведении бесконечно малой на величину ограниченную имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin 3 |
= lim |
|
|
1 |
|
|
sin πn = 0 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n2 +1 |
|
n→∞ n2 +1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
г) |
Вычислить lim 3−n (1 + 2n ). |
|
В данном задании нужно раскрыть неоп- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределенность вида |
0 ∞ , |
так как |
3−n |
→ 0, 2n → ∞. |
Справедливо следующее |
|||||||||||||||||||||||
|
−n |
|
|
n |
|
−n |
|
−n |
|
n |
|
|
|
−n |
|
|
|
2 n |
|
|
−n |
|
|
2 n |
||||
lim 3 |
|
(1 |
+ 2 |
|
)= lim(3 |
|
+3 |
|
2 |
|
|
)= lim |
3 |
|
+ |
|
|
|
= lim 3 |
|
+ lim |
|
= 0 + 0 = 0 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Числовые ряды
Определение 19. Пусть дана бесконечная числовая последовательность a1 , a2 , a3 , K, an , K. Выражение
a1 + a2 + a3 + K+ an + K |
(12) |
∞ |
|
|
или, сокращенно, ∑an называют числовым рядом. Числа a1 , a2 , a3 , K назы- |
||
n=1 |
|
|
вают членами ряда, an - общим членом ряда. Сумму первых n |
членов ряда |
|
называют n-ой частичной суммой ряда и обозначают Sn : |
|
|
при n =1 |
S1 = a1 , |
|
при n = 2 |
S2 = a1 + a2 , |
|
при n = 3 |
S3 = a1 + a2 + a3 ; |
|
… |
|
|
и вообще |
Sn = a1 + a2 +Kan . |
|
Последовательность частичных сумм ряда |
|
|
S1 , S2 , S3 , K, Sn , K |
(13) |
|
может оказаться сходящей или расходящейся. |
|
75
Определение 20. Числовой ряд (12) называется сходящимся, если по-
следовательность его частичных сумм (13) сходится: lim Sn = S , где S - число.
n→∞
Число S называют суммой ряда (12). Если предел lim Sn не существует или
n→∞
бесконечен, то ряд (12) называют расходящимся. Пример 22. Выяснить сходится или расходится ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+L. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+L+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
2 3 |
3 4 |
n(n +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Составим частичную сумму Sn |
|
данного ряда |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn = |
1 |
|
+ |
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
+L+ |
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
2 3 |
|
3 4 |
n(n +1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая, что |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n N |
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
n(n +1) |
n |
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Sn |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||
= 1 − |
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
+L+ |
|
|
− |
|
|
|
=1 |
− |
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n +1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Отсюда, lim Sn |
|
|
|
|
1 |
|
|
=1. Так как последовательность частичных сумм |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim 1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
{Sn } данного ряда сходится, то ряд сходится и имеет сумму S =1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
Пример 23. Выяснить сходится или расходится ряд ∑(−1)n+1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
=1 −1 +1 −1 +L+ (−1)n+1 +L. |
||||||||
Решение. Данный ряд имеет вид ∑(−1)n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Его частичные суммы равны: |
|
|
S1 |
=1, |
|
S2 |
= 0, |
|
S3 =1, |
|
S4 = 0,K |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ясно, что |
|
|
1, |
|
|
если n нечётнoe, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Sn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 если n чётнoe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Последовательность частичных сумм {Sn } |
данного ряда 1, 0, 1, 0, K не имеет |
предела (см. пример 18). Следовательно, ряд является расходящимся.
∞
Пример 24. Показать, что ряд ∑n расходится.
n=1
76