- •Оглавление
- •Список используемых сокращений
- •Введение
- •Понятие и сущность статистических гипотез
- •1.1.Постановка проблемы
- •1.2. Статистический критерий
- •Классификация статистических критериев:
- •1.3. Функция потерь и критерий качества выбора решения
- •2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •2.1. Вероятности правильных и ошибочных решений
- •Критерии принятия решений
- •Байесовское решение
- •Максимум апостериорной вероятности
- •Максимальное правдоподобие
- •Критерий Неймана-Пирсона
- •Минимаксное правило
- •Критерии значимости
- •3.1. Проверка гипотез для нормального распределения
- •3.1.1. Гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии
- •3.1.2. Гипотезы о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии
- •3.1.3. Гипотеза о неизвестной дисперсии
- •3.2. Сравнение средних нормального распределения
- •3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок
- •3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях
- •3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях
- •3.2.1.3. Сравнение средних при неизвестных неравных дисперсиях
- •3.2.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса
- •3.2.1.3.2. Критерий Сатервайта
- •3.2.2. Проверка гипотез о равенстве средних для выборок
- •3.2.2.1. Критерий Полсона
- •3.2.2.2. Критерий Шеффе
- •3.3. Сравнение дисперсий нормального распределения
- •3.3.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для двух выборок
- •3.3.1.1. Критерий Фишера
- •3.3.1.2. Критерий Романовского
- •3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок
- •3.3.2.1. Критерии Бартлетта
- •3.3.2.2. Критерии Кохрена
- •3.3.2.3. Критерий Самиуддина
- •3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения
- •3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения
- •4. Общие критерии согласия
- •4.1.Критерии хи-квадрат Пирсона
- •4.2. Критерии хи-квадрат Фишера
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова
- •4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- •4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга
- •4.6. Критерий согласим Дарбина
- •5. Частные критерии согласия
- •5.1. Критерии проверки нормальности распределения
- •5.1.1. Сравнительный анализ критериев нормальности
- •5.1.2. Критерий Шапиро-Уилка
- •5.1.3 Критерий
- •5.1.4 Критерий
- •5.1.5 Критерий
- •5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
- •5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
- •5.1.8. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона
- •5.2. Критерии проверки экспоненциальности распределения
- •5.2.1. Критерий Фроцини
- •5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
- •5.3. Критерии проверки равномерности распределения
- •5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
- •5.3.2. Критерий Саркади – Косика
- •5.4. Критерии симметрии
- •5.4.1. Критерий симметрии Смирнова
- •5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
- •6. Критерии однородности
- •6.1. Критерий -квадрат
- •6.2. Критерий Колмогорова
- •6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни
- •7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным
- •7.1. Кривые Пирсона типа I
- •7.2. Кривые Пирсона типа II
- •7.3. Кривые Пирсона типа III
- •7.4. Кривые Пирсона типа IV
- •7.5. Кривые Пирсона типа V
- •7.6. Кривые Пирсона типа VI
- •7.7. Кривые Пирсона типа VII
- •Список используемой литературы
5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
От ряда выборочных величин переходим к ряду величин , где - предполагаемый центр распределения. Значения упорядочим по абсолютной величине: . В полученном ряду каждому значению припишем ранг (от 1 до ), равный его порядковому номеру в упорядоченной последовательности.
Обозначим через ранги случайных величин , имеющих положительное значение.
Статистика критерия Вилкоксона задается формулой [106]:
(167)
Гипотеза симметричности отклоняется, если , где - критическое значение, приведенное в таблице 20.
Таблица 20. Критические значения одновыборочного критерия Вилкоксона
|
|
|
|
||||
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
||
3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
6 8 12 17 21 27 33 40 47 |
6 9 14 18 23 29 36 43 51 |
6 10 15 20 27 34 41 49 58 |
12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
55 64 73 82 93 103 115 127 139 |
60 69 78 89 99 111 123 136 149 |
67 77 88 100 111 124 137 151 166 |
При распределение удовлетворительно аппроксимируется нормальным с параметрами
(168)
(169)
т. е. критические значения могут быть вычислены по формуле
(170)
где - ближайшее целое число к .
Пример 34
Имеется ряд наблюдений : 1, 2, 4, 5, 9, 11, 18, 21, 29, 35, Необходимо проверить гипотезу симметричности распределения случайной величины относительно критерием Вилкоксона при доверительной вероятности . Решение Представим ряд в виде : -9, -8, -7, -5, -1, 1, 8, 11, 19, 25 Ранжированный ряд значений имеет вид: 1, 1, 5, 7, 8, 8, 9, 11, 19, 25 для которого имеем последовательность рангов (для одинаковых значений используются средние ранги): 1,5; 1,5; 3; 4; 5,5; 5,5; 7, 8, 9, 10 Отмечая в ряду значения (они выделены), приходим к последовательности рангов : 1,5; 5,5; 8, 9, 10 Тогда . Так как ,гипотеза симметричности не отклоняется. Для нормального приближения ( ) имеем ; что совпадает с табличным результатом (хотя аппроксимацию, строго говорю, применять нельзя). |
6. Критерии однородности
6.1. Критерий -квадрат
Пусть имеется независимых выборок, содержащих соответственно независимых наблюдений , ,… . Гипотеза об однородности предполагает, что генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, одинаковы (или все выборки произведены из одной генеральной совокупности), и им соответствуют одинаковые функции распределения, а именно нулевая гипотеза : , где - функция распределения -й генеральной совокупности.
Наиболее часто в приложениях встречается случай, когда . Пусть имеется два ряда наблюдений некоторого признака и каждый ряд разбит на групп по значениям этого признака. Сгруппированный ряд имеет вид
: |
|
|
… |
|
: |
|
|
… |
|
Пусть и - количество выборочных значений в -й группе дляпервого и второго наблюдений соответственно. Тогда статистический критерий для проверки истинности нулевой гипотезы будет иметь вид
(171)
который в случае истинности основной гипотезы при имеет распределение с степенями свободы. Следовательно, критическими точками, соответствующими уровню значимости , будут и проверка гипотезы проводится по общей схеме, т.е. если и отвергается в противном случае.
Недостатки критерия:
Разбиение области производится произвольно и не учитывает специфики функции распределения
Для проверки гипотез требуются выборки большого объема.