- •Оглавление
- •Список используемых сокращений
- •Введение
- •Понятие и сущность статистических гипотез
- •1.1.Постановка проблемы
- •1.2. Статистический критерий
- •Классификация статистических критериев:
- •1.3. Функция потерь и критерий качества выбора решения
- •2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •2.1. Вероятности правильных и ошибочных решений
- •Критерии принятия решений
- •Байесовское решение
- •Максимум апостериорной вероятности
- •Максимальное правдоподобие
- •Критерий Неймана-Пирсона
- •Минимаксное правило
- •Критерии значимости
- •3.1. Проверка гипотез для нормального распределения
- •3.1.1. Гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии
- •3.1.2. Гипотезы о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии
- •3.1.3. Гипотеза о неизвестной дисперсии
- •3.2. Сравнение средних нормального распределения
- •3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок
- •3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях
- •3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях
- •3.2.1.3. Сравнение средних при неизвестных неравных дисперсиях
- •3.2.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса
- •3.2.1.3.2. Критерий Сатервайта
- •3.2.2. Проверка гипотез о равенстве средних для выборок
- •3.2.2.1. Критерий Полсона
- •3.2.2.2. Критерий Шеффе
- •3.3. Сравнение дисперсий нормального распределения
- •3.3.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для двух выборок
- •3.3.1.1. Критерий Фишера
- •3.3.1.2. Критерий Романовского
- •3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок
- •3.3.2.1. Критерии Бартлетта
- •3.3.2.2. Критерии Кохрена
- •3.3.2.3. Критерий Самиуддина
- •3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения
- •3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения
- •4. Общие критерии согласия
- •4.1.Критерии хи-квадрат Пирсона
- •4.2. Критерии хи-квадрат Фишера
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова
- •4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- •4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга
- •4.6. Критерий согласим Дарбина
- •5. Частные критерии согласия
- •5.1. Критерии проверки нормальности распределения
- •5.1.1. Сравнительный анализ критериев нормальности
- •5.1.2. Критерий Шапиро-Уилка
- •5.1.3 Критерий
- •5.1.4 Критерий
- •5.1.5 Критерий
- •5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
- •5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
- •5.1.8. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона
- •5.2. Критерии проверки экспоненциальности распределения
- •5.2.1. Критерий Фроцини
- •5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
- •5.3. Критерии проверки равномерности распределения
- •5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
- •5.3.2. Критерий Саркади – Косика
- •5.4. Критерии симметрии
- •5.4.1. Критерий симметрии Смирнова
- •5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
- •6. Критерии однородности
- •6.1. Критерий -квадрат
- •6.2. Критерий Колмогорова
- •6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни
- •7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным
- •7.1. Кривые Пирсона типа I
- •7.2. Кривые Пирсона типа II
- •7.3. Кривые Пирсона типа III
- •7.4. Кривые Пирсона типа IV
- •7.5. Кривые Пирсона типа V
- •7.6. Кривые Пирсона типа VI
- •7.7. Кривые Пирсона типа VII
- •Список используемой литературы
Максимальное правдоподобие
Если при выработке правила выбора решений нет никаких данных относительно априорных вероятностей состояний и , то вместо рассмотренного критерия можно применить критерий максимума правдоподобия, согласно которому при наблюдении выборки принимается та из гипотез, которой соответствует большее значение функции правдоподобия выборки. Таким образом, принимается гипотеза , если , и отвергается эта гипотеза, если . Иначе говоря, принимается решение если для наблюдаемой выборки
(31)
В противном случае принимается решение . Процедура проверки простой гипотезы по критерию максимального правдоподобия сводится к вычислению отношения правдоподобия и сравнению его с единицей. Отличие от правила, соответствующего максимуму апостериорной вероятности, состоит лишь в замене обобщенного отношения правдоподобияотношением правдоподобия.
Следовательно, правило выбора решения по критерию максимального правдоподобия является частным случаем правила по критерию максимума апостериорной вероятности, когда два возможных состояния изучаемого явления и равновероятны, т. е. когда .
Критерий Неймана-Пирсона
Другой подход к выработке правила выбора решений при отсутствии априорной информации о потерях и вероятностях состояний указывает критерий Неймана - Пирсона. Согласно этому критерию выбирается такое правило, которое обеспечивает минимально возможную величину вероятности ошибок второго рода при условии, что вероятность ошибки первого рода не больше заданной величины .
Теорема Неймана - Пирсона: Среди всех критериев, различающих гипотезы u с заданной ошибкой первого рода , наиболее мощным является критерий отношения правдоподобия.
Согласно теореме Неймана - Пирсона, существует такая константа С, зависящая только от , что критическая область наиболее мощного критерия имеет вид
При этом константа С является решением уравнения
(32)
Правило выбора решения по критерию Неймана - Пирсона имеетнаибольшую мощность среди всех других правил, для которых уровень значимости не превосходит . Следовательно, нужно максимизировать величину
,
при условии
(33)
Множество не меняет размера критерия , но увеличивает его мощность. Считая, что , рассмотрим случай . Тогда
при условии
Следовательно, максимизируется среднее значение случайной величины при условии истинности нулевой гипотезы .
Можно заключить, что правило выбора решений, базирующееся на критерии Неймана — Пирсона, является частным случаем байесовского решения, в котором величина заменяется величину определяемую уравнением (32).
Итак, все рассмотренные выше критерии качества приводят к единообразной процедуре принятия решения: по наблюденной выборке вычисляется отношение правдоподобия и принимается или отвергается гипотеза в зависимости от того, находится ли эта величина ниже или выше некоторого фиксированного порога, устанавливаемого заранее в соответствии с принятым критерием.